Anderson-et-al-1 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 9

Еще более сложной является классификация систем уравнений в частных производных второго порядка. Определить тип такой системы удается лишь в простейших случаях. Например, система уравнений ц! —— [А! ц„„параболическая в том случае, когда все собственные значения матрицы [А] вещественные. От- 4 2.6. Другие уравнения в частных производных 46 меченные выше проблемы, возникающие при классификации си- стем уравнений первого порядка смешанного типа, сохраняются и для систем уравнений второго порядка.

й 2.6. Другие представляющие интерес уравнения в частных производных 1. Линейное волновое уравнение первого порядка — + с — =О. ди ди дг дх (2.50) Это уравнение описывает волну, бегущую вправо с постоянной скоростью с. Оно часто встречается в метеорологии. 2. Невязкое уравнение Бюргерса ди ди — + и — =О.

дг дх Иногда его еще называют нелинейным волновьгм уравнением первого порядка (уравнением переноса). Это уравнение описы- вает процесс распространения нелинейных волн в одномерном случае, 3. Уравнение Бюргерса ди ди дви — +и — =т— де дх дхв (2.52) отличается от предыдущего нелинейного уравнения (2.51) тем, что в правую часть добавлен диффузионный член. Это уравнение очень похоже на уравнения газовой динамики и часто используется как простая модель для анализа численных методов их решения. 4. Уравнение Трикоми дви дви у — 4-+ — — 0 В этой главе мы пока изучали в основном решения уравнений второго порядка — уравнения Лапласа, теплопроводности и волнового уравнения, а также систем уравнений в частных производных первого порядка.

Приведем еще несколько очень важных уравнений в частных производных, которые либо описывают часто встречающиеся физические процессы, либо используются для анализа свойств разностных схем, применяемых при решении более сложных уравнений. Для большинства приведенных ниже уравнений существуют точные аналитические решения. Гл. 2. Уравнения в частных производных является уравнением смешанного типа. Оно описывает, напри- мер, трансзвуковые течения невязкого газа. Важным свойством уравнения Трикоми является то, что оно изменяет тип с эллип- тического на гиперболический в зависимости от знака у. 5.

Уравнение Пуассона дзи даи д„-г+ —, — 1(х. У). Это уравнение эллиптического типа описывает распределение температуры в твердом теле, когда внутри тела есть источники тепла интенсивности ((х, у). Уравнение Пуассона описывает также напряженность электрического поля, если плотность распределения зарядов равна 7(х, у). 6. Уравнение конвекции и диффузии д$ где! дай — +и — =а —. д! дх дхз ' (2.55) Это уравнение описывает перенос скалярной величины й при скорости конвекции и; а — коэффициент либо вязкости, либо диффузии.

7. Уравнение Кортевега де Вриза (ди ' ди 'д'и — +и — + — ==О. д! дх дхз (2.56) Это уравнение описывает процесс распространения нелинейных волн при наличии дисперсии. Задачи 2.!. Покажите, что в решении уравнения Лапласа (2.3), полученном в примере 2.1, козффнцненты ряда Фурье А, определены правильно. Указание. Умножьте обе части соотношения (2.3) на з(п(тих) и проиитегрируйте в интервале О ~ х < 1; вы получите требуемый результат, если учтете граничное условие Т(х, О) = Тз. 2.2. Покажите, что поле скорости, потенциал которого описывается соотношением (2.6), удовлетворяет граничному условию (2.4).

2.3. Покажите, что формулы (2.14) действительно дают решение волнового уравнения. Воспользуйтесь методом разделения переменных. 8. Уравнение Гельмгольца (2.57) Это уравнение описывает движение нестационарной гармонической волны с волновым числом й. В приложениях его используют для описания распространения звуковых волн. Задачи 47 2.4. Покажите, что тип уравнения в частных производных не меняется ири любом невырождепном вещественном преобразовании переменных.

2.5. Приведите гиперболическое уравнение (2.29) к канонической форме, применив к уравнению (2,15) преобразование переменных (2.30) и (2.30а). Найдите а и 5. 2.6. Покажите, что записанное в канонической форме уравнение (2.36) действительно параболическое. 2.7. Покажите, что едивственное решение уравнения, приведенного в примере 2.8, существует, только если г(0)Ж =О, где интеграл вычисляется по единичной окружности с центром в начале координат. 2,8, Определите тип уравнений дзи дан ди — 1-+ — + — = — е д1 дха дх даи дзи ди дху дхду+ ду =4 2.9. Определите тнп системы уравнений по (й х) и (й у): ди до ди — + — — — =О, дг дх ду до ди до — — — + — =О. д1 дх ду 2.10. (а) Разложите в ряд Фурье по косинусам функцию г (х) = з!и (х), 0 < х < и.

(Ь) Разложите в ряд Фурье по синусам функцию г(х)=сов(х), 0<х<м, 2.11. Найдите характеристики уравнений дан дан дан (а) — +3 +2 — О, дхз дх ду дуа дяи дзи дан (Ь) — — 2 — + — = О. дха дх дд дуа 2.12. Приведите уравнения предыдущей задачи к канонической форме, 2.13. Приведите к канонической форме следующие эллиптические уравне- ния в частных произволных: даи дяи дзи (а) — + — + — = О, дха дх дд дуа дзи дви дан ди (Ь) — — 2 +5 — я+ — =О.

