Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971).djvu), страница 3

Если, например, будут известны только $,(т) с четными номерами, то пространство стратегий может состоять только из операторов вида х (1, $,(т,), ..., 5д(т;)). Если 1Е предполагается получать информацию только о я~ ч;(Г), 1=! ОБОБЩЕННАЯ СХЕМА ОНЕРАЦНН 17 то пррстранство стратегий может состоять только из Н оператрров вида х 1, ~ч~ $,(т;) . 1=1 В свою Очередь, $!(т!) зависят от значений ху(т), вектора А и некоторого количества неконтролируемых оперирующей стороной функций у,(т), отражающих изменяющуюся во времени обстановку.

Неконтролируемые факторы, исходя из информированности о них исследователя операции, следует разделить на три группы. !. Фиксированные факторы, значения которых известны исследователю операции. 1!. Случайные фиксированные факторы, т. е. случайные процессы с известными законами распределения.

!Н. Неопределенные факторы, для которых известна только область распределения фактора, внутри которой онн могут находиться, или область, внутри которой находятся законы, если известно, что фактор случаен, но неизвестен точно закон распределения. В последнем случае лучше говорить о неопределенном законе распределения случайного фактора. Неопределенные факторы, в свою очередь, следует разбить на следующие подгруппы: а) неопределенные факторы, появляющиеся за счет наличия независимо от оперирующей стороны действующих людей или автоматов, не преследующих, вообще говоря, цель оперирующей стороны; неопределенные факторы такого типа можно условно назвать стратегиями противника, обладающего и своими активными средствами, ограничения которых и набор (пространство) стратегий противника составят область подобных факторов; б) неопределенные факторы, появляющиеся из-за недостаточной изученности каких-либо процессов или величин; такие неопределенности можно назвать природными; в) неопределенные факторы, отражающие нечеткость знания цели операции или критерия эффективности; формально этот внд неопределенных факторов может быть, конечно, отнесен к природным, однако необходимо бое место в исследовании операций.

18 О ФОРМАЛИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ ГЛ. ! Наиболее яркие примеры неопределенностей первого типа дают военные действия и спорт, где заранец' неизвестная тактика противника создает неопределенности, самым серьезным образом влияющие на исход ощрации. Типичным примером неопределенности второго типа является неопределенность в законе распределения случайной величины, относительно которой известны только первые моменты — математическое ожидание и дисперсия. Наконец, примером неопределенности третьего типа является неопределенность в выборе критерия оценки деятельности предприятий, выпускающих продукцию нескольких существенно различных типов. Введение неопределенных факторов является сравнительно новым элементом, выходящим за пределы ставших уже традиционными случайностей; систематическое изучение ситуаций с неопределенностями и представляет собой то новое,что содержит теория игр.

Следует заметить еще раз, 'что указанное разбиение неконтролируемых факторов сделано с точки зрения исследователя операции и соответствует его информированности в момент производства исследований. Что же касается оперирующей стороны в целом, то оиа может иметь большую информацию, что и отражено в общем понятии стратегии. Для нее неопределенные и случайные факторы или соответствующие им значения фазовых координат могут стать известными (фиксированными факторами) в ходе проведения операции или даже раньше (но после проведения исследований), и это может быть использовано при выборе поведения. В дальнейшем нам будет неудобно пользоваться только что сформулированной общей схемой модели операции ввиду того, что она недостаточно наглядна и требует систематического использования функционального анализа.

Следует также заметить,что соответствующие теоретико- игровые вопросы недостаточно разработаны. Поэтому мы ограничимся дискретной моделью, которая может рассматриваться как приближение к указанной ранее модели, необходимое, например, для проведения исследования модели на машине дискретного счета. Многие из практических моделей по существу являются такими дискретными моделями. 19 5 1] ововщеанля схемА опеглции В (!некратной модели считается, что ход операции вполнц характеризуется значениями фазовых координат в дисйретные моменты времени; эти значения мы можем записывать как $11, где1 — номер момента времени.

Точно так же решение о выборе х~ принимается дискретно, и их значения могут быть перенумерованы в виде х~!', неконтролируемые факторы соответственно записываются в виде у„. При этом $М оказываются просто функцией всех х а и рР1, (и, конечно, вектора А) при 1! (1. СтРатегией соответственно бУДет набоР фУнкций х, ($п 1), где 11я 1 — 1'„а 1',— запаздывание. Для дальнейшего упрощения записи схемы обобщенной модели будем обозначать через Х, вектор (ху1) и через г"! — вектор (у„). Вектор Х, и вектор ( Х, ) =Х являются значениями, которые могут принимать стратегии в момент 1 или во все моменты.

