XVI.Теория вероятности (наш учебник) (932345), страница 18
Текст из файла (страница 18)
4.2. Функция распределения случайной величины Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить веролтиносшь того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распредаления вероятностпей, или распределением (веромпноспзей) случайной величины. При этом слово „вероятностей" обычно опускают. Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения. 4.2. Фуяллиа реслрелеееввв сеучвйвой еелвчивы 127 Определение 4.2. Фунниией распределения (верояпиносплей) случайной величины Х называют функцию Р(х), зна чение которой в точке х равно вероятности события (Х < х), т.е.
события, состоящего из тех и только тех эввмеюиарных исходов м, для которых Х(ю) < х: Р(х) = Р(Х < х). Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х. Теорема 4.1.
Функция распределения обладает следующими свойствами: 1) 0<Р(х) <1; 2) Р(х~) < Р(хз) при х~ < хз (т.е. Р(х) — неубывающая функция); 3)'Р(-оо) = 11ш Р(х) =О, Р(+со) = 11ш Р(х) =1; 4) Р(х~ < Х < х2) = Р(хз) — Р(хл); 5) Р(х) =Р(х — О), где Р(х — О) = 1пп Р(у) (т.е. Р(х)— л-~е-о непрерывная слева функция). < При доказательстве будем использовать свойства вероятностей событий, доказанные в теореме 2.8. Поскольку значение функции распределения в любой точке х являетсл вероятностью, то вз свойства 4 вероятности вытекает утверждение 1. Если х~ < хз, то событие (Х < х~) включено в событие (Х < хД и, согласно свойству 3, Р(Х < хД < Р(Х < хз), т.е.
в соответствии с определением 4.2 выполнено утверждение 2. Пусть х~, ..., х„, ... — любал возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к +оо. Собыщие (Х < +со), с одной стороны, является досщоверным, а с другой стороны, представляет собой объединение собышиб (Х < х„). Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утвержде. нии 3.
Аналогично доказывается и первое равенство. 128 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Событие (Х < хз) при х~ < х2 представляет собой объединение двух непересекающихся собышиб: (Х < х~) — случайная величина Х приняла значение, меньшее х~, и (х~ < Х < хз)— случайная величина Х приняла значение, лежащее в промежутке [хь хз). Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утверждение 4. Наконец, пусть х~, ..., х„, ... — любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к х. Событие (Х < х) является объединением событий (Х < хс). Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утверждению 5.
~ На рис. 4.1 приведен типичный вид функции распределения. Рис. 4.1 Замечание 4.1. Можно показать, что любая неубывающая непрерывная слева функция г'(х), удовлетворяющая условиям г(-оо) =0 и Г(+ос) =1, является функцией распределения некоторой случайной величины Х. Для того чтобы подчеркнуть, какой именно случайной величине принадлежит функция распределения г'(х), далее иногда будем приписывать этой функции нижний индекс, обозначаю- 129 4.3.
Дескретные случейеые вееичявы щий конкретную случайную величину. Например, для случай- ной величины Х Рх(х) = Р(Х < х). В некоторых учебниках функцией распределения называют функцию, значение которой в точке х равно вероятности события 1Х < х). Такое определение ничего не меняет во всех наших рассуждениях. Единственное изменение касается свойства 5: функция Р(х) будет непрерывна справа. Чтобы избежать сложных математических конструкций, обычно при первоначальном изучении теории вероятностей ограничиваются только дискретными и непрерывными случайными величинами. Не давая пока строгие определения, приведем примеры: — дискретных случайных величин (число очков, вьшавших при бросании игральной кости; число бросаний монеты до первого появления „герба"; оценка студента на экзамене и т.д.); — непрерывных случайных величин (погрешность измерений; время до отказа прибора; время опоздания студента на лекцию и т.п).
4.3. Дискретные случайные величины Определение 4.3. Случайную величину Х называют дискрепекой, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Распределение дискретной случайной величины удобно описывать с помощью ряда распределения. Определение 4.4. Р*дом распределения (верол|пностпей) дискреепкой случайной величины Х называют та блицу (табл. 4.1), состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в 130 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ нижней — вероятности р; = Р(Х = х;) того, что случайная величина примет эти значения.
Чтобы подчеркнуть, что Таблииа 4.1 ряд распределения относится Х х1 хэ ... х; ... х„именно к случайной величи- Р,. р„не Х, будем наряду с обозначением р; употреблять также обозначение рх;. Для проверки правильности составления табл. 4.1 рекомендуется просуммировать вероятности р;.
В силу аксиомы кормироваккости эта сумма должна быть равна единице: Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее фунниив раскределекия .г'(х). Пусть Х вЂ” дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения х1, хэ, ..., х„расположены в порядке возрастания. Тогда для всея х < х1 событие (Х < х) является невоэможным и поэтому в соответствии с определением 4.2 Г(х) =0 (рнс.
4.2). Если х1 < х < хэ, то собы- 4.3. Дисиретиыв случайиые величавы тие (Х < х) состоит из тех и только тех элемекщариых исходов ю, для которых Х(ы) = х~, и, следовательно, г(х) =рь Аналогично цри хз < х < хз событие (Х < х) состоит вз элементарных исходов ш, для которых либо Х(м) = х~, либо Х(ы) = хз, т.е. (Х < х) = (Х = х~)+ (Х = хз), а следовательно, Р(х) =Ю+рз и т.д. Наконец, при х ) х„событие (Х < х) досшоверио и и'(х) = 1. Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно постоянной функцией, принимающей на промежутке (-оо, х~] значение О, на промежутках (х;, х,+~], 1 ~( 1 < и, — значение р~ + ...
+ р; и на промежутке (хи, +со) — значение 1. Для задания закона распределения дискретной случайной величины, наряду с рядом распределения и функцией распределения используют другие способы. Так, его можно задать аналитически в виде некоторой формулы или графически. Например, распределение игральной кости (см. пример 4.1) описывают формулой 1 Р(Х = 1) = -, 1 = 1, 6. 6' Графическое изображение этого распределения приведено на рис. 4.3. 132 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 0,2 0,1 2 3 4 Рис.
4.3 4.4. Некоторые дискретные случайные величины В этом параграфе рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся на практике распределения диснретпных случайныя величин. Биномиальное распределение. Дискретная случайнал величина Х распределена по биномиальному эаиону, если она принимает значения О, 1, 2,..., и в соответствии с распределением, заданным формулой Р1Х=4) =Р„Я =С„'р'й" ', 4 =0,п, или, что тоже самое, рядом распределения, представленным в табл. 4.2, где О < р, а < 1 и р+ д = 1. Таблица 4.3 Проверим корректность определения биномиального распределения. Действительно, Р„(4) ) О 4.4. Некоторые дискретные слутайиые ееличивы 133 ЯР (4) = Я,СЮу" = (р+ Ч)" = 1: ите «=О Внномиальное распределение являетсл не чем иным, как распределением числа успехов Х в п испытаниях по схеме Бернулли с еероятпностпью успеха р и неудачи д = 1 — р (см.
3.6). Распределение Пуссона. Дискретная случайнзл величина Х распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями Р(Х = 4) =Р(1; Л) = —.е Ле л ~! 1 = О, 1,..., или, по-другому, с вероятностями, представленными рядом распределения в табл. 4.3, где Л ) Π— параметр распределения Пуассона. Таблица 4.8 Убедимся в том, что распределение Пуассона определено корректно: Л' „ „ Л' ~ Р(4; Л) = ~~) —,е " = е "~ы —., = е "е" = 1.
е=е 1ыо ' С распределением Пуссона мы тоже уже встречались в формуле Пуассона (см. 3.6). Распределение Пуассона также называют законом редких событиий, поскольку оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с машй вероятностью происходит „редкое" собьивие. В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном 134 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
