Anderson-et-al-1 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 10

(3.2) дл-'и ( (ах)л-! дли ! (Дх)л Здесь последнее слагаемое — остаточный член. Применяя разности вперед (их часто называют «правыми» разностями), перепишем выражение (3.2) в виде ди ( и(»0+в» ре) — и(ха уе) даи~ ~» (33~) дх! и Ьх а»а!О з! Обозначив для краткости значение функции в узле (1,() разностиой сетки индексом (, !', получим ди ! из+! ! — и! ! — + погрешность аппроксимации, (3.4) дх (з,! Ьх где разность (ие+!, ! — иь;)/Лх, очевидно, является конечно-разностным представлением производной (ди/дх)ь р Погрешностью аппроксимации называется разность значений частной производной и ее конечно-разностного аналога. Можно характеризовать погрешность аппроксимации стандартным математическим обозначением порядка малой величины (О).

Тогда последнее выражение можно переписать в виде ди ! и,+,! — иет — + 0(Лх), дх !з,) Лх где 0(бх) имеет точный математический смысл. Представление погрешности аппроксимации в виде 0(Л») обозначает, что погрешность аппроксимации по абсолютной величине не превосходит К)Лх( при Лх — »О (для достаточно малых Лх), причем К ) Π— вещественная константа. Практически порядок погрешности аппроксимации в этом случае равен Лх и является самой высокой степенью, общей для всех членов уравнения. В общем случае выражение )(х) = 0(ф(х)) означает, что существует такая не зависящая от х константа К, что !((х) ~( ~ К!ф(х) ~ для всех х из области 5, где )' и ф — вещественные или комплексные функции х, определенные в 5. В качестве области 5 часто выбирается область х-з-оо (достаточно большие х) или, как бычно бывает при использовании разностных методов, область х-+-О (достаточно малые х).

Подробно математическое обозначение символа 0 описано в учебнике Уиттекера и Ватсона [тЧЫ((а(сег, !)((а(зоп, 1927]. 52 Гн. 3. Основы метода конечных разностей (3.7) Отметим, что представление погрешности аппроксимации в виде 0(бх) ничего не говорит о величине погрешности, а лишь указывает на характер ее стремления к нулю. Если погрешность другой конечно-разностной аппроксимации производной равна 0[(Лх)'], то можно ожидать, что во втором случае погрешность аппроксимации будет меньше, чем в первом. Это утверждение безусловно верно для достаточно малых Лх, но какое Лх будет «достаточно малым», определить заранее сложно. Можно построить бесконечно много конечно-разностных аппроксимаций производной ди/дх!с ь В качестве примера построим аппроксимацию этой производной с использованием разностей назад (их называют также «левыми» разностями).

Запишем ди ! и(хо — Лх, уо) =и(хо, уо) — — ! Лх+ дх !о После несложных преобразований найдем выражение, аппроксимирующее производную разностями назад — + 0 (Лх). ди( и,~ — и~ дх !Ьт йх Вычитая соотношение (3.5) из соотношения (3.2), получим аппроксимацию производной центральными разностями ~з+1 / ~~ — ь! 1 0 (з )з, дх (Ь~ 2ах Складывая выражение (3.2) и (3.5), найдем конечно-разностную аппроксимацию производной второго порядка — '+'~ '~ ' '~ +0(Лх)е.

(3.8) Отметим, что приведенные примеры отнюдь не исчерпывают всех возможных конечно-разностных аппроксимаций производных первого и второго порядка. Для сокращения записи удобно ввести разностные операторы. Будем называть разностным оператором первого порядка вперед по переменной х выражение Л„и, ~ — — и,«, ~ — и, и (3.9) Тогда конечно-разностную аппроксимацию вперед частной производной первого порядка можно записать в виде — + 0 (Ьх) = — + 0 (Лх).

(3.10) вз 5 3.2. Метод конечных разностей Аналогично записывается и конечно-разностная аппроксимация производной ди/ду: Введем также разностный оператор первого порядка назад т„и! ! = и! ! — ие,;. (3.11) Часто используют центральные разностные операторы 6, 6 и ба: (3.13) (3.14) (3.15) б,и! ! — — ие„! — и,, г, бхи1,! = ие+и2, ! ие-!/ь !, б',и, = 6„(б„и! ) = нее! ! — 2и,, + и и оператор осреднения 1а: из+!та; + и! ие ! 1ххи! ! —— (3.16) Удобно ввести специальные операторы центральных разностей, хотя два из них легко выразить через разностные операторы вперед и назад первого порядка: би, !=ли, !+Уи! т, б„'иь! =Ь.ие,! — Ч.ис! =Ь„т7„ие,!.

(3.17) (3.18) Используя введенные центральные разностные операторы, ко- нечно-разностный аналог первой производной можно записать в виде Аналогично аппроксимируется центральными разностями и вторая производная: де 1 62 Используя его, можно записать конечно-разностную производную назад функции и в узле (1, !) разностной сетки в виде 54 Гл.

