Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971).djvu), страница 4

Требуется аппроксимировать ее полиномом Р„(!) степени не выше п. Активные средства — степень полинома, а стратегия— выбор его коэффициентов. Цель операции не конкретизирована, пока не указано, что понимается под аппроксимацией. Чаще всего рассматривается аппроксимация в среднем, где за ошибку принимается 1 1 р л ~о ~ Ц Я вЂ” Р Я)* г!! — - ) 1 ~ !!) — ~~' хф ~ й = — !э'(х), !4) о о 1'=о и требуется ее минимизировать. В этом случае неконтролируемых факторов опять нет. Однако более общей постановкой вопроса является такая аппроксимация, где ошибкой считается просто ~1!!) — Р(!)! = — Ф'. !5) В этом случае значение 1, при котором нужно приближенно выразить !!!), обычно заранее неизвестно и, значит, является типичным неконтролируемым природным неопределенным фактором. Необходимость определить полипом может появиться для того, например, чтобы создать программу приближенного определения известной !!!) для упрощения исследований и т.

п. Однако возможна и, может быть, даже более интересна задача с неточно известной ~(!). !!!. Схематическая модель численного поиска экстремума функций. Пусть о функции !(!), заданной на !0,1], априори известно, что она удовлетворяет условию Липшица с коэффициентомй,т.е. что )~(х) — ~(х')~(й~х — х'~. Требуется приближенно определить ее минимум (максимум]. $21 пгнмигы моднлий Активным средством является машинное время, ограниченное величиной Т. На каждое вычисление одного значения )" (х) пусть требуется время А. (Это также ограничивает класс 1(х).) Тогда максимально возможное число точек х, в которых может быть определена функция, есть т —, и это также можно считать определением активных средств *).

Стратегиями является выбор значений хг при 0(хг(1 н т Приближенным значением гп!п)'(х)=1(х„) и места х, его реализации считается ппп ((х,)=((х;). г 'е ' 1<СК— й Ошибкой в определении экстремума является вектор ((~(хе) — 1(хг )); )х,— хг Ц, (6) который в этой модели и есть фазовый вектор. Однако в такой постановке задачи критерий эффективности остается пока еще неясным, поскольку неясно, какой компоненте в (6) прн минимизации ошибки следует отдать предпочтение.

Можно, конечно, использовать критерии типа — )(у =)'[Г'(~е) — 1 (х;е)1'+ (х. — ~ге)' — ))7 = ! ) (х,) — ~ (хг ) ~ + ( х, — х, ). Более же общим видом критерия будет, например, — ((У = Л ~ ~ (хе) — ~ (х;,) ~+ (1 — Л) ~ х, — х,, ), (7) где 0 ( Л < 1. «) Без ограничения рассматриваемого класса функций обойтись, очевидно, нельзя. Даже непрерывность функций без указания равно- степенности втой непрерывности для всего семейства неможет сделать задачу осмысленной. Действительно, если не делать предположений о равностепенности, то, какое бы число точек 1(х;) мы ни взяли, всегда можно указать непрерывную функцию такую, что ш1п/(х) отличается от ш(п((х;) на сколь угодно большую величину как по х значению, так н по месту экстремума. Именно поэтому и принято предположение об условии Лившица.

24 о фогмвлвзхции исследования опвгвций !гл. ~ Имеет смысл рассматривать также критерий йУ = — «пах (Л(1(х) — 1(х, ) (, (1 — Л)(х,— х;,!). (8) Величины Л и ! — Л называются коэффициентами важности или веса составляющих ошибки (6). Возможны, однако, и другие постановки вопроса. Так, например, критерий может иметь вид Ф' = — )х» — х; при непременном условии ~1(х») — 1(х,,) ~ ~ в. Здесь в,— заданная точность определения минимума.

Возможна и сильно отличающаяся постановка вопроса, когда критерием является машинное время, потребное для определения экстремума с заданной точностью. Во всех этих случаях неопределенными факторами являются значения функции 1(х) и Л, если Л не фиксирован (неопределенный фактор третьего типа). Однако поскольку в критериях мы имеем дело только с 1(х;), х, и 1(х,), то их (вместе может быть с Л) и достаточно считать неопределенными факторами. В заключение заметим, что для окончательной конкретизации задачи требуется уточнить, необходимо ли определять все значения х, или хотя бы одно из них. Для простоты будем считать, что достаточно определить хотя бы одно. Вообще говоря, в «замкнутой» операции (т. е. не связанной с другими операциями) всегда достаточно определить хотя бы одно решение, поскольку все они равноценны с точки зрения рассматриваемой операции.

