Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971).djvu), страница 59

Имеем, очевидно, 7 „' (х, у) = О; РР' (О, !) = Е.Р (О, !) =- 0; р„' ( 1, 1) = М „ '( 1, !) = — а', (г); М ((, К) — 7. ((, К) = р,(с)а,(Г), М„(х, !) р,(х)а,(!). Поэтому уравнение (389) приобретает вид 1 — рс(!)а! (!) С а (!) = — ~ р! (Х) а', (!) (а (Х) С(Х вЂ” др,а! (() (390) при а(д деля на а',(() и дифференцируя, получим уравнения ~'р! О) вс (с) (аЯ1 =Рс(!))а(!) пРи а((. ас (С) Отсюда 1а(() аа при 1) а, р (с) я'(с) ),(Г) =О при ! ( а.

(39Ц Точно так же для сра(!) имеем р, Я а, Я р, Я = () р~ Я (1 — а (у)] р (у) с(у+ а 1 +] рс (!)Гра(у)с(у+Дс)ар (!)+Ду р (() (392) с Отсюда ~' ~.~' ) Ч1. (!) ~ = (1 — а ((Н ср (() — ср (!) = — а (!) ср (!) р'(с) и с!с!, (с) (393) рс(с)у (с) Из уравнений (383) имеем, очевидно, др,!р», ц — р(1, о)]+др, (р(о, ц — р(о, о)]+ 1 + ] (р (х, ц — р (х, 0)] !а (х) с(х = О, а ду,(р(1, ц р(о, ц]+дд,(р(1, о) — р(о, о)]+ 1 +~ [г(1, у) — р(0, у)]ч,(у)ау=о. а 380 иггы с пллтзжными егнкциями члстяого вилл (гл.

ч т. е. с ~ Р1(0 ((=1 '~ Р19)а (О (394) Определяя отсюда с„далее из условия (392) имеем — "~ =(р'(()11 — а (у))," ) Ф+ Р,(() Р'ЫУ1 (У) 1 р (() Р1Ы Р'Ь)а Ы Отсюда получим условие, определяюп(ее ьк (Р1(У)1(У1Ы)1+(Р1(У)(У Р1(0;) Р1(У)У1Ы )) Р'(У)У (У) 1 1 1 Р1 Ы(! — У1 Ы!,(9+ '1 Р1 (У),~ Р1ЫУ (У) ~ Р'(У) и поэтому имеем 1 ланд — лял~у Р (У)а (У) (395) Поскольку Р(1, 1)=Р(1, О) =1; Р(0, 0)=О=Р(0, 1); Р(х, 1)=р,(х) =Р(х, О); Р(1, у)=1 — я,(у); Р(0, р)=0, то первое уравнение удовлетворяется тождественно, а из второго получим 1 дд,+Ь(.+г)(1 — а,(У)) р.(У) (У=о.

а Отсюда из-за 1 — У,(у)) 0 неизбежно приходим к выводу Лд,=Ад,=0 (тогда условия (383) не являются необходимйми). Йо тогда из условия нормировки 1 ~ 'ро (г) '(( = 1ю а б 291 иггы с вывогом момент« в»ямани 381 По смыслу задачи Лр«=0, с и Лр! связаны следующими соотношениями: Лр»=1 — !(Гз(х) с(х=1 — с ~ ! (396) Второе уравнение, вытекающее из (390), очевидно, дает (д,(1)=1): Ар,= — =с. с аз(!) = ' Поэтому с учетом (398) получим Ар!=с= 1 (397) лз(Оа! рз (Ов1(О Совокупность (391), (393), (394), (395) и (397) дает решение задачи. Для иллюстрации рассмотрим случай р, (!) = у! (1) = р(().

Тогда р'(!). з р'(О, 2рз(а) тз ! р»091 Iз рз(!)) ! ! рз(а) ° Для а получаем уравнение 1 — 2р(а) — р'(а)=0, откуда р(а)=)/2 — 1. И, наконец, 1 2рз (а) Ар! — с— + 2 ( рз(а) ) Другие примеры решения дуэлей можно посмотреть в книге М. Дрешера «Стратегические игры». Дальнейшие же общие теоретические разработки вопросов существования и единственности решений дуэлей с монотонными М(х, у) и Е(х, у) можно найти все в той же монографии Карлина.

ЛИТЕРАТУРА 1. Дж. фон Ней м а н, О. Мор ге н штер н, Теория игр и экономическое поведение, «Наука», 1970. 2. К ар лип С., Математические методы в теории игр, программировании и экономике, «Мир», 1964. 3. Льюс Р. Д., Рай фа Х., Игры в решения, ИЛ, 1961. 4.

