Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971).djvu), страница 6

Дело не изменится принципиально, если цель будет че неподвижной, а двигающейся по известной траектории, определяемой начальным положением. В остальных случаях схема усложняется. Подробнее об этом можно прочитать в книге Е. С. Вентцель «Введение в исследование операций».

В. Известен лишь район расположения цели, т. е. известно, что а,(уп(Ь;, а,(ум(Ь,. Имеем дело с неопределенным фактором. Этому важйейшему случаю должного внимания пока не уделяется. Г. Если цель может двигаться по произвольной траектории, ограниченной лишь скоростью цели, а измерения положении цели происходят не при каждом выстреле, то примеры моделей будут присутствовать как неопределенные, так и случайные факторы.

Впрочем, если даже измерения и производятся непрерывно, то учет возможного перемещения цели 1маневрирования) за время полета снаряда приведет к наличию как случайных, так и неопределенных факторов. Приведенной задаче без учета неопределенных факторов посвящено довольно много работ. Однако в военных действиях неправильно и даже невозможно не учитывать сознательного противника, если он может так или иначе управлять маневрированием цели, атакуемой оперирующей стороной. УП1. Линейная обработка измерений (фильтрация) координат движущихся объектов.

Эту задачу, также имею. щую большую историю и лежащую в основе теории автоматического регулирования, изложим сразу в дискретном виде, что не слишком повлияет на широту охвата явлений. Для простоты рассмотрим движение объекта, характеризуемое одной координатой у 11), которую будем рассматривать лишь в дискретные моменты С; и соответственно обозначим через уг В результате измерений оперирующей стороне будет известно не ро а величины ус+5„ где $с — случайные ошибки измерения. Для увеличения точности знания рс предлагается использовать линейную фильтрацию измерений путем введения в качестве при- Г>лиженных значений величин ус величины с йс= Х рсЬс+Ъ>)+р,у., где р — весовые коэффициенты фильтрации (не обязательно положительные).

Здесь у, отражает априорное 1до измерений) представление о величине ус. В качестве ошибок фильтрации, как и всегда при измеРениЯх или аппРоксимации, можно пРинЯть 1Ус — Ус ~ или, что более удобно, („, — ус)' = — 1р'. (34) Ввиду наличия случайных неконтролируемых величин 1; часто используют осреднение критерия (34) по этим случайностям. Если считать величины $; независимыми и имеющими нулевое математическое ожидание (нет 2 ю.

Б. Гермееер з4 О ФОРИАлизАции исслеловАииЯ ОпеРАций (гл. ! систематических ошибок измерений), то окончательно выражение для критерия эффективности приобретает вид !' ! — )р=~~ р,.у,.+р,д.— д,) + ~р,Р,, (зб) ! 1 '' '' ' ! 1 где Р— дисперсия ~,. Стратегиями оперирующей стороны здесь является выбор величин р,.

Этот выбор, естественно, зависит от величины 1, которая, вообще говоря, является первым неопределенным фактором, хотя может быть и фиксирована. Это типичная природная неопределенность. Вторым неконтролируемым фактором является закон изменения у. Как и в предыдущем случае, здесь может быть много йрактически осмысленных вариантов. А. уу случайны с равным нулю (или, что все равно, постоянйым) математическим ожиданием, с известными дисперсиями и корреляцией между у,. для разных 1'.

При этой постановке вопрос изучался в работах Колмогорова и Винера. Простейшими случаями здесь будут: случай, когда все у! одинаковы (полная зависимость), и при полном отсутствии корреляции. Б. Уу неслУчайны. Зависимость У, от 1 ПРинадлежит к определенному классу функций, завйсящих от й параметров а„но значения а, неизвестны. Например, в задаче Заде й Рагозина 1-1 у,= ~~~Л а,1!.

!=1 В этом несколько искусственном, но важном случае мы имеем дело с совершенно неопределенными факторами. Во избежание сколь угодно больших ошибок необходимо потребовать, чтобы первые члены (35) не зависели от а„ что приводит к условиям ~~.", Р1' — У=О; 0<з<й — 1. !.=1 Также ясно, что поскольку у; — у, неизвестна, то необходимо р,=О. Задача сводится поэтому к минимизации второй части (35) при этих условиях. 35 й 2) пгимзгы моделей В. у представляют собой движение объекта с ограниченными возможностями, например, с ограниченной скоростью или ускорением.