дха дх ду дуа ду 48 Гл. 2. Уравнения в частных производных — — е"к =1, ди д» ди ди — — 8 — О. дх ду 2.16. Решите волновое уравнение дяи дан =0 у)0, дхз дуз ив(х, 0) О. 2.16. Решите уравнение Лапласа %гам=0, 0~»(п, 0(у(н, с граничными условиями и (х, 0) = з1п х + 2 з1п 2», и(п, у)=0, и(х, п)=0, и(0, у)=0. 2.17. Повторите задачу 2.16 при и(х, 0) = — пахе+ 2п»' — »4 2,18. Решите уравнение теплопроводности ди дал — — 0(х(1„ дт дха ' с граничными условиями и(6 0)=0, н(1, 1)=0 и начальным условием и (О, х) = з1п (2ггх).

2.19. Повторите задачу 2.18, если начальное условие имеет вид и (О, х) = 1 — соз (4пх). 2.14. Приведите к канонической пения в частных производных; дан дзи дан (а) — — 6 — + 9 — + дха дх ду дуа дти дзи дзи (Ь) — у+ 2 — + — + 7 дх дх ду дуа с начальиымн условиями и(х, О) =1, форме следующие параболические урав- Глава 3 Основы метода конечных разностей й 3.1. Введение В этой главе изложены основные понятия и методы, используемые при конечно-разностном решении уравнений в частных производных. Основой метода конечных разностей является дискретизация — замена непрерывной области совокупностью изолированных точек (сеткой), причем решение уравнений ищется лишь в этих точках (узлах сетки).

Производные аппроксимируются конечными разностями и решение уравнения в частных производных сводится к решению системы алгебраических уравнений. Основные особенности получающейся системы алгебраических уравнений определяются типом исходного уравнения в частных производных (или системы уравнений в частных производных). Стационарные задачи обычно сводятся к системам алгебраических уравнений, которые приходится решать одновременно во всей расчетной области, учитывая заданные граничные условия. Маршевые задачи часто сводятся к алгебраическим уравнениям, которые можно решать последовательно (хотя часто удобнее одновременно решать несколько уравнений). В этой главе рассматривается также вопрос о том, сколь точно решение разностных уравнений приближается к решению исходной задачи.

Для этого анализируется погрешность аппроксимации, устойчивость и согласованность разностных схем. $ 3.2. Метод конечных разностей Одним из первых шагов при применении метода конечных разностей к решению уравнения в частных производных является переход от непрерывной области к конечно-разностной сетке. Пусть, например, надо найти решение и(х,у) уравнения в частных производных в квадратной области О ( х ( 1, О ( ( у ( !.

Введем сетку, т. е. будем рассматривать не и(х,у), а и((Лх,(Лу). Положение точек (узлов сетки) внутри области определяется значениями величин й /, поэтому разностные уравнения обычно записываются для произвольного узла (й(), причем используются значения функции и в этом и соседних узлах сетки. Конечно-разностная сетка и используемые обозначения 50 Гл. 3. Основы метода конечных разностей показаны на рис.

3.1. Пусть ис; = и(хо, у,), тогда и,„, 1 — — и(хо+ Лх, уо), и,, 1 — — и(хо — Лх, уо), и11+~ —— и(хо Ус+Ау), ис,1-и=и(хо Уо — ~ЪУ). При решении маршевых задач номер узла сетки по маршевой координате обычно обозначается верхним индексом (например, и"+'). Для каждого уравнения в частных производных существует множество его конечно-разностных аналогов, из которых обычно нельзя выбрать наилучший со всех точек зрения. В первую очередь при использовании метода конечных разностей надо стре- миться к правильной аппроксимации уравнений поставленной задачи, а во вторую очередь выбрать «наилучшую» схему, т. е. оптимизировать ее, учитывая ее точность, экономичность, удобство программной реализации на ЭВМ и т. д. Для того чтобы лучше понять идею конечно-разностной аппроксимации производных, вспомним определение производной от функции и(х,у) в точке (хо, уо): — = 1пп ди . й(хо+ Лх, уо) — и (хо, уо) а»о Ьх (3.1) Если функция и(х,у) непрерывна, а Лх — достаточно мало, но конечно, то значение разности (и(хо+ Лх, уо) — и(ха, уо)) /Лх будет близко к значению производной ди/дх.

Действительно, из теоремы о конечном приращении следует, что разностное значение производной равно производной искомой функции в некоторой точке интервала длины Лх. Формально проверить точность разностной аппроксимации производной можно, разложив функцию и в ряд Тейлора нлн по формуле Тейлора с остаточным членом. Выразим и(хо+ Лх,уо) через значения функции и и ее х 1 Рнс. 3.1. Пример конечно-рааностной сетки. ! '1,)+1 1-1.3 и1 3 Ц!+1 $1 ° ° ! ' ' и1,3-1 $ 3.2. Метод конечных разностей производных в точке (хе, уо): ди ! даи ! (Ьх)а и(ха+ х УО) и(»0 УО) + д» ~ ~»+ д»а ! 0! + ' + + — „, ~ + — „~ —, ха ~(В ~((хе+ Лх).