XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 14

3.6. Схема Бернулли Повторные испытания — это последовательное проведение н раэ одного и того же опыта или одновременное проведение н одинаковых опытов. Например, при контроле уровня надежности прибора могут либо проводить н испытаний с одним и тем же прибором, если после отказа полностью восстанавливают его исходные свойства, либо ставить на испытания п опытных образцов этого прибора, которые считают идентичными. Определение 3.6. Схемоб Берну ьли (или носледоваюпемьностпыо независимых одинаковых исныгнаний, или биномиально6 схемой испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяюшую следующим условиям: 1) при каждом испытании различают лишь два исхода: появление некоторого собмтвиа А, называемого „успехом", либо появление его дополнения А,называемого „неудачей"; 2) испытания являются нсэввисимыни, т.е. вероятность успеха в Й-м испытании не зависит от исходов всех испытаний до Й-го; 3) всроюиностиь успеха во всех испытаниях постоянна и равна Р(А) =р.

Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим о, т.е. Р(А) = 1 — р = в. 100 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Приведем примеры реальных испытаний, которые в той или иной степени „вписываются" в рамки сформулированной модели испытаний по схеме Бернулли. 1. Последовательное подбрасывание н раз симметричной монеты (здесь успехом является появление „герба" с вероятностью р = 1/2) или последовательное бросание и раэ игральной кости (здесь успехом можно считать, например, появление шестерки с вероятностью р = 1/6). Эти две реальные схемы испытаний являются примером идеального соответствия схеме испытаний Бернулли.

2. Последовательность н выстрелов стрелкй по мишени можно лишь приближенно рассматривать как схему испытаний Бернулли, так как независимость результатов стрельбы может нарушаться либо иэ-эа „пристрелки" спортсмена, либо вследствии его утомляемости. 3. Испытания н иэделий в течение заданного срока при контроле уровня их надежности, как правило, хорошо согласуются с моделью испытаний по схеме Бернулли, если на испытания поставлены идентичные образцы. При рассмотрении схемы испытаний Бернулли основной задачей является нахождение вероятности события Аю состоящего в том, что в н испытаниях успех наступит ровно й раэ, й = О, н.

Для решения этой задачи используют следующую теорему, обозначая вероятность Р(Аь) через Р„(й). Теорема 3.8. Вероятность Р„(й) того, что в и испытаниях по схеме Бернулли произойдет ровно й успехов, определяется формулой Бернулли Р(й) Срд й бн. (3.7) ~ Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН...У, состоящей иэ н букв „У" и „Н", причем буква „У" на ~-м месте означает, что в 1-м испытании произошел успех, а „Н" — неудача. Пространство элементарных исходов й состоит из 2" исходов, каждый из которых отождествляется с определенной последовательностью УНН...У. З.б.

Схема Беряуххя Каждому элементарному исходу ы =УНН...У можно поставить в соответствие вероятность Р(ат) = Р(УНН...У) В силу независимости испытаний события У,Н,Н,...,У являются независимыми в совокупности, и потому по теореме умножения вероятностей имеем Р( )=р'д" ', т'=б,п, Формрлу (3.7) называют также биномиальноб, так как ее правая часть представляет собой (Й+ 1)-й член формулы бинома Ньютона 11]. 1 = (р+ д)" = С„д" + С~р д" ~ +... + Сйр "д™ +...

+ Сир". Набор вероятностей Р„(Й), Й = 6, п, называют биномиальным распределением ееролтпностпеб. Из формулы Бернулли вытекают два следствия. 1. Вероятность появления успеха (события А) в и испытаниях не более Й1 раз и не менее Йз рзз равна: йт Р(Й,<Й<Й,~= ~С»р'д™. й=йт (3.8) если в и испытаниях успех „У" имел место т раз, а неуспех „Н", следовательно, п — т раз. Событие А» происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход ат, в котором т' = Й. Вероятность любого такого элементарного исхода равна р"д" ".

Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить Й букв „У" на и местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют. Число таких способов равно Сй. Так как Ай есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательно получаем для вероятности Р(А») = Р„(Й) формулу (3.7).

~ 102 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Это следует из того, что событвл Аь при разных й явллютсл несовместными. 2. В частном случае при й1 = 1 и Йэ = п из (3.8) получаем формулу для вычисления вероятности хотя бы одного успеха в и испытаниях: Р(й>Ц 1 а (3.9) Пример 3.11. Монету (симметричную) подбрасывают п = = 10 раз. Определим вероятность выпадения „герба": а) ровно пять раэ; б) не более пяти рэз; в) хотя бы один раз.

