XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 10

Из колоды в 52 игральные карты выбирают наудачу три карты. Найдем вероятность того, что среди этих карт будут тройка „пик", семерка „пик", туз „пик". Поскольку порядок выбора в данном случае не существен н карты обратно в колоду не возвращаются, то число элементарных исходов равно числу сочеиьаниб без повторений иэ 52 элементов по три элемента, т.е.

Ф = Сзз — — 22100. Рассматриваемому событию А благоприятствует единствен- нын исход (Фл = 1). Поэтому Р(А) = — - 0,000045. 1 22100 68 2.ВЕРОЯТНОСТЬ Пример 2.14. Группа, состоящая из восьми человек, занимает место за круглым столом. Найдем вероятность того, что два определенных человека окажутся сидящими рядом. Так как упорядочивается все множество из восьми элементов, то мы имеем дело с пересшановкоб из восьми элементов. Поэтому ~7=Рз =8! Рассматриваемому событию А благоприятствуют такие перестановки, когда два отмеченных лица садятся рядом: всего восемь различных пар мест за столом и за каждую пару мест данные лица могут сесть двумя способами.

При этом остальные шесть человек могут разместиться на оставшихся местах произвольно. Значит, ФА=2 8 Ре=2 8 61 и Р(А) = — - 0,29. 2 7 Для сравнения приведем еще одно решение поставленной задачи. Заметим, что поскольку нас интересуют только два определенных лица, то порядок размещения остальных не играет роли. В свою очередь, если первый человек сел на определенное место, то второй может сесть на оставшиеся семь мест. При этом в двух случаях оба лица окажутся рядом и Р(А) = —. 2 7 Пример 2.15. Из десяти первых букв русского алфавита составлены всевозможные трехбуквенные „слова". Найдем вероятность того, что случайно выбранное „слово" окажется „словом" „ИИИ".

2.б. Решевие типовых примеров Число различных „слов" равно числу размещений с повторениями из 10 элементов по три элемента, т.е. Поскольку благоприятствующий исход только один, то Р(А) = 0,001. Пример 2.16. Опыт состоит в четырехкратном случайном выборе с возвращением одной буквы из букв алфавита „А", „Б", „К", „Ое и еМ" и записывании РезУльтата выбоРа слева направо в порядке поступления букв. Найдем вероятность того, что в результате будет записано слово „МАМА". Число элементарных исходов равно числу размещений с повторениями иэ пяти элементов по четыре элемента, т.е.

У ~4 64 Слову „МАМА" соответствует лишь один исход. Поэтому Р(А) = — = 0,0016. 1 625 Пример 2.1Т. В урне имеются четыре шара различного цвета. Наудачу из урны извлекают шар и после определения его цвета возвращают обратно. Найдем вероятность того, что среди восьми выбранных шаров будут только шары одного цвета (событие А)? будет по два шара разного цвета (событие В).

Число элементарных исходов равно числу размещений Я Ае 48 с повторениями из четырех элементов по восемь элементов. Для того чтобы найти число исходов, благоприятствующих событию А, предположим сначала, что вынимают только шары 70 г. вкроятность первого цвета.

Это можно сделать только одним способом. Аналогично только одним способом можно выбрать шары второго, третьего и четвертого цветов. Поэтому Фл = 4 и 1 Р(А) = — - 0,00061. 1 Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу тех сочетаний с повторениями ю четырех элементов по восемь элементов, в которых каждый элемент повторяется по два раза, т.е. Ив = С(2 2 2 2) = 2520. Значит, Р(В) з 0'0385 2520 Пример 2.18. Первенство по баскетболу оспаривают 18 команд, которые путем жеребьевки распределены на две подгруппы по девять команд в каждой. Пять команд обычно занимают первые места.

Найдем вероятность попадания всех лидирующих команд в одну подгруппу (событие А); трех лидирующих команд в одну подгруппу, а двух — в другую (событие В). Пространство элементарных исходов в данном случае состоит из всевозможных способов выбрать ю 18 команд, среди которых пять лидирующих, девять команд в первую подгруппу (тогда вторую подгруппу будут составлять оставшиеся девять команд), причем события А и В происходят тогда, когда в первую подгруппу попадет определенное число лидирующих команд и команд аутсайдеров. Значит, мы имеем дело с гивергеометприческоб схемой в которой я = 2, п = 18, вз — — 5, пз = 9. Событие А происходит тогда, когда в первую подгруппу попадают или пять лидирующих команд и четыре команды- аутсайдера (та~ = 5, пзз = 4), или девять команд-аутсайдеров (пц =О, пзз =9). Значит, Р(А) Р(5 4) Р(0 9) з зз+ з зз 0 029 м 34 71 г.б.

