Anderson-et-al-1 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 8

Будем искать решение уравнения в виде суммы ряда Ю и(г, О) = — '+ ~ г" (аа сов пй+ Ьа з1п пО). и ! Значения коэффициентов а„и Ь„можно определить стандартным для а„и Ь„методом [ОагаЬейап, 1964). Для данного примера выражения для а„и Ь, зависят от граничных условий во всех точках единичного круга. Такая зависимость решения в любой внутренней точке области от условий на всей границе области характерна для всех эллиптических уравнений.

Отметим, что единственное решение поставленной задачи существует, если только где интеграл вычисляется по единичной окружности )Еас)тшапоп!он, Т)тое, 1976]. Это можно доказать при помощи теоремы Грина, примененной к единичному кругу. Итак, в рассмотренной задаче граничные условия не могут быть произвольными, а должны удовлетворять специальному интегральному условию. 5 2.4. Корректно поставленные задачи В предыдущих разделах мы изучили математические свойства уравнений в частных производных. На ряде примеров было показано, что характер решения этих уравнений определяется заданными граничными и начальными условиями.

При изучении гиперболических уравнений в частных производных было показано, что, в случае когда начальные условия заданы на характеристике, нельзя найти единственное решение уравнения. Для эллиптических и параболических уравнений также можно привести примеры неудачных граничных и начальных условий.

Трудность, возникшая при попытке решить гиперболическое уравнение с заданными на характеристике начальными условиями, состоит в ответе на вопрос, корректно ли поставлена Рассматриваемая задача. Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если она имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных и граничных условий.

На возможную неединственность решения УРавнений в частных производных указывает пример 2.6. Адамар )Набашагд, 1952] построил простой пример, показывающий, что решение не всегда непрерывно зависит от начальных условий. 40 Гл. 2. Уравнения а частных производных Пример 2.9.

Решить уравнение Лапласа и„„+и„„=О, — оо<х<со, у)0, с заданными при у = 0 граничными условиями и(х, 0)=0, и„(х, 0) = (1/и) з!п (нх), и > О. Решение. При помощи метода разделения переменных легко получить и = (1/на) з!и (нх) зЦиу).

Если рассматриваемая задача корректно поставлена, решение должно непрерывно зависеть от граничных условий, одно из которых имеет вид иа(х, 0) =(1/а) з!и (ах). Следовательно, при больших и величина и„малая. Решение уравнения ведет себя при больших и иначе. При больших п решение и стремится к е"а/аа, т.

е. неограниченно растет даже при малых у. Однако и(х, 0)= О, т. е. непрерывность по начальным данным отсутствует. Итак, задача поставлена некорректно. К этому же выводу можно было прийти на основе проведенного выше анализа свойств уравнений в частных и производных, не выписывая их решение. Действительно, уравнение Лапласа эллиптическое, поэтому его решение зависит от условий на всей границе замкнутой области.

В рассмотренном же пририс. 2.З. Задача дира - меРе тРебовалось найти Решение эллипле: чаи = о а тз, и=/(„! тического уравнения в открытой области, на В так как граничные условия были заданы лишь на линии у = О. Наиболее часто встречающимся краевым задачам для уравнения Лапласа присвоены имена известных ученых. Первой укажем задачу Дирихле (рис. 2.8), в которой требуется найти решение уравнения Лапласа в замкнутой области, если на ее границе задано значение искомой функции. В задаче Неймана также надо найти решение уравнения Лапласа в замкнутой области а), если на ее границе задана производная искомой функ- ф 2.6.

Системы уравнений ции по нормали к В, а не сама искомая функция: чаи=О в В, — =д(х) на В. Обобщением задач Дирихле и Неймана, когда на границе замкнутой области задана линейная комбинация искомой функции и ее производной по нормали к границе является так называемая смешанная краевая задача: чаи = О в области О, а~(х) — „+а,(х)и=А(х) на границе В. ди Эту краевую задачу иногда называют также третьей краевой задачей для уравнения Лапласа [Хас)ппапоп1оп, ТЬое, 1976] или задачей Робина. Часто именем Дирихле, Неймана и Робина называют тип граничных или начальных условий, заданных для любого уравнения в частных производных. Например, если мы говорим: «граничное условие Дирихле», то это значит, что на границе области задано значение искомой функции.

Такая терминология используется для уравнений в частных производных любого типа. 5 2.5. Системы уравнений При изучении физических процессов обычно приходится решать системы уравнений в частных производных, так как редко удается описать сложный физичсский процесс одним уравнением в частных производных. Но даже в тех случаях, когда физический процесс описывается одним уравнением в частных производных высокого порядка, это уравнение можно заменить системой уравнений первого порядка. Проиллюстрируем зто двумя простыми примерами. Заменим волновое уравнение (2.32) системой двух уравнений первого порядка. Обозначим ди ди п = —, гв=с— д1 ' дх и рассмотрим систему уравнений ди дм — =с— д1 дх (2.45) дм до — =с —.

д1 дх ' Гл. 2. Уравнения в частных производных Подставляя в любое из уравнений вместо и н и их выражение через и, видим, что функция и удовлетворяет волновому уравнению. Многие физические процессы описываются уравнением Лапласа (2.1). Заменим его системой уравнений в частных производных первого порядка ди дв — =+— дк ду' ди дв ду дх (2.46) относительно неизвестных и и и.

Это известные уравнения Коши — Римана [СЬигсИ!1, 1960), широко используемые в теории конформных преобразований '>. Так как многие задачи вычислительной гидродинамики сводятся к решению систем уравнений в частных производных первого порядка, то для корректной постановки задач необходимо уметь определять тип системы уравнений в частных производных. Рассмотрим систему линейных уравнений в частных производных первого порядка ~~ +[А) д +[В] д" +г=О. (2.47) и Следует отметить, что между решениями уравнения Лапласа и уравнений Коши — Римана существует некоторое различие: решение уравнений Коши — Римана всегда является решением уравнения Лапласа, но не всякое решение уравнення Лапласа является решением уравнений Коши — Римана, Для простоты ограничимся случаем, когда матрицы коэффициентов [А] и [В] являются функциями только г, х и д.

Неизвестное и является вектором-столбцом, а г зависит от и, х и у. С точки зрения авторов работы [ХасЬгпапод1оп, Т)юе, 1976] тип системы уравнений в частных производных первого порядка можно уверенно определить лишь в двух случаях. Система уравнений (2.47) называется гиперболической по (х, 1), если все собственные значения матрицы [А] вещественны и различны. Рихтмайер и Мортон [гс(сЫгпуег, Мог1оп, 1967] предложили считать гиперболической систему уравнений в том случае, когда все собственные значения матрицы [А] вещественны и эту матрицу можно представить в виде [Т] [)ь] [Т)-', где [Х] — диагональная матрица, состоящая из собственных значений матрицы [А], а матрица [Т]-' — матрица левых единичных собственных векторов.

То же самое можно сказать о поведении системы уравнений по (у,1) в зависимости от собственных значений матрицы [В]. $2.5. Системы уравиеивя В качестве примера рассмотрим систему уравнений (2.45), записав ее в виде (2.48) где и=-, [А)= Собственные значения Л матрицы [А] определяются из решения уравнения с(е1 $ [А] — Л [() ] = О.

Следовательно, т. е. Ле†с' = О. Корни этого уравнения равны: Л1 = +с, Ла = = — с. Вспомним определение характеристик волнового уравнения ( —,) =+с, (дг) = — с. Система уравнений в этом случае гиперболическая, и мы видим, что собственные значения матрицы [А) определяют направление характеристик волнового уравнения. Во втором случае тип системы уравнений (2.47) можно определить, когда все собственные значения матрицы [А) комплексные.

В этом случае система уравнений называется эллиптической по (х, (). В качестве примера рассмотрим систему уравнений Коши — Римана. Пример 2АО. Запишем систему уравнений (2.46) в виде — + [А] — =О, дм дти дх ду где Собственные значения матрицы [А] равны Л1 — — +с, Ла = — й Так как собственные значения матрицы [А) комплексные, то система уравнений (2.46) эллиптическая, что согласуется с уже известными нам свойствами решений уравнения Лапласа.

Система уравнений в частных производных первого порядка (2.47) может оказаться эллиптической по (у, т) и гиперболиче- 44 Гл. х, Уравнения в частных пронзводнык ской по (х, !) в зависимости от собственных значений матриц [В[ и [А[. Это связано с тем, что тип системы уравнений в частных производных первого порядка по (х, !) и по (у, !) определяется независимо. Хеллвиг [Не!!ти!и, !977[ предложил классификацию систем уравнений вида ди до ди до а! — + Ь! — + а, — + Ь, — =- Г„ дх дх ду ду ди - до ди - до и! д +Ь,— +!), д +Ьа д Перепишем ее в векторном виде Ц д +[С[ д дх ду (2.49) Здесь Пусть а, Ь, йхЬ,' и пусть Р = Вт — 4[А [ [С[, где [А [ — определитель матрицы [А[.

Система уравнений (2.49) гиперболическая при Р ) О, эллиптическая при Р ( 0 и параболическая при Р = О. Не ясно, однако, как поступать в том случае, когда часть корней характеристического уравнения вещественные, а часть— комплексные. Система уравнений в частных производных с таким характеристическим уравнением смешанная и может обладать свойствами, характерными одновременно для гиперболических, параболических и эллиптических уравнений. Понять основные свойства решений систем уравнений в частных производных смешанного типа обычно помогает знание описываемых ими физических процессов, а уже имеющийся опыт решения аналогичных систем уравнений — корректно поставить для них задачу.