Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (1186148), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть Л,) О и,~ Л,.=1. Покажем справедливость 1=1 равенства 'ас',=пп'и снах Лс[1тс= Т. 1~1<с Для этого прежде всего убедимся, что реализующие мннимакс в [»", значения Л,' должны удовлетворять условиям ЛсеФс=Л,'Ж',. Действительно, если бы это было не таи. ') Длн краткости аапнен далее формально положено с-1 П гс=1. с=* $ В [ес, =пни ~ Л1%'с = пцп ~ [с, Т 1=1 и С=с П; )Рс= Х йгм ° "",Х,(П',-) 1 ф 51 примеры свертывлния крнтариза 57 то существовали бы !„для которых !пах Л11Р! > Л!!,%'!,.
!«!«! Но тогда, взяв достаточно малое А и отняв его от всех 34(пусть количество !' равно т), реализующих щах Л11Р!, !«!«! получим новые Л;,=Л!,— А. Образовав Л!,=Л!!,+тб и оставив без изменения остальные Л!=Л,' прн !чь!ь и 1~!„ получим при достаточно малом А новый вектор Л', для которого !пах Л;Ф'! < щах Л!Чу„ !«!«Б !«!«6 что противоречит предположению о Л,', как реализующем ппп щах Л!Я!"!. ! !«!«! Итак, Л7%'!=Цйг!=с=Ж,. 5 $ Отсюда Л7= — и 1=~,Л,'!=с~~',—. с=! Таким образом, Ф',=с= ! , что и требовалось В',=тах т!и р!Ж'!= и !«!«! з ! 1=! Это последнее равенство означает в силу ранее сказанного еще и следующее. 6 5 Пусть ~ Л! =1 и ~р;=1 при р!)~0 и Л!)~0. !=! 1=1 Тогда Ф',=п!ахщ!п~Л!Ю!=п~ах ппп р!1Р'!= ! Р х Ф! я !«!«в т» 1 !~ я~.
доказать. Аналогично можно убедиться и в справедливости ра- венства 58 О ФОРИАлизАции исследОВАния ООВРАций (гл. й 6. О моделях с векторным критерием эффективности Сказанным в Я 3 и 4 можно было бы и ограничить рассмотрение не полностью сформулированных моделей (моделей с несвернутым векторным критерием (Гог(х, у))), считая, что эти модели обычные, с одним критерием, но включающие в себя специальные неконтролируемые факторы, связанные с нерешительностью или нечеткостью формулировок оперирующей стороны. Однако в современной литературе значительное внимание уделяется вопросу о множестве критериев; в связи с этим необходимо сказать еще несколько слов. Рассуждения о выборе рациональных действий при «множестве» критериев можно подразделить на три группы: а) В результате терминологической нечеткости часто к критерию эффективности присоединяют и активные средства, называя их вектор также критерием.
Но активные средства задаются, ограничиваются, как сказано в пункте Б З 5, а не оптимизируются, если только они не входят вместе с исходным критерием в сложный критерий эффективности, образованный по способу 111. Во всех этих случаях критерий эффективности, очевидно, единствен и выражается так, как показано в 8 5. б) Довольно неопределенные разговоры о компромиссах между различными составляющими вектора критериев, которые по существу являются введением единственного критерия. На этой части нет смысла останавливаться. в) В ряде экономических исследований имеется попытка ввести понятие рационального выбора стратегий при множестве критериев, аналогичное обычному понятию оптимального выбора (максимума единственного критерия), имеющемуся при отсутствии неконтролируемых факторов (кроме фиксированных).
Именно, введено понятие эффективного (в иных источниках — экстремального) значения вектора критериев (ш,(х,)) среди всех возможных векторов (в~(х)). Вектор х, можно назвать точкой эффективности. Вектор (Го, (х,)) называется Аффективным значением вектора критериев, если не суи(ествует среди всех возможных векторов (Го (х)) такого, что Гсг(х)эиу(х,) для всех 1, и хотя бы для одного 1' вто неравенсгпво строгое. э 61 о модвпях с звктогиым кеитггием 59 Эффективные векторы н предлагается иногда считать рациональным выбором при множестве критериев. Покажем, что эта постановка вопроса по существу эквивалентна случаю единственного критерия при наличии неопределенных факторов.