Ретеиие типовых примеров Аналогично событие В происходит тогда„когда в первую подгруппу попадут или три лидирующие команды и шесть команд-аутсайдеров (та1 = 3, таг = 6) или две лидирующие команды и семь команд-аутсайдеров (тп1 = 2, 1пг = 7).

Таким образом, СзС8 +СгСт Р(В) Р(2 6) Р(2 7) з 18+ з 1з 18 Пример 2.19. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а наудачу бросают монету радиуса т, т < а/2. Найдем вероятность того, что монета попадет целиком внутрь одного квадрата. Пусть (х; р) — координаты У центра упавшей монеты. В силу о бесконечности шахматной доски можно считать, что элементарные исходы данного эксперимента полностью определяются А положением центра упавшей монеты относительно вершин ква- 3 дратв, содержащаго этот центр.

о а-т т х Помещая начало координат в од- Рис. 2.2 ну из вершин указанного квадрата (рис. 2.2), можно записать множество элементарных исходов в виде Й=((х;р): 0 <х(а, 0 <у(а). Область А, соответствующая рассматриваемому событию, име. ет вид А= ((х;р): т <х < а — т, т < р(а — т), т.е.

является квадратом со стороной а — 2т. В соответствии с формулой геометрической вероятности находим (А) рИ) (а — 2т)г р(П) аг 72 2.ВЕРОЯТНОСТЬ Пример 2.20. В любые моменты интервала времени Т равновозможны поступления в приемник двух независимых сигналов. Сигналы искажаются, если разность между моментами их поступления меньше т. Опре$З делим вероятность того, что сигналы будут искажены.

Изобразим случайные момен- ты $1 и 82 поступления сигналов в А приемник в виде точки на плоскости с координатами (х; у). Областью возможных значений является квадрат площадью р(й) = = Т2 (рис. 2.3). Сигналы будут Рис. 2.3 искажены, если ~$1 — 82~ < т. Эта область лежит между прямыми 42 — 81 = т и 11 — $2 = — т. Площадь ее равна р(А) =Т вЂ” (Т вЂ” т) . Следовательно, р(А) Тз — (Т вЂ” т)2 (Т вЂ” т)2 р(й) Т Т Вопросы и задачи 2.1. Приведите классическое определение вероятности. 2.2. Напишите основную формулу комбинаторики.

2.3. Что называют выбором с возвращением? без возвращения? 2.4. Что называют сочетанием? размещением? перестановкой? Вопроси и задачи 73 2.5. Приведите формулы для числа сочетаний и размещений из и элементов по т элементов с поторениями и без повторений и для числа перестановок из и элементов. 2.6. Чему равно число размещений с повторениями из п элементов по ш элементов, в которых первый элемент встречается ровно гп1 раз, второй элемент — таз раз, ..., и-й элемент— гп„раз? 2.7. Что называют гипергеометрической схемой? Напишите формулу, используя которую можно вычислить вероятности событий в гипергеометрической схеме.

2.8. Приведите геометрическое определение вероятности. 2.9. Приведите статистическое определение вероятности. 2.10. Дайте аксиоматическое определение вероятности. 2.11. Перечислите основные свойства вероятности. 2.12. Как можно задать вероятность в случае конечного пространства элементарных исходов? счетного пространства элементарных исходов? 2.13. Как можно задать вероятность на числовой прямой? 2.14. Что называют вероятностным пространством? 2.15. У человека имеется Ф ключей, из которых только один подходит к его двери.

Он последовательно испытывает их, выбирал случайным образом (без возвращения). Найдите вероятность того, что этот процесс закончится на Й-м испытании Й<Ф. Ответ: Р=1(Ж. 2.16. Из десяти первых букв русского алфавита выбирают наудачу без возвращения четыре буквы и записывают в порядке поступления слева направо. Какова вероятность того, что составленное „слово" будет оканчиваться на букву „А"? Ответ: Р=1/10. 74 2.

ВЕРОЯТНОСТЬ 2.17. Иэ шести карточек с буквами „Л", „И", „Т", „Е", „Р", „А" выбирают наугад в определенном порядке четыре. Йайдите вероятность того, что при этом получится слово „ТИРЕ". Ответ: Р=1/А4 ~~0,0028. 2.18. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь то, что эти цифры различны, набрал их наугад. Определите вероятность того, что набраны нужные цифры. О т в е т: Р = 1/Аэю м 0,011. 2.19.

При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найдите вероятность того, что номер набран правильно. Ответ: Р=1/А~~ — — 0,05. 2.20. Среди 25 экзаменационных билетов пять „хороших". 'Три студента по очереди берут по одному билету. Найдите вероятности следующих событий: А — третий студент взял „хороший" билет;  — все три студента взяли „хороший" билет. Ответ: Р(А) =5/25; Р(В) =1/230 ж0,0044. 2.21. В урне пять белых и четыре черных шара. Из урны в случайном порядке извлекают все находшциеся в ней шары.