XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 9

Всроятпностпь любого событпия А при этом равна Р(А) = = МА/И, где ФА — число исходов, благоприятпстпвуютцих собышию А. Вероятность Р(А) можно записать также в следующем виде Р(А) = ~~» Р(ю;), ьвЕА 60 2.ВЕРОЯТНОСТЬ где суммирование ведется по всем значениям индекса т', при которых элементарные исходы и; образуют событие А. Однако задать вероятность события по такому принципу уже в случае геометрической схемы нельзя, так как при этом вероятность любого элементарного события равна нулю. Поэтому следует дать определение вероятности события для любого пространства элементарных исходов й, не связанное с вероятностями элементарных исходов, а учитывающее те свойства вероятностей событий, которые имеют место для всех предыдущих определений (классического, геометпрического, ставтаисшического).

Напомним, что этими свойствами являются следующие: 1) Р(А) >0; 2) Р(й) =1; 3) Р(А1+ ... + А,„) = Р(А1) + ... + Р(А ), если события Аы ..., А попарно несовместпны. Именно эти три свойства лежат в основе аксиоматического определения вероятности. При этом свойство 3 постулируется для суммы счетного множества попарно несовместных событий.

Определение 2.7. Пусть каждому событию А (т.е. подмножеству А пространства элементарных исходов й, принадлежащему о-алгебре х1) поставлено в соответствие число Р(А). Числовую функцию Р (заданную на о-алгебре хт) называют веролтпностпъю (иливеролтпностпнот1 мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам: Аксиома 1 (аксиома неотприиатпельностпи): Р(А) > 0; Аксиома 2 (аксиома нормированностпи): Р(й) = 1; Аксиома 3 (расширенном аксиома сложения): для любых попарно несовместных событий Аы ..., А„, ...

справедливо равенство Р(А1 +... + А„+...) = Р(А1) +... + Р(А„) +... Значение Р(А) называлот веролтпностпью событпил А. 61 2.5. Акскоматкческое окредеаекке аереаткостк Замечание 2.6. Если пространство элементарных исходов Й является конечным или счетным множеством, то каждому элементарному исходу ьл Е Й, 1 = 1,2,..., можно поставить в соответствие число Р(ы;) = р; > О так, что Р(и;) =~~~' р; =1. ма ей а=1 Тогда для любого события А С Й в силу аксиомы 3 вероятность Р(А) равна сумме вероятностей Р(ел) всех тех элементарных исходов, которые входят в событие А, т.е.

Р(А) = у Р(ы;). и;еА Таким образом, мы определили вероятность любого события, используя вероятности элементарных исходов. Заметим, что вероятности элементарных исходов можно задавать совершенно произвольно, лишь бы они были неотрицательными и в сумме составляли единицу. Именно в этом и состоит идея аксиоматического определения вероятности.

ф В следующей теореме докажем утверждения, описывающие ряд полезных свойств вероятности. Теорема 2.8. Вероятность удовлетворяет следующим свойствам. 1. Вероятность противоположного события Р(А) = 1 — Р(А). 2. Вероятность иевозлсожиого событпил Р(И) = О. 3. Если А С В, то Р(А) < Р(В) („большему" события соответствует ббльшая вероятность). 62 2. ВНРОА'гнОсть 4. Вероятность заключена между О и 1: О < Р(А) < 1. 5. Вероятность объединения двух событий Р(АОВ) = Р(А)+Р(В) — Р(АВ).

6. Вероятность объединения любого конечного числа событий Р(аз 0... 0 А„) = Р(Аз) +... + Р(А„)— — Р(АзАг)-Р(АзАз) — "-Р(А -зА )+ +Р(АзАзАз)+" +(-1)"~~Р(А~Аз".А~) м Поскольку 0=А+А, то, согласно расширенной аксиоме сложения, Р(й) = Р(А) + Р(А), откуда с учетом аксиомы нормированности получаем утверждение 1. Утверждение 2 вытекает из равенства А=А+и и расширенной аксиомы сложения. Пусть А с В.

Тогда В = А+ (В 1 А). В соответствии с расширенной аксиомой сложения Р(В) = Р(А) +Р(В 1А). 2.о. Аиеиометичееиое опредеееиие ееролтиоети 63 Отсюда и из аксиомы неотрицательности приходим к утверждению 3. В частности, так как всегда А С й, то с учетом аксиомы неотрицательности получаем утверждение 4. Поскольку А 0 В = А+ (В ~ А), В = (В ~ А) + АВ, то, используя расширенную аксиому сложения, находим Р(А и В) = Р(А) + Р(В ~ А) Р(В) =Р(В~А)+Р(АВ). Подставляя в первое из последних двух равенств вероятность Р(В ~ А), выраженную из второго равенства, приходим к утверждению 5.

Утверждение 6 можно доказать с помощью метода матема тической индукции по п. Так, для трех событий А, В и С Р(АОВОС) =Р(А)+Р(ВОС)-Р(А(ВОС)) = = Р(А)+Р(В)+Р(С) — Р(ВС) — Р(АВ 0АС) = = Р(А) + Р(В) + Р(С) — Р(ВС) — Р(АВ) — Р(АС) + Р(АВС). Для четырех и более событий это утверждение проверьте самостоятельно. в Замечание 2.7. Утверждения 5 и 6 называют теоремами сложения веролепееосепей для двух и для и событий соответственно. Приведем пример, показывающий, что без учета того, что собышил сов.иестиые, можно прийти к неправильному результату. 64 2.

