Anderson-et-al-1 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 6

Процесс распространения тепла в одномерном случае описывается уравнением теплопроводности дТ д*Т де = а дхй ' 28 Гл. 2. Уравненнв в частных производных ИЛИ 2Т ( — 1)п Т = Т,х+ ~Х~~ ' ) е "' '"' з(п (ппх). (2.10) п 1 Пример 2.4. Определить смещение у(х,1) струны длины 1, закрепленной в точках х = 0 и х = 1, если ее начальное смещение имело форму у(х, 0)= з(п(пх/1) и начальные скорости отсутствуют. Предполагается, что внешние силы на струну не действуют.

Решение. Колебания струны описываются волновым уравнением дар , дар (2.11) (а — положительная константа). Решение должно удовлетворять граничным условиям у(0, 1)=у(1, 1)=О (2.12) и начальным условиям у(х, 0) = шп —, — у(х, 1) 1т„о — О. ях д (2.13) Используя метод разделения переменных, получим решение в виде у (х, 1) = ейп (и — ) соз (азт — ) . (2.14) Обычно решение такого типа задач удается найти лишь в виде суммы бесконечного ряда. В рассматриваемом примере удалось обойтись лишь одним слагаемым благодаря тому, что первый член ряда в точности удовлетворяет начальным условиям. Характер физических процессов, описываемых уравнением теплопроводности и волновым уравнением, различен, хотя оба этих уравнения являются маршевыми. Различаются также методы их решения и математические свойства этих решений.

Причины этого будут ясны после изучения математических свойств уравнений в частных производных. Типичными примерами маршевых задач являются также не- стационарные течения невязкой жидкости, стационарные сверхзвуковые течения невязкого газа, пограничный слой, нестацнонарнос распространение тепла. 4 2.3. Математическая классификация уравнений В 2.3.

Математическая классификация уравнений 29 (2.16) Его каноническая форма и имеет вид Фи фчч й! (ФВ Ф Ф $ т1)" (2.17) Уравнение называется параболическим в точке (хо, уо), если Ь' — 4ас = О. (2.18) Его каноническая форма имеет вид Фы=ь (фт, Фч, Ф ~, ч) (2.19) Уравнение называется эллиптическим в точке (хо, уо), если Ь' — 4ас ( О. (2.20) Его каноническая форма ФЫ+ Ф„= йз(фт Ф,, Ф, ~, 9). (2.21) " В отечественной литературе ее обычно называют второй каноннчсской формой гиперболического уравнения.

— Прим, ред. Уравнение в частных производных второго порядка, записанное в общем виде, обычно используют для пояснения математической классификации уравнений в частных производных. Рассмотрим уравнение в частных производных афал+ Ьф,„+ сф„в+ дф„+ еф„+уф=у(х, у). (2.15) Здесь а, Ь, с, г(, е, 1 — функции от х, у, т. е. рассматривается лишь линейное уравнение. Хотя для последующего анализа это ограничение несущественно, однако оно позволяет упростить изложение.

Часто рассматривают квазилинейные уравнения, т. е. уравнения, линейные относительно старших производных. Вэтом случае коэффициенты а, Ь и с в уравнении (2.15) могут зависеть от х, у, ф, ф, и фн. Мы, однако, ограничимся линейным уравнением (2.15) с коэффициентами, зависящими лишь от х и у. Определим теперь канонические формы записи уравнений в частных производных различных типов.

Известно, что в виде (2.15) могут быть записаны уравнения трех различных типов— гиперболические, параболические и эллиптические. Такая классификация уравнений в частных производных второго порядка проводится по аналогии с классификацией кривых второго порядка в аналитической геометрии. Тип уравнения в частных производных, так же как и тип конического сечения кривой второго порядка, определяется знаком определителя.

Уравнение называется гиперболическим в точке (хо, уо), если Ьз — 4ас ) О. зо Гл. 2. Уравнения в частных производных Волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение Лапласа — соответственно уравнения трех указанных типов. При исследовании уравнений гиперболического типа часто используют их характеристическую форму и Фйч=йа(Фй, (йч, ф, $ Ч) (2.22) (2.23) т.

е. вместо независимых переменных х и у введем новые переменные $ и т). Потребуем, чтобы это преобразование было невы- рожденным, т. е. чтобы между (х, у) и (й,т)) существовало взаимно однозначное соответствие. Для этого достаточно, чтобы был отличен от нуля якобиан д(к, Ч) =$х)к — йа)х д(х, р) (2.24) (Тау!ог, 1955].

