XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 12

— попарно непересекающиеся собыитил. Тогда (Ат+...+А +...)В =АтВ+... +А„В+... Р((Ат+... +А„+...)В) Р( 1+ ° ° ° + п+ ° ° ~~)— Р(АтВ)+ "+Р(АпВ)+" Р(В) = Р(Ат ~В) +... + Р(А„! В) +..., где в последнем равенстве использовано свойство умножения сходящегося ряда на постоянную. Следовательно, условная вероятность удовлетворяет расширеннот1 аксиоме слоэтеенил 3. ~ Смысл теоремы 3.1 заключается в том, что условная вероятность представляет собой безусловную вероятность, заданную на новом простпранстве йт элементпарных исходов, совпадающем с событием В. Пример 3.1. Рассмотрим опыт с однократным бросанием игральной кости, но не обычной, а с раскрашенными гранями: грани с цифрами 1, 3 и б окрашены красным, а грани с цифрами 2, 4 и 5 — белым цветом.

Введем события: Ат— выпадение нечетного числа числа очков; Аз — выпадение четного числа очков;  — появление грани красного цвета. 82 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Интуитивно ясно, что если произошло событие В, то условная вероятность события А1 больше, чем условная вероятность события Аэ, поскольку на красных гранях нечетных чисел в два раза больше, чем четных. Заметим, что безусловные вероятности событий А1 и Аэ при этом одинаковы и равны, очевидно, 1/2. Найдем усювные вероятности событий А1 и Аэ при условии события В.

Очевидно, что Д~А В 2 1 Р(А|В) = — ' Ф 6 3' Р(А В) = — ' 1~~АрВ Ф 6' Р(В) = — = —. 3 1 6 2 Следовательно, в силу определения 3.1 условной вероятности имеем Р(А1~В) = — =— 1/3 2 1/2 3 Р(Аз~В) = — = —, 1/6 1 1/2 3' что подтверждает наше предположение. Геометрическая интерпретация условной вероятности.

При практическом вычислении усювной вероятности события А при усювии, что событие В произошло, часто удобно трактовать условную вероятность как безусловную, но заданную не на исходном пространстве Й элементарных исходов, а на новом пространстве Й1 = В элементарных исходов. Действительно, используя ееометприческое определение верояпюосши, получаем для безусловной и условной вероятностей события А (на рис. 3.1 заштрихованная область соответствует Вз 3.1.

Оиределеиие услоииой иеролтиости событию АВ): Р(А) = Вл = ~'~~ Р(А~В) = 8лв/оп 8~в Я~а, % Вп' 8в/Ьп 8в Вп, Здесь Ял, Яп и т.д. обозначают соответственно площади А, Й и т.д. Таким образом, выражение для Р(А~В) будет совпадать с выражением для Р(А), вычисленным в соответствии со схемой геометрической веролткости, если исходное пространство Й элементарных исходов заменить новым пространством Й =В.

Рис. 3.1 Пример 3.2. Из урны, в которой а = 7 белых и 6= 3 черных шаров, наугад беэ возвращения извлекают два шара. Пусть событие А1 состоит в том, что первый извлеченный иэ урны шар является белым, а Аз — белым являетсл второй шар. Требуется найти Р(Аз ~А1). Приведем решение этой задачи двумя способами. Первый способ. В соответствии с определением условной вероятности имеем (опускзя пояснения): Р(А1Аз) С~7/С1зо 2 Р(А1) С1/С1о 3 Второй способ. Перейдем к новому пространству Й1 элементарных исходов. Так как событие А1 произошло, то зто означает, что в новом пространстве элементарных исходов всего равновозможных исходов Ип, =а+6 — 1= 9, 84 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ а событию Аг благоприятствует при этом 19'А, =а — 1=6 исходов.

Следовательно, 6 2 Р(Аг~А1) = — = —. 9 3 Пример 3.3. Пусть событие  — выпадение 4 или 6 очков на игральной кости, событие А1 — выпадение четного числа очков, событие Аг — выпадение 3, 4 или 5 очков, событие Аз— выпадение нечетного числа очков. Найдем условные вероятности событий Аг, Аг и Аз при условии события В. Так как событие В принадлежит событию А1, то при наступлении события В событие А1 обязательно произойдет, т.е. событие А1 имеет условную вероятность Р(А1~В) = 1. Поскольку события Аз и В несовместные, то при наступлении события В событие Аз уже не может произойти и его условная вероятность Р(Аз)В) = О. Наконец, в соответствии с классической схемой вероятности приходим к следующему значению условной вероятности события Аг при условии события В: Р(Аг~В) = —. 1 2 Заметим, что условная вероятность события Аг при условии В совпадает с безусловной вероятностью события Аг. 85 3.г. Формула умножение вероятностей 3.2.