Саму стратегию, как правило, для краткости часто будем обозначать через Х. В частности, когда дополнительная информация о $ не ожидается, стратегия сводится к выбору значений Х заранее, т. е. Х=Х. Именно поэтому мы часто и само Х будем называть стратегией. Однако этим не исчерпывается множество возможных стратегий, если информация о $ ожидается и будет использоваться. Далее заметим следующее. 1. Неконтролируемые фиксированные факторы можно в функциях опускать, поскольку они постоянны в данной модели.

2. Для удобства будем вместо одного вектора г'! употреблять иногда отдельные обозначения для разных типов факторов, например 1'1, 'г'1, 'г'1, где У! означает 1 !1 П! 1 случайные неконтролируемые факторы, Т! — природные — 1! неопределенности (включая и третий тип) и Т! — неопре- !1! деленные факторы, связанные с противником; для вектора активных средств последнего будем использовать обозначение В. 3. Поскольку 511 являются функциями контролируемых и неконтролируемых факторов, в обшей схеме модели можно, опуская указание на промежуточную зависимость )Р" от $, записать критерий эффективности яу 20 О ФОРМАЛИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ (ГЛ. 1 в виде Ф'=Р(Х„У)1„)'~!', У, Ае Ва) Зта запись и станет общей упрощенной схемой модели, если будет указано, что оперирующая сторона стремится увеличивать й7 и что возможные значения векторов Х и 7 и Г' находятся в соответствующих областях, 1! 1!! известных исследователю операции, а для Т! известны 1 законы распределения.

Кроме этого, исследователю операции должно быть задано семейство исследуемых стратегий, т. е. вектор-функций Х,(ХР, Ус„У~1,', у'р,п), где 1'<1 и 1,(1 — 1„1,(1 — 1„1,(1 — 1„дающих право выбора оперирующей стороной векторов Х, при наличии некоторой информации о предыдущих значениях контролируемых и неконтролируемых факторов"). Из эпюй записи следует, чпю при отсутствии случайных и неопределеннь!х факторов достаточно рассматривать стратегии типа Х = Х. Зто обстоятельство является прямым отражением того, что в этом случае информированность оперирующей стороны о неконтролируемых факторах (а значит, и о $!) не превосходит информированность исследователя операции. Поскольку задание стратегии Х = (Х!(ХР, У'1, У1, )'!. )) при данны х значениях неконтролируемых факторов апределяет Х„то этим определено и значение йУ. Таким образом, наряду с (1) можно пользоваться и записью ИУ =- с" (Х, )'), (1') где )' = ( )'1, 71, 7~" 11 = 1, 2, ...).

Следует еще раз заметить, что для хода операции знание предыдущих моменту 1 значений $ эквивалентно знанию всех предыдущих Х и У; это обстоятельство, несущественное с точки зрения обобщенной записи модели, весьма важно с практической точки зрения, особенно при исследовании операций с наличием противника. *) Здесь опять опущена промежуточная зависимость л! от $ и последних от контролируемых и неконтролируемых факторов. Й 2! ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ 21 Поскольку А' и В' в данной модели обычно фиксированы, в (1) будем опускать эти аргументы. В теории игр функция (1) называется платежом одного из игроков; этим игроком у нас является оперирующая сторона.

Если бы для противника тоже был задан платеж н соответствующие ограничения стратегий, то указанная обобщенная математическая модель операции была бы тем, что называется игрой. Однако в теории операций это далеко не всегда можно предположить, и это на первый взгляд существенно отличает исследование операций от теории игр.

й 2. Примцры моделей Приведем некоторые примеры моделей операций и покажем разнообразие возможных практических вариантов моделей, даже сравнительно несложных. Однако все они соответствуют указанному выше общему виду. Большинство из этих моделей будет так или иначе обсуждаться в последующих разделах книги. 1. Модель анализа технологических процессов. Пусть имеется и технологических процессов, с помощью которых производятся некоторые изделия одного и того же или различных типов. Пусть х,— планируемый выпуск проду«ции 1«м технологическим процессом. Для производства единицы продукции 1ьй процесс требует количества с! сырья !-го типа.

Количество сырья !Его типа, имеющегося м распоряжении планирующей организации (оперирующей стороны), ограничено величиной а,'. Поэтому имеем ограничения с!ух~(а,'; !=1, ..., т. (2) != Критерием эффективности считается общая ценность продукции, которая может быть записана в виде и !=1 где а — цена единицы продукции 1-го процесса, Максимизация еу и есть задача планирования. В этой модели нет ни случайных, ни неопределенных неконтролируемых факторов (и, значит, информированность 22 о оогмллпзлции псслздозлияя опзглций !г». ~ исследователя и оперирующей стороны одинаковы); однако они могут появиться, если, например, д~ точно не известны.

Активными средствами является сырье, а стратегиями— выбор величин х~', таким образом, здесь Х=Х=~х~). Эта модель дает типичный пример задачи линейного программирования. П. Аппроксимация функций полипомами — традиционная математическая задача. Пусть дана функция !(!), заданная на отрезке !0,1).