!У. Модель действий нападения против защиты в военных операциях. Пусть имеется У средств нападения и и средств защиты. Пусть имеются й мест возможного прохода средств нападения через линию средств зашиты; ! пусть будет номером места прохода. Предположим, что при расположении одного средства защиты на 1-м месте оно в состоянии уничтожить р, средств нападения, проходящих через этот пункт.

Нападение стремится увеличить общее количество прошедших через защиту средств нападения. Обозначим через х; количество средств нападения, прорывающихся через 1-й пункт, а 25 пгимегы моделей через у! †количест средств защиты, расположенных на этом месте. Критерием эффективности операции средств нападения, очевидно, будет .~~шах ~х! — р;у;; 0] 1=1 (9) при условии й ь х!)О, ~ х,=У, у!)О, ~ч", у,=и.

(10) !=1 ' ' ' ' !=! Фиксированным неконтролируемым фактором здесь является величина и; стратегия нападения состоит в выборе величин х!. Случайностей н природных неопределенностей нет. Имеется активный противник, стратегии которого (у!) являются обычно неопределенным фактором при планировании операции заранее. Оперирующая сторона — нападение, — может быть, сможет получить и использовать информацию о (у!) в момент боевых действий. Таким образом, стратегиями могут быть функции х;(у„..., у„). Ч. Модель производства продукции для экспорта.

Пусть имеется и видов продукции, нумеруемых индексом которые могут быть проданы на внешнем рынке по цене р; за единицу продукции. Внешний рынок, естественно, ограничен как по количеству й! продукции !ьго типа, которое может быть им поглощено в год, так и по сумме денег С, которую покупатели могут выделить на приобретение всех видов продукции за год. Предположим далее, что производство вектора Х— продукции, состоящего из х; единиц !-й продукции в год, требует расхода или наличия у,(Х) единиц так называемых производственных факторов (деньги, рабочая сила, оборудование и т.

п.), общее количество видов которых пусть будет и, а номер вида ). Первый номер присвоим деньгам. Пусть вектор Г= — )Ч„ ... , Р„) является вектором годовых запасов производственных факторов. Предположим, наконец, что имеется конкурент, также могущий производить у; единиц !чй продукции и продавать ее по цене г;; примем, что г!эьр, 26 О ФОРИАлизлции исследОИАния ОИИРлций (гл. ! Целью операции является увеличение прибыли, т. е.

величины / и ег(вр, ь!р Р,— р!; „!с — ХО р,; Р!(— (- ! 1=! — др(х„...,х„), (11) у.=ш)п (я!; у!шах ( Р' '; 0)]; (12) где при этом должны быть выполнены условия д (х„..., х„)(У~., 1=1, ..., л!. (13) В такой задаче р; и г! могут считаться заданными. Тогда стратегиями являются векторы Х=(х„..., х„), а неопределенными факторами могут быть уо выбираемые конкурентом.

В этом случае должны быть ограничены производственные возможности противника путем введения функций д; н ограничений Ур, аналогичных Арт и 1',. ! Стратегиями оперирующей стороны и конкурента могут стать и векторы (р!) и (г!). Последнее особенно вероятно, если целью койкурента окажется уменьшение дохода оперирующей стороны. В обычном же случае цель конкурента может быть записана совершенно так же, как (11) — (12). Отметим, что сформулированная задача далека от обычных задач линейного и нелинейного программирования, которыми часто описывают экономические проблемы.

71. Модель оценки надежности неремонтируемых систем. Пусть имеется некоторая система (например, радиолокационная), состоящая из а агрегатов с номерами !, которая может находиться только в одном из двух состояний— работоспособном или неработоспособном. То же пусть относится и к отдельным агрегатам. Предположим, что агрегаты соединены последовательно, т.

е. неработоспособность (выход из строя) одного агрегата влечет за собой выход из строя всей системы; н наоборот, система может потерять работоспособность только в случае выхода из строя агрегата. Если обозначить через 1! †моме выхода !-го агрегата из строя, то критерий эффективности системы, показы- й 2! пгимагы моделей вающий, что до момента ! система находилась в работоспособном состоянии или в !О, !) потеряла работоспособность, можно, очевидно, записать в виде %'(!)=1 при ! < ппп 1Ц; ~<с<а йГ(г)=0 при !) ш(п 11,1, 1<1<и где 1 означает работоспособность.

Часто, однако, в качестве критерия используется и само время безотказной работы системы, которое равно Т= ппп 11;). (15) ~к~<л (14) или же Т- гпах ппп 1,л ~<)к 1к~ка (17) Величины 1; обычно считаются случайными с законами распределения р;(!), дающими вероятность невыхода аг- регата из строя до момента !. Таким образом, здесь налицо неконтролируемые слу- чайные факторы; однако стратегия пока только одна, поскольку конструкция системы полностью задана. Повышение надежности, т.