3. Основы метода конечных разностей Разностиые операторы вперед и назад более высокого порядка определяются рекуррентными соотношениями Лхис, С = Лх (сз„ис, С), 7„"ис, с = 7„(7„" сис, с). (3.21) (3.22) В качестве примера приведем консчно-разностную аппроксима- цию вперед второй производной: 2 С)хис, С Л (из+с С вЂ” ис с) и;+з — ис+, С вЂ” из+с С+ ис С (ах)з (дх)з (ах)е — — + 0 (Лх). (3.23) (ах)а дха )С, С Можно показать, что разностная аппроксимация вперед или назад производной любого порядка записывается в виде дха (3.24) (3.25) ди дх 'с + 0(й), с,с +0(й), с,с й '+' с ' ' с + 0 (йе) с,с йй (3.26) (3.27) ди дх (3.28) Центрально-разностная аппроксимация производной любого порядка, большего двух, выражается через операторы Л, 7 и 6. Более подробно применение разностных операторов описано в курсах вычислительной математики; см., например, (НИсЬгапб, 1956).

Большинство уравнений в частных производных, встречаю. щихся в гидродинамике и теплопередаче, содержат лишь частные производные первого и второго порядков, при этом для аппроксимации производных стараются использовать не более трех узлов разностной сетки. Поэтому на равномерной сетке (Лх = й = сонэ() чаще всего применяют приведенные ниже конечно-разностные аппроксимации первых производных 55 $ 3.2. Метод нонечных разностей ди ~ — зи; /+ 4ис+с / — инд / + 0 (йа) дх (с,/ 2И ис / ис с,/ с — 2 / 1 0(с.а) дх с/ 2И (3.29) (з.зо) (з.зц Для трехточечной аппроксимации вторых производных иа рав- номерной сетке (Лх=/с=сонэ() чаще всего используют соот- ношения дхи дхх '+„"+ '+"+О(/с), "" '"'-„' '"'-' +0(й), ис+с, у ис, /+ ис-с, / + 0 (йт) Иа 6~и +0(й).

И' (/+ ИЯ//2) (3.32) (3.33) ь/ даи дха до дхт (3.34) с,/ (3.35) Остановимся подробнее иа записанной (трехточечиой компактной разностной аппроксимации производных с четвертым порядком точности (соотношения (3.31) и (3.35) (О/ахам, !згае11, 19741. Обозначив ди/дх~1/, / = ос,/, представим (3.31) в виде ( —.). — —- дх Ихис, / 2 ~т + 6~ с/ 2Ь илн с дхис, / 6 (ос+, /+ 4ос /+ ос с /) =— (3.36) В это соотношение интересующая нас производная оь; входит неявно. Производную он/ можно определить, зная и;,ь путем решения системы алгебраических уравнений с трехдиагоиальной матрицей, которое проводится обычно весьма эффективно.

К решению системы алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей сводятся многие маршевые задачи для уравнений в частных производных второго порядка, что будет обсуждаться далее в гл. 4. Здесь же достаточно представлять себе трехдиагональную систему как конфигурацию, которая получается в слу- Гл, 3. Основы метода конечных разностей п(хо+ М Уо+бу) =ы(хо Уо)+»»,»зх дх +ЛУ д ) ы(хв Ув)+ д д + 21 (Лх д +»зу д )»»(хо Уо)+ ° ° ° + + —,(»)х — к+ Лу — ) и(х + ОЛх, у + О»)у), О <0<1. (3.37) 1 д д н Таблица 3.1. Конечно-разностные аппроксимации производнык, использующие больше трех узлов разностной сетки Произ- водная кравис. иие Конечно.разностная аппроксимация и, 1 — 2и»е» 1+ 2п», » — и» + О (Ьа) и»+ 1 — 4и»+» 1+ би» 1 — 4и»» 1+ и» + О(Ьа) (3.38) (3.39) + О (Ьв) и»+ел+ 4и»+з 1 би»+»,! + 2"к» (3.40) — Зи»+, » + 14и»+3 / 24и»+з » + 1Ви»+» 1 — би,.

1 + О (Ьз) (3.41) 2и»» — 5к; » 1+ 4и» т 1 — и» +О (Ьа) 5и, 1 — 1Ви, , 1 + 24и» з 1 — 14и»-з,» + Зи»-о 1 + О (Ь ) (3.43) — и»ьз»+ Ви»», » — Ви,, »+и»-т,! + О (Ь') (3.44) — и +»+16и»+»» — Зои» 1+ 1би»» 1 — и» + О (Ь') (3.45) ди дх дзи дхз »,1 чае, когда каждое разностное уравнение системы включает одну искомую функцию, вычисленную в трех смежных узлах разно- сткой сетки. Соотношение (3.35) позволяет неявно выразить вторую производную дзи/дхз)», ».

Некоторые