Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971).djvu), страница 5

е. работоспособности системы к данному моменту 1„ или увеличение времени работы Т достигается обычно за счет дублирования агрегатов или системы в целом; различные способы дублирования и со- ставляют стратегии конструктора системы — оперирующей стороны.

Для дублирования нужно иметь соответствующие активные средства, которыми могут быть или запасы (резервы) агрегатов в виде вектора (пП, или деньги на их приобретение С при стоимости агрегата го Приведем примеры некоторых способов дублирования. А. Дублирование системы в целом путем параллельного (одновременного) включения в работу нескольких сисомм с номерами от 1 до т. Задублированная система в целом выходит из строя, конечно, только, если все отдельные системы выходят из строя. Имеем тогда вместо (14) !!Г(!)=1 при 1( шах ппп 1„; 1 ~! к~~ ~ к~ка %'(!) =0 при !) шах ш!и!, 1кмк«~ 1к ~ к й 28 о ьотмллязлция исследовлния опетлцнй [гл 1 При этом должны выполняться условия т ~с!<С 1=1 (18) или же 1 «'(и.

Пг(П,', (1 9) В. т — кратное дублирование системы в целом, но путем «холодного резервирования», когда последующая система включается в работу в момент выхода из строя предыдущей. В этом случае при сохранении условий (18) или (19) [[У(1) = 1 при 1( Т; [Р'(Г) =0 прн Г)~Т, (20) но Т =,'5', пцп 11. 1=1 !«Ки ' (21) а ограничения принимают вид и Хт1гг <С, (23) 1=! т;(и,', 1<1<п. (24) При ограничениях (23) выбор величин т; неоднозначен и, следовательно, входит в стратегии конструктора.

Стратегия в этом случае состоит в выборе момента включения 1-й дублирующей системы, равном моменту выхода из строя (1' — 1)-й системы. Таким образом, здесь, в полном соответствии с общим определением стратегии, стратегия есть функция будущей информации оперирующей стороны о неконтролируемых величинах гп!п 1К1Ки В. Дублирование калсдого отдельного агрегата си- стемы т, раз путем параллельного соединения агрегатов, так что дублированный агрегат в целом выходит из строя тогда и только тогда, когда выходят из строя парал- лельно работающие агрегаты. В этом случае (20) остается, конечно, справедливым, но вместо (17) имеем Т= пцп ( гпах 11], !к1Ки !К1Км! 29 пгимзгы моделей Г.

«Холодное резервирование» агрегатов. В этом случае, очевидно, Т= ш!п (25) при сохранении (23) и (24). Здесь также предполагается использование информации, но теперь о всех г'; . Описание возможных стратегий конструктора можно закончить указанием на возможность комбинаций вышеприведенных способов и включения агрегатов не параллельно и не после выхода из строя предыдущего, а путем некоторого смещения их по времени включения друг относительно друга. Как уже сказано, 1ы являются случайными неконтролируемыми факторами.

Зто полностью описывает ситуацию, если законы распределения р»(1) известны. Знание р;(1) эквивалентно знанию среднего времени работы агрегата: Ю ~,=) р,(1)й, (26) о если, как это обычно предполагают в теории надежности, р;(1)=е (27) Однако если это не так, то знание 7,. и дисперсии времени работы Ю Р;=2) 1р;Яй — Ц о (28) не фиксируют однозначно р;ф.

Между тем из эксперимента обычно можно иметь 7ь Р; и может быть только еще несколько характеристик р;(1). Поэтому, если вид закона р;ф априори совсем неизвестен или характеризуется достаточно большим количеством параметров, то возникает «природная» неопределенность, заключающаяся в неопределенности р~(1), область изменения которых ограничена лишь, например, знанием ~; и Рь т. е. равенствами (26) и (28). Многочисленная зо О ФОРМАЛИЗАЦИИ ИССЛЕЛОВАИИЯ ОПЕРАЦИЙ [ГЛ. ! литература по надежности пока обходит стороной возможность неопределенных факторов в этой модели. 7П.

Стрельба по одиночной цели группой снарядов контактного действия. Заметим, что под целью здесь понимается не цель операции, а просто объект, по которому ведется стрельба. Эта операция характерна прежде всего наличием так называемого рассеивания снарядов, т. е.

случайных отклонений траекторий полета снарядов от идеальной. Зги отклонения обязаны своим происхождением суммированию множества сравнительно мелких случайных величин (таких, как отклонение формы снаряда и ствола от идеала, разброс характеристик пороха и атмосферных условий и т. и.). Поэтому дифференциальный закон рассеивания снарядов согласно центральной предельной теореме теории вероятностей должен быть близок к нормальному гауссовому закону; и это подтверждено практикой. Наличие случайных факторов приводит к желательности (об этом далее будет говориться подробно) использования вероятностных критериев эффективности таких, как вероятность хоть одного попадания снаряда в цель, вероятность попадания всеми снарядами, математическое ожидание числа попавших снарядов и т.

п. Будем обозначать вероятность попадания (-го снаряда (из общего числа л) в цель через Р,(х„— у„; х„— у„), где (у», у„) — координаты «центра» цели в некоторой декартовой системе, а (ххп хм) — координаты точки прицеливания в той же системе координат, т. е. идеальное место попадания снаряда, совпадающее с центром нормального рассеивания снарядов.

Для Р; имеем выражение РЯх„— у„:, хм — у»~) = Гы+Сцп-ыыц' [ы+(ци-ыип ° »ц» »о» = — Де где 8 — область, занимаемая целью, и, Π— координаты точки в системе кооРдинат с центРом в (У»ь У„), а О,' 'и О» †дисперс) отклонений снарядов по осям координат. Если считать (хиь х„) и (у»о у»ц) фиксированными, то из-за наблюдаемой на практике йезависимости случайных отклонений различных снарядов можно записать ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ в следующем виде вероятность хоть одного попадания: л Р = 1 — П (! — Р, (х„— у„; х„— ум)], (29) вероятность попадания всех снарядов: л Р,=П Рг(х„— У„; хы — Уы) 1=1 (ЗО) и математическое ожидание числа попаданий: М=~ Р;(хм — ум; х„— у„). Ьл ъ (3!) 6(и) =- 1 — (1 — а)", (32) где а — вероятность поражения цели одним попавшим снарядом.

Закон (32) называется еще законом поражения цели при отсутствии накопления ущерба от попаданий снарядов. Этим выражается тот факт, что если цель не поражена предыдущими попаданиями, то вероятность поражения ее следующим попаданием не зависит от числа предыдущих попаданий.

В этих условиях вероятность непоражения цели и снарядами равна, конечно, произведению вероятностей непоражения отдельными снарядами, равных 1 — аР;. Таким образом, для вероятности поражения цели, если выполнено (32), получаем йу = 1 П (! — аР~(х„ †; х„ †)).

(ЗЗ) В настоящее время в теории стрельбы чаще применяются не критерии (29) — (31), а так называемая вероятность поражения цели, т. е. вероятность разрушения ее или нарушения ее функционирования — приведения в негодность. Такое направление развилось после одной из работ А. Н. Колмогорова. Основой вычисления вероятностей поражения является условный закон поражения цели 6(и), дающий вероятность поражения цели при условии и попаданий в нее.

Наиболее прост показательный закон, предложенный А. Н. Колмогоровым: о эо»м«лиз«ции исследовлния оп«елций (гл. 1 Если а = 1, т. е. если одно попадание приводит к поражению цели, (33) превращается в (29). Стратегиями оперирующей стороны в этой задаче, называемой задачей о выборе искусственного рассеивания снарядов, являются правила выбора точек прицеливания (х„, хм) для каждого выстрела. Однако решение этой задачи зависит от того, что известно исследователю операции и будет известно оперирующей стороне о неконтролируемом факторе — положении цели (у«ь у«,) в момент 1-го выстрела.

Исследователь операции может иметь здесь дело со всеми ранее перечисленными случаями. А. Положение цели принадлежит к фиксированным факторам (напрнмер, если цель неподвижна и ее координаты заранее тщательно измерены). Тогда решение задачи для симметричной цели тривиально х„=у,ь х„=у,с Б. Положение цели измеряется с какой-то случайной ошибкой измерения; тогда положение цели в фиксированной системе координат оказывается как бы случайным, поскольку (уо у») будут равны известным измеренным значениям плюс ошибки измерения.

Стратегиями здесь могут быть функции измеренных (но не истинных) значений. В простейшем случае, когда положение цели неизменно, а измерение происходит только один раз, все случайные точки (ум, у„) совпадают между собой. Этот случай называется схемой двух групп ошибок стрельбы: одна группа — совпадающие ошибки прицеливания, а вторая — независимые отклонения рассеивания снарядов (учтенные в Р,).