В соответствии с формулой (ЗЛ) Бернулли имеем: /1~ 1о 262 а) Р1о(5) = С1о ~ — ~ = — =0,246; ~2~ 1024 ) ( ) с1о+ с1о+ с1о+ с|о+ с1о+ с1о 1024 — 0,623; 638 1024 ~ ~1о в) Р(й > Ц = 1 — ~ — ~ 0,999. 1,2~ Пример 3.12. Вероятность выигрьппа на один лотерейный билет равна 0,01. Определим, сколько билетов нужно купить, чтобы вероятность хотя бы одного выигрьппа в лотерее была не менее заданного значения Р, = 0,9. Пусть куплено и билетов.

Предположим, что общее число билетов, разыгрывающихся в лотерее велико (во много раз больше купленных билетов). При этом можно считать, что каждый билет выигрывает независимо от остальных с вероятностью р = 0,01. Тогда вероятность получить й выигрьппных билетов можно определить, используя формулу Бернулли.

В частности, согласно (3.9), имеем при д = 1-р: РР>Ц 1 в 1 (1 )э>Р 103 З.б. Схема Беряулля откуда получаем 1п(1 — Р,) 1п0,1 1п(1-р) 1п0,99 Таким образом, нужно купить не менее 230 лотерейных биле- тов. При больших значениях числа испытаний и использование формулы Бернулли затруднительно в вычислительном плане. Здесь существенную помощь могут оказать приближенные формулы. Пусть число испытаний п по схеме Бернулли „велико", а вероятность успеха р в одном испытании „мала", причем „малб" также произведение Л = пр. Тогда Р„(й) определяют по приближенной формуле Р„(й) — —,е Л" й! Й=О,п, Замечание 3.5. Слова „малб" и „велико" здесь и далее носят относительный характер. Рекомендации по выбору численных значений соответствующих величин будут приведены ниже. Пример 3.13.

Вероятность выпуска бракованного сверла равна 0,015. Сверла укладывают в коробки по 100 штук. Найдем вероятность того, что в коробке, выбранной наудачу, не окажется ни одного бракованного сверла. называемой формулой Пуассона. Совокупность вероятностей Р(*я; Л) = Л"е "/й!, й = О, 1, ..., называют распределением Пуассона. Значения функции Р(й; Л) для некоторых Л приведены в табл. П.1. Формула Пуассона справедлива также для числа неудач, но только в том случае, когда „малб" Л' = пд.

104 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Очевидно, что мы имеем дело со схемой Бернулли, причем и = 100, р = 0,015 и й = О. Поскольку число и испытаний „велико", а вероятность успеха р в каждом испытании „мала", воспользуемся приближенной формулой Пуассона, в которой Л =пр= 100 0,015 =1,5. Тогда искомая вероятность е-ц51 50 Р - , ' = Р(0; 1,5).

По табл. П.1 находим Р(0; 1,5) = 0,22313. Локальная формула Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний и „велико", причем „велики" также вероятности р успеха и у неудачи, то для всех Й справедлива приближенная формула ъ/ййр (л) ~ Ч3(х), называемая лональной формулой Муавра — Лапласа, где Й вЂ” пр /йЯ ' -е~/2 у(х)= — е *~. ~2х Функцию у называют плопзностпью спзандарпьного нормального (или гауссоеа) распределения. Значения функции ~р для некоторых х приведены в табл.

П.2. Поскольку функция ~р является четной, то при определении ~р для отрицательных х нужно воспользоваться равенством 105 З.б. Схема Бераулаи Пример 3.14. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Определим вероятность того, что при 400 выстрелах произойдет ровно 300 попаданий. В данном случае евеликиа и число п = 400 испытаний, и вероятности р = 0,8 успеха и д = 1 — р = 0,2 неудачи в одном испытании, поэтому воспользуемся локальной формулой Муавра — Лапласа при й = 300.

Получим: ~/щщ= ~(40)) 0,8З,2=8, й — пр 300 — 320 х— — 5 — — 2, ~/йЯ 8 у(-2,5) 8 Отсюда, учитывал четность функции у(х), с помощью табл. П.2 окончательно получаем 0>01753 0 0022. 8 Интегральная формула Муавра — Лапласа. Если число и испытаний по схеме Бернулли „велико", причем „велики" также вероятности р успеха и д неудачи, то для вероятности Р(й1 < й < йз) того, что число успехов й заключено в пределах от й1 до йз, справедливо приближенное соотношение Р(й1 <й(йз) Ф(хз)-Ф(х1)) называемое интегральной формулой Муавра — Лапласа, где й1 — пр йз — пр /аЯ ' /йЯ 1 Ф(х) = ~р(у)ду= — / е "~~йу.