Веитцель Е. С., Введение в исследование операций, «Советское радио», 1964. 5. Чуев Ю. В., Мельников П. М., Петухов С. И., Шор Я. Б., Степанов Г. Ф., Основы исследования операций в военной технике, «Советское радио», 1965. 6. Б е л л м а н Р., Процессы регулирования с адаптацией, «Наука», 1964. 7. А й не к с Р., Дифференциальные игры, «Мир», 1967. 8. Герм ей е р Ю. Б., Методологические и математические основы исследования операций и теории игр (текст лекций), Ротапринт МГУ, 1967. 9. Б лек узлл Д. и Гирш и к М., Теория игр и статистических решений, ИЛ, !958. 10. К о ф м а н А., Ф о р Р., Займемся исследованием операций, «Мир», 1966. !1.

Рай ветт П., А кофф Р. Л., Исследование операций, «Мир», 1966. 12. Глушков В. М., Введение в кибернетику, Изд-во АН УССР, 1964. 13. Гейл Д., Теория линейных экономических моделей, ИЛ, 1963. !4. Шилов Г. Е., Г у реви ч Б. Л., Интеграл, мера н производная, «Наука», !964. 15. Г медеи к о Б. В., Курс теории вероятностей, Фиэматгиз, 1962.

16. Вентцел ь Е. С., Теория вероятностей, Фи»маттиа, 1962. ! 7. Г я е д е н к о Б. В., Ш о р Я. Б., Надежность, Энциклопедический справочник «Автоматизация производства и промышленная электроника», !963. 18. Давыдов Э. Г., О применении стильтьесовских моментов, )Курнал вычислительной математики н математической физики 7, № 5, 1967. !9. Гермейер Ю. Б., Иргер Д. С., Калабухова Е. П., О гарантированных оценках надежности системы при неполных сведениях о надежности элементов, Журнал вычислительной математики и математической физики 6, № 4, 1966. 20. Белл ма н Р., Г лаксберг И., Гросс О., Некоторые вопросы математической теории процессов управления, ИЛ, 1962. литнРАТРРА 383 2!.

«Матричные игры», Сборник под ред. Н. Н. Воробьева, Фязматтиз, 1961. 22. «Бесконечные антагонистические игрыэ, Сборник под ред. Н. Н. В о р о б ь е в а, Физматтиз, 1963. 23. Мак-К инеи Дж., Введение в теорию игр, Фи»маттиа, 1960. 24. Болтянский В. Г., Математические методы оптимального управления, «Наукаэ, 1966. 25. Моисеев Н.

Н., Численные методы теории оптимальных управлений, использующие вариации в пространстве состояний, Кибернетика 3, 1966. 26. В о о о 6ьев Н. Н., Конечные бескаалиционные игры, УМН 14, № 4, 1959. 27. Пшеничный Б. Н., Двойственный метод в зкстремальиых задачах. 1, 11, Кибернетика 3 и 4, 1965. 28. П шеи и чн ы й Б. Н., Б и р зэк Б., О некоторых задачах минимвзации негладких функций, Кибернетика 6, 1966. 29. Гер мейер Ю. Б., О необходимых условиях для максмина, Кибернетика 1, !967.

30. Д е и ь я н о в В. Ф., К решению некоторых минимаксных задач, Кибернетика 6, 1966. 31. Левитин Е. С., Поляк Б. П., Методы минимизации при наличии ограничений, Журнал вычислительной математики и математической физики 6, № 5, 1966. 32. И р ге р Д. С., Об оптимальной фильтрации по минвмаксному критерию, Техническая кибернетика б, 1966. ЗЗ. Гольштейн Е. Г., Юдин Д. Б., Новые направления в линейном программировании, «Советское радио», 1966. 34. Д р е ш е р М., Стратегические игры, «Советское радио», 1964.

35. Гермейер Ю. Б., Необходимые условия максмина, Журнал вычислительной математики и математической фвзики 2, 1969. 36. Тын я иск и й Н. Т., Основы теории двойственности задач нелинейного программирования и дифференциальные игры, Москва, 1968. 37. Гермейер Ю. Б., Приближенное сведение с помощью штрафных функций задачи определения максмина к задаче определеняя максвмума, Журнал вычислительной математики и математической физики 3, 1969.

Юрий Борисович Г«плей«в ВВВДЯНИЯ В ТЯОРИЮ ИССЛЯДОВАНИЯ ОПЯРАЦИИ (Серва: «Оптимизация в нсследааавве операцвйь! М., 1971 г., 384 стр. Редактор З. Г. Длзыдоз Техн. редактор и . Ш. Аксельрод Корректоры 3. В. Автол««за, Л. С. Сомма Сдано в набор 26/Х! !970 г. Подписано к печати !1/У!П 1971 г. Бумага 84Х108Ц«з.

Фвз. печ. л. !2. Усвоен. печ. л. 20,16. Уч..вщ. л. 20,71. Типаж 22 6ОО вкз. Т-12390. Цена книга 1 р. 66 к. Заказ 10 2000 Издательство «Наукаь Главная редакцвя физико-математической литературы. Москве, В-71, Ленинский проспект. 18 Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография именя А. А. Ждаиава Глаеполаграфпрома Комитета по печатв М о н Совете Мвввстров СССР. осква«М-64, Валовая, 28 Отпечатано ео 2-8 типографии издательства «Наукаь, Зак. 2760 Москва Г-99, Шубинсквй пер., 1О .