Назовем определенно неэффективным вектором (ы~т(х,)) такой, что найдется х„для которого и)~(х1) <и~у(ха) при всех !. Теорема Ч. Пусть (ют(х,)) — эффективный вектор, причем ы (х,) >О для всех !. Тогда он оптимален для некоторых Л ) О (~~"„Л;=-1) при единственном критерии ппп Л,ев (х). Наоборот, определенно неэффективные векторы ! не могут реализовать максимум ни при каких Лл ) О. Доказательство.
Пусть (и (х,)) — эффективный вектор. Положим Л, = 1!в~(х,), тогда пппЛрг,(х,) =!. Для ! любого хФ х, в силу того, что х, эффективен, имеется 1, такое, чпю и (х) < иу (х,). Но тогда Л,т, (х) < 1 и, сле- довательно, ппп Л т (х) < 1 =пипЛ.~ю,(х,). ! ! Это и означает, что х, реализует максимум критерия т!п Л.ку(х) при Лу — Лр Разделив этот критерий на ~чР~Лр окончательно докажем первую часть утверждения.
Пусть теперь х, определенно неэффективен. Тогда су- ществует х, такой, что при любых Л; > О, ЛтиЯх,) < Лтт~(х,) и, следовательно, ппп Лги~,(х,) < гп(пЛ~и,(х,), а зйачит, х, не является точкой реализации максимума йу(х) = =пппЛ и (х) ни для каких Л ) О. / Пример т,(хп х,)=х,+х,; т,(хп х,)=х,+А — х, при х,, > О и х,, < А показывает, что существуют задачи, в которых множество эффективных векторов бесконечно. Здесь каждый вектор х,=(х,', А) является эффективной точкой. Действительно, если х,+хч)х',+А, А+х,— — х,) А — х,'+А и хотя бы одно из неравенств строгое, то, сложив эти неравенства, получим х, ) А, что невозмож- но. Одновременно неопределенны и Лр Другой пример с бесконечным множеством эффектив- ных значений вектора критериев можно получить, 60 о еогмализации исслкдонания оикваций [гл.
! например, в модели !Ч, если взять для защиты за вектор критериев вектор ( — шах [х! — р;у,; 0); 1(г(й) количеств прошедших средств нападения на каждом из й пунктов, взятых с обратным знаком. Если х; фиксированы, то все векторы критериев, получающиеся при выполнении неравенств у! ( х;/рь эффективны, ибо тогда вектор критериев представим в виде ( — Ы вЂ” ргу!)) = Муг — г) и при '~' у!=и увеличение хотя бы одной из компонент этого вектора немедленно должно сопровождаться уменьшением какой-то другой. Теорема Ч утверждает, что мы получим все эффективные векторы*), перебрав максимумы для некоторого набора векторов (Л ) при Лу> О.
Отсюда же ясно, что понятие эффективного вектора, если он не единствен, не имеет особого смысла, поскольку не указывается, как же произвести выбор между ними, и в то же время ясна их неравноценность при разных Лр Развиваемая далее теория выбора при наличии неопределенных факторов позволяет преодолеть эти трудности. Из сказанного видно, что в дальнейшем можно не рассматривать специально не полностью сформулированные модели, т. е.
«множество» критериев. Заметим, что в книге Карлина имеется сходный с теоремой Ч результат, основанный на первом элементарном способе соединения критериев при предположении о выпуклости функций ву(х) (см. главу 7, стр. 254). Результат этот формулируется в виде следующей леммы. Лемм а. Пусть х, — точка эффективности для системы критериев [гву(й)) ([(г) ари наличии системы ограничений [г(х) ) О, и пусть функции и!у(х) и [у(х) вогнуты. Тогда существует вгктор о=(о„...,о,) (оу>О,~ч; от —— !=! = 1), так что максимум функции г а(х) =~ауге (х) [=! *) Легко, несколько вндонзменив единственный критерий, добиться, чтобы реализациями его максимумов были только точка зффектнвностн.