Формула умножения вероятностей При решении различных задач вероятностного характера часто интересующее нас событие А можно достаточно просто выразить через некоторые события А1, Аг, ..., А„с помощью операций обьединения или пересечения. Если А = А1Аг...А„, то для нахождения вероятпносши Р(А) события А обычно удобно использовать следующую теорему. Теорема 3.2 (теорема умножения вероятностей).

Если А =А1Аг...А„(т.е. А — пересечение событий А1, Аг, ..., А„) и Р(А) > О, то справедливо равенство Р(А) =Р(А1)Р(Аг!А1)Р(Аз!А1Аг)" Р(А ~А1Аг" А -1) называемое формулой умножения еероятпноспгей. ~ Поскольку Р(А) = Р(А1Аг... Ав) > О, а А1Аг... Ае Д А1Аг... А (я = 1, и — 1), то и Р(А) = Р(А1Аг...Аь) > О. Учитывая это неравенство, согласно определению 3.1 условной еерояп1носпьи, имеем Р(А )А1Аг...Ав 1) = Р(А1Аг" Ав) Р(А1 г ° ° ° Ав-1) Умножал обе части этого Равенства на Р(А1Аг." Ав-1), полУ- чаем Р(А1Аг" А ) =Р(А1Аг...А 1)Р(А„~А1Аг...А„1).

Аналогично находим Р(А1Аг" Ав-1) =Р(А1Аг" Ав — г)Р(Ав-1~А1Аг "Ав — г). Тогда Р(А1Аг" Ав) = Р(А1Аг" Ав-г)Р(Ав — 1~А1Аг "Ав-г) х х Р(А„~А1Аг...Ав 1). 86 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Продолжая эту процедуру, получаем формулу умножения веро- ятностей. ° Замечание 3.1. Из свойства коммутативности пересечения событий следует, что правая часть формулы умножения для пересечения одних и тех же событий может быть записана по-разному. Например, как Р(А1Аг) = Р(А1)Р(Аз~А1), так и в виде Р(А1Аз) = Р(АзА1) = Р(Аз)Р(А1~Аз).

Обычно выбирают тот вариант формулы, который приводит к более простым вычислениям. Пример 3.4. На семи карточках написаны буквы, образующие слово „СОЛОВЕЙ". Карточки перемешивают и из них наугад последовательно извлекают и выкладывают слева направо три карточки. Найдем вероятность того, что получится слово „ВОЛ" (событие А). Введем события: А1 — на первой выбранной карточке написана буква „В"; Аэ — на второй карточке — буква „О"; Аз — на третьей карточке — буква „Л". Тогда событие А есть пересечение событий Ам Аз и Аз. Следовательно, в соответствии с формулой умножения вероятностей Р(А) = Р(А1АзАз) = Р(А1)Р(Аз~А1)Р(Аз~А1Аз).

Согласно классическому определекпв 2.1 веролшкосши, имеем 1 Р(А1) = —. 7 Если событие А1 произошло, то на шести оставшихся карточках буква „О" встречается два раза, поэтому условная вероятность 2 1 Р(Аз~А1) = — = —. 6 3 87 Э.З. Независимые я эвэясяные события Аналогично определяем 1 Р(Аз~А1Аг) = —. 5 Окончательно получаем 1 1 1 1 Р(А) = Р(А1АгАэ) = — — — = — 0 0095. 7 3 5 105 3.3. Независимые и зависимые событии Иэ рассмотренных выше примеров видно, что условная верояшносогь Р(А~В) собыниаа А при усювии, что событие В произошло, может как совпадать с безусловное верояшносшью Р(А), так и не совпадать, т.е.

наступление события В может влиять или не влиять на вероятность собмшня А. Поэтому естественно степень связи (или степень зависимости) событий А и В оценивать путем сопоставления их условных вероятностей Р(А~В), Р(В~А) с безусловными. Р(А~В) = Р(А) (3.2) Р(В~А) = Р(В), в противном случае собыпгня А и В называют зависимььмн. Теорема 3.3. События А и В, имеющие ненулевую вероятность, являются независимыми тогда и только тогда, когда Р(АВ) = Р(А)Р(В). (ЗА) Определение 3.2. Собыпгия А и В, имеющие ненулевую вероятность, называют неэавнснявььмн, если условная вероятность А при усювии В совпадает с безусловной вероятностью А или если усювнэя вероятность В при условии А совпадает с безусловной вероятностью В,т.е. 88 3.

УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ ~ Пусть выполнено равенство (3.3). Воспользовавшись форму- лоб умножения веролшносшвб для двух событий, получим Р(АВ) =Р(А)Р(В~А) =Р(А)Р(В). К аналогичному выводу приходим и в случае выполнения равенства (3.2), т.е. вз условия независимости событий следует (3.4). Обратно, пусть выполнено равенство (3.4). Тогда, согласно определению 3.1 условной вероятности, Р(А~В) = = Р(А) Р(В) Р(В~А) = = Р(В), Р(А) т.е. в силу определения 3.2 события А и В независимы. ~ Таким образом, в качестве эквивалентного определения не. зависимости двух событий, имеющих ненулевую вероятность, может служить следующее определение. Определение 3.3. События А и В называют независимыми, если выполняется равенство (3.4).

Отметим, что последним определением можно пользоваться даже в том случае, когда вероятности событий А или В равны нулю. Замечание 3.2. Иэ теоремы 3.3 следует, что если в определении 3.2 независимости выполняется одно из равенств (3.2) илн (3.3), то выполняется автоматически и другое, т.е. в определении 3.2 достаточно потребовать выполнения любого одного из них. Пример 3.5. Из колоды карт, содержащей п = 36 карт, наугад извлекают одну карту.

Обозначим через А событие, соответствующее тому, что извлеченная карта будет пиковой 3.3. Неэависвыые и зависимые событию масти, а  — событие, соответствующее появлению „дамы". Определим, являются ли зависимыми события А и В. После вычислений получаем т.е. события А и В независимы. Как отмечаюсь в замечании 3.2,имеет место и равенство Р(А~В) = — = — = Р(А).

ф 1/36 1 4/36 4 Следовательно, события А и В независимы. Изменим теперь условия опыта, дополнительно добавив в колоду, допустим, Ф = 100 „пустых" карт (без рисунка). Изменится ли ответ? Имеем 4 1 Р(В) = — = —, 136 34' т.е. безусловная вероятность события В уменьшилась. Однако условная вероятность Р(АВ) 1/136 1 Р(А) 9/136 9 не изменилась,т.е события А и В стали зависимыми. Теорема 3.4. Если события А и В независимые, то независимыми также являются пары событий А и В, А и В, А и В, если вероятности соответствующих событий ненулевые. < В силу теоремы 3.1 и независимости событий А и В имеем: Р(А~В) =1 — Р(А~В) = 1 — Р(А) =Р(А), 9 1 Р(А) = — = —, 36 4' 1 Р(АВ) = —, 36' 4 1 Р(В) = — =— 36 9' Р(В~А) = = — = — = Р(В), Р(А) 9/36 9 90 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.

СХЕМА БЕРНУЛЛИ что означает независимость событий А и В. Независимость остальных пар событий можно доказать аналогично. ~ь Онределенне 3.4. Событтиая А1, Аз, ..., А„называют независимыми в совокунностпи, если вероятность пересечения любых двух различных событвий равна произведению вероятностей этих событий; вероятность пересечения любых трех событий равна произведению их вероятностей; ...; вероятность пересечения всех событий равна произведению их вероятностей. Для событий А1, Аз, ..., А„,независимых в совокупности, имеет место утверждение, аналогичное утверждению теоремы 3.4.

Теорема 3.5. Если события А1, Ат,, А„независимы в совокупности, то и события А1, Аз, ..., А„независимы в совокупности. Если только любые два события из данной совокупности являются независимыми, то говорят о нонврной независимосттти событпий из этой совокупности. Так же как и в случае двух событий, можно показать, что на вероятность каждого из независимых в совокупности событий не оказывает влияние появление или непоявление остахьных событий. Замечание 3.3. В силу определения независимости событий в совокупности формула умножения вероятностей для независимых в совокупности событий имеет вид Р(Ать...Ан) =' Р(А1)Р(А2).. Р(Ап) Ф Из независимости событий с ненулевыми вероятностями в совокупности, согласно теореме 3.3, следует их попарная независимость. Однако из попарной независимости, вообще говоря, 91 3.3.