ВЕРОЯТНОСТЬ Пример 2.10. Опыт состоит в двукратном подбрасывании симметричной монеты. Найдем вероятность события А, означающего появление „герба" хотя бы один раз. Обозначим А; появление „герба" при 1-м подбрасывании, 1 = 1, 2. Ясно, что А =А1 ОАг, и в соответствии с классической схемой вероятности Р(А1) = Р(Аз) = —. 1 2 Если не учитывать, что А1 и Аз — совместные события, то можно получить „результат" Р(А) = Р(А1) + Р(Аг) = — + — = 1, 1 1 2 2 противоречащий здравому смыслу, поскольку ясно, что собы1пие А не является достоверным. Применяя теорему сложения для двух совместных событий и учитывая равенство Р(А1А2) = —, 1 4' находим 1 1 1 3 Р(А) = Р(А1)+Р(А2) -Р(А1Аз) = — + — — — = —. Ф 2 2 4 4 Иногда вместо аксиомы 3 удобно использовать две другие аксиомы. Аксиома 3' (аксиома с,аожени.в): для любых попарно непересекающиеся собмп1нб А1, ..., А справедливо равенство Р(А1 +... + Ап) ж 1'(А1) +" + Р(А~).

Аксиома 4 (аксиома непрерывности): если последовательность событий А1, ..., А„, ... такова, что А„С А„+1, п ЕМ, и А10...0А„0... =А, 65 2.0. Аксиоматическое опреденение неронтности то 1пп Р(А„) = Р(А). Можно доказать, что аксиомы 3' и 4 в совокупности равносильны аксиоме 3.

Покажем, как конструктивно можно задать вероятность для некоторых наиболее часто встречающихся на практике пространств элементарных исходов, содержащих бесконечное число элементарных исходов. Пусть й содержит счетное множество элементарных исходов 011, ..., м„, ... В этом случае любую вероятностную меру Р можно получить, задав вероятности р1 =Р( Л1), ..., р„=Р(01 ), элементарных исходов, где последовательность р1, ..., р„, должна удовлетворять только условиям неотрицательности р;~)0, 1ЕЯ, и нормированности р1 + " + рп + " ° = 1~ т.е.

~ р; является энакоположительным числовым рядом, сум1=1 ма которого равна единице. Вероятность любого события А равна сумме ~ р; вероятностей всех входящих в А элементар- НЫХ ИСХОДОВ 01;. Предположим теперь, что пространство элементарных исходов Й представляет собой числовую прямую (-оо, +со) с борелевскоб и-алгеброб на ней. Для задания вероятностной меры на числовой прямой можно взять произвольную неубывающую для любого х Е К непрерывную слева функцию Р(х), удовлетворяющую условиям Р(-оо) = 1пп Р(х) =О, Р(+ос) = 11ш Г(х) =1, к-+-00 е-++со 3 — 10047 66 г. ви оятность и каждому собьггию Ае = ( — оо, х) поставить в соответствие вероятность Р(А ) =г(х), а событию А = [х1, хг) — вероятность Р(А) = Р(хг) — Р(х1).

Найденная таким образом для всех событий А = [х1,хг) числовая функция Р(А) будет удовлетворять аксиомам в определении 2.7. Для других событий из борелевской о-алгебры на числовой прямой, вероятность определяется единственным образом с помощью так называемой теоремы о продолжении меры, формулировку и доказательство которой можно найти в специальной литературе'. Определение 2.8. Тройку (О,З, Р), состоящую кз пространства элементарных исходов Й, с о-алгеброй событий З и определенной на З вероятности Р, называют веролтпностпным простпранстпвом. Таким образом, понятие вероятностного пространства объединяет хорошо известные физические понятия: исход опыта, событие, вероятность события. 2.6. Решение типовых примеров Пример 2.11.

Куб с окрашенными гранями распилен на 27 одинаковых кубиков. Найдем веролшностпь того, что у выбранного наудачу кубика будет окрашена одна грань (две грани, три грани). Общее число элсментпарнмт осводов в данном опыте И = = 27. Обозначим: А — событие, эаюпочающееся в том, что у выбранного кубика окрашена одна грань;  — две грани и С— 'См., например, Лове М. Теории вероятностей. Мс Иад-во иностр.

авт., 1962. 2.6. Решеиие шшовых примеров три грани. Событию А благоприятствует Фл = 6 элементарных исходов (число граней у исходного куба), событию  — Ин = 12 исходов (число ребер у исходного куба), а событию С вЂ” 8 исходов (число вершин у исходного куба). Поэтому 6 12 8 Р(А) = —, Р(В) = —, Р(С) = —. 27' 27' 27 Пример 2.12. Из 33 карточек с написанными на них различными буквами русского алфавита наугад извлекаются пять карточек и располагаются слева направо в порядке извлечения. Найдем вероятность появления слова „РАДИО" (событие А).

Поскольку карточки обратно не возвращаются и порядок выбора существен, то общее число элементарных исходов равно числу раэнетцениб без ноеизорениб из 33 элементов по пять элементов: Ж = Аззз = 28480320 Событию А благоприятствует только один элементарный исход (Ил = 1). Значит, Р(А) = =~3,5 10 з. 1 28480320 Пример 2.13.