61 6 71 пакотогые овщиг пгпнципы на мнолсестве всех х, удовлетворяющих ограничениям ~у(х))О, достигается при х=х,. Доказательство приводить не будем. С точки зрения задач этого раздела теорема Ч более интересна, поскольку на критерии ш~(х) и множество допустимых х не накладывается никаких условий; э,(х) и 1 1х) могут быть любыми функциями. $7. Некоторые общие принципы исследования операций Подведем некоторые итоги предыдущих суждений о моделировании операций.
1. Критерий эффективности в модели единствен, стремление к его увеличению является математическим эквивалентом цели операции. Однако он может зависеть от специальных неопределенных факторов, выражающих неясность целей оперирующей стороны или недостаточную изученность явлений. Понятие эффективного вектора результатов вряд ли имеет большое значение, поскольку не дает ничего нового по сравнению с оптимизацией скалярного критерия эффективности при наличии неопределенных факторов.
2. В основу методов свертывания вектора результатов (критериев) при объединении операций в более широкую могут быть положены операции взятия максимума и минимума результатов и суммирование их с весовыми коэффициентами; добавив к этому метод разбиения результатов на удовлетворительные и неудовлетворительные, получаем полную систему методов свертывания. Для свертывания системы критериев качественного типа, принимающих лишь значения О; 1, можно вместо максимум» и минимума применять логические операции — конъюнкцию и дизъюнкцию. 3.
Оперирующая сторона имеет в своем распоряжении некоторое количество активных средств и распоряжается способами их использования (стратегиями). Целью исследования операций является оценка эффективности стратегий 1т. е. величины критерия эффективности при данном способе действий) и выбор рациональных стратегий. 4. Величина критерия эффективности зависит еще и от обстановки операции †фактор, не контролируемых оперирующей стороной.
Исходя из информированности 62 О ФОРМАЛИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ ~ГЛ. исследователя операций, неконтролируемые факторы следует разбить на следующие категории: а) фиксированные, значения которых известны; 6) случайные, с известными законами распределения; в) неопределенные, относительно которых известна только их область изменения. Неопределенные факторы в свою очередь можно разбить на «природные», происходящие из-за недостаточной изученности процессов, факторы, обязанные своим появлением нечеткости пели или критерия, и факторы, выражающие действия разумного «противника», не преследующего цель оперирующей стороны.
5. Оперирующая сторона может иметь в момент исследования операции или при ее проведении дополнительную, неизвестную исследователю операции информацию о неконтролируемых факторах. Поэтому исследователь должен, вообще говоря, рассматривать и стратегии, являющиеся функцией конкретного содержания этой возможной информации. Таким образом, в общем случае стратегия оперирукщей стороны, с точки зрения исследователя, есть функция пока неполученной, ио ожидающейся информации.
6. Правильно сформулированная модель должна учитывать все с) шественные неконтролируемые факторы, даже если это ведет к значительному осложнению исследований. В частности, почти всегда необходимо учитывать наличие неопределенных факторов. Особенно это существенно в экономических и военных операциях. Между тем в настоящее время при моделировании в основном учитываются только фиксированные и случайные факторы. Добавим к этому еще несколько практически очевидных суждений, с математическим выражением которых (не всегда тривиальным) приходится часто встречаться. 7. Увеличение вектора активных средств может только увеличить успешность проведения операций при разумном его использовании. Действительно, всегда можно просто не использовать добавок активных средств. Это практически очевидное утверждение может, однако, вступить в противоречие с математической моделью и даже самой реальной операцией, если в них не будет предусмотрена возможность неполного использования активных средств, Т, е, создания резерва, $7) некотоРые оьщие пРинципы В математических моделях это обстоятельство легко отражается тем, что в постановке задачи предусматривается ограничение активных средств А ( А' (т.
е. а;(а«), а не полное использование А = А,. В реальной операции возможность создания резерва отнюдь не всегда может быть легко обеспечена. 8. Увеличение множества стратегий по тем же причинам также может привести только к увеличению успеха. Из этого тезиса, между прочим, следует, что выгодно рассматривать объединение операций, если при этом ясно, как видоизменяется критерий эффективности. Действительно, при этом множество стратегий становится шире, чем просто «сумма» стратегий, за счет возможности перебрасывания активных средств из одной частной операции в другую (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