При применении преобразования координат (2.23) все производные, входящие в уравнение (2.15), вычисляются по правилу дифференцирования сложной функции. Например, дФ дФ дФ вЂ” =$ — +т)— дх = х да х дт) дтФ т дтФ даФ в даФ дФ дФ дхх х дйа хт)х дй дп т)х дпх + хх дй т)хх ди ' Подставив эти выражения для производных в (2.15), получим Аф„+Вф,„+Сф„„+ ... =-да, )).

Здесь А = айт + Ь$„$„+с$Я„, В = 2а$хт)х + Ь|хт)а+ Ь|вт)„+ 2сьвт)в С = ат)х+ Ьт),т)а+ ст)з,. Становится ясным важный результат этого преобразования. Дискриминант преобразованного уравнения В' — 4АС = (Ь' — 4ас) ($хт)п — $нт)х)а (2.26) и В отечественной литературе ее обычно называют первой канонической формой гиперболического уравнения. — Прим, ред.

которая особенно удобна для нахождения аналитических решений. Проведем в уравнении (2.15) замену переменных (х, р)-а, )), з) $2.3. Математическая классификация уравнений причем $~т)у аят) у д(й ч) д(х, у) Следовательно, любое невырожденное преобразование перемен- ных не меняет тип дифференциального уравнения. 2.3Л. Гпперболпчесяпе уравнения в частных производных Для приведения гиперболического уравнения в частных производных к характеристической форме (2.22) перейдем к переменным й, т), являющимися корнями уравнений А = О и С = О.

Первое из этих уравнений имеет вид а$я + Ь$,$ + сйя = О, или, разделив на $я Ф О, имеем а ( ~" ) + Ь ~" + с=О. $я $я (2.27) Рассмотрим поверхности Цх, у)= сопз1. На этих поверхностях ай = — йх+ — йу — О, д$ д$ дх ду т. е. $ /$я = — йу/йх. Подстановка этого выражения в (2.27) приводит к уравнению характеристик а Я) — Ь + + с = О. Найдем корни этого уравнения: ду Ь ~ 1/ЬЯ вЂ” 4ас дх 2а (2.28) (2.29) Ф 1 — Ф„„= й (Ф, $, т)). Поверхности $(х, у) = сопя( и т)(х, у) = сопз( определяются из решения двух полученных обыкновенных дифференциальных уравнений (2.28). Найденные таким образом функции $ и т) называются характеристиками уравнения (2.15). Выбирая их в качестве независимых переменных, можно привести исходное уравнение в частных производных к виду (2.22), которое поэтому и называется характеристической формой гиперболического уравнения.

Замена искомой функции ф на Ф позволяет в случае постоянных коэффициентов а, Ь, с, й и е преобразовать уравнение (2.15) к канонической форме [Сагу, 1969) Гл. 2. Уравнения в частных производных Пусть Л~ и Ла — корни характеристического уравнения аЛа— — ЬЛ+ с =О. Преобразование переменных у — Л,х= 5+ т1, у — Лах =  — т1 (2.30) Ж вЂ” = =Ь 1. дх Проинтегрировав эти обыкновенные дифференциальные уравне- ния, получим х+1=$, х — г=т1.

Перейдем к переменным $, т1. Так как фи = фы — 2фач+ фчч ф- = фаа+ 2фач+ фчч то фач =О. Таким образом, мы нашли характеристическую форму волнового уравнения. Приведем пример, показывающий преимущества этой формы записи волнового уравнения. Пример 2.3. Решить волновое уравнение ии — — с'и„„ в области — оо < х < + оо с начальными условиями и(х, 0)=)(х), и,(х, 0) =д(х). (2.32) Решение. Перейдя к характеристическим переменным, получим иач =О. Здесь ~= х+ с1, т1 = х — с1. Решение этого уравнения определяется последовательным интегрированием и имеет вид и(х, () =Р, (х+ с1) + Ра(х — с().

(2.33) позволяет исключить из уравнения член со смешанной производной. Для исключения членов, содержащих первые производные, проведем замену искомой функции по формуле ф=Фе-а4е рч (2.30а) Подходящим выбором а и р (см. задачу 2.5) можно привести уравнение (2.15) к виду (2.29). Проиллюстрируем переход к характеристическим переменным на примере волнового уравнения ф» — ф (2.31) Здесь а = 1, Ь =О, с = — 1, поэтому уравнения (2.28) сводятся к уравнениям э 23. Математическая классификация уравнений Это решение называют решением Даламбера волнового уравнения [Жу1)е, 19511.

Конкретный вид функций Р~ и Ра определяется начальными условиями и (х О) — ~ (х) — Р~ (х) + Рт (х)~ и, (х, О) = д(х) = сР',(х) — сР'(х). Теперь можно выписать решение поставленной задачи: я+а~ и(х г) — + 2 ~ д(т)с(т. (2.34) я-ы Используем это решение для иллюстрации основных свойств гиперболических уравнений в частных производных. На рис.