Тогда эти неопределенные факторы подчинены условиям (у,— у;,(<К (36) илн ~(у,— у,-,) — (у,,— у,,) ~ <К,. (37) Естественно также принять ~у,— у;~ <К,<оо. Такой случай довольно правильно отражает то, что происходит при свободно маневрирующем объекте. Он может, в частности, н управляться сознательным противником оперирующей стороны. Не следует думать, что рассматриваемая модель интересна только для военных исследований. Рассмотрение варианта В началось лишь в последнее время (например, в работах автора и Д.

С. Иргера). Комбинация указанных вариантов может уже создать модель с весьма широкими возможностями отображения реальной действительности. !Х. Модель для выбора дальности стрельбы в дуэльной ситуации. Оперирующая сторона (дуэлянт) н противник могут произвести по одному выстрелу друг в друга. Целью оперируюшей стороны является поражение противника. Если противник поразит дуэлянта до выстрела последнего, то дуэлянт выстрела произвести уже не сможет. Дана зависимость вероятностей поражения дуэлянта противником й(О) и обратно — противника дуэлянтом р (О) как функции дальности стрельбы, если соответствующий выстрел будет произведен. Критерием эффективности является полная вероятность поражения противника, которая записывается в виде ~'= р(О1) при О,)О,; Ю' = р (О1)11 — д (О,)) при О, < О„ (38) где О, и О,— дальности выстрела дуэлянта и противника.

Стратегией оперирующей стороны является правило выбора О„а О, является неопределенным фактором, выбираемым противником (его стратегией), 36 о ео»мализвции исследования опвгаций [гл. ~ ,Г(уильяме ситуации, характеризующиеся разрывным критерием эффективности, распространены достаточно широко и не только в военном деле. Они появляются всегда, когда выбор момента времени производства какого-либо действия имеет принципиальное значение. Так, в модели надежности использование холодного резервирования приводит к дуэльной ситуации, если перерыв больше заданной величины в работе системы недопустим. Роль «противника» здесь выполняет природа, «выбирающая» моменты выхода из строя агрегатов. Заканчивая на этом весьма краткий перечень примеров моделей операций, имеющих определенное практическое значение, отметим, что наличие неопределенных факторов является широко распространенным и может быть даже неизбежным явлением. Относительная простота моделей не должна обманывать; исследование большинства из них отнюдь не просто.

$ 3. О целях, критериях, неполностью сформулированн«цх моделях и объединении операций Можно различать два вида целей и соответствующих критериев эффективности '). 1. «Качественные» цели, которые могут быть только или достигнуты, или не достигнуты. Все результаты операций, приводящих к достижению цели, одинаково хороши; точно так же все результаты, не приводящие к достижению пели, одинаково неудовлетворительны. При этом критерий эффективности должен принимать только два значения (конечно, безразлично какие): 1 (в случае успеха) и 0 (в противоположном случае) или 1 и — со (если нужно подчеркнуть полную неприемлемость недостижения цели).

Такой целью операции является сохранение работоспособности системы в П модели предыдущего параграфа. При «качественной» цели определение цели может предшествовать определению критерия эффективности. Кажущаяся простота критерия эффективности обманчива, поскольку функциональная зависимость величины а) Это разделение по существу совпадает с данным в книге р. Анне«си «дифференциальные игры». зт % 31 о цзлях и кгитгеиях критерия от стратегий и неконтролируемых факторов может быть весьма сложной. !1. Количественное определение цели заключается в стремлении увеличить (илн уменьшить) значение некоторой величины, зависимость которой от фазовых координат и составляет критерий эффективности операции. Таким образом, здесь формулирование критерия как бы предшествует определению цели операции. Все примеры моделей (кроме И), приведенные выше, относятся к этому классу, н это неслучайно. Действительно, часто первоначально цель операции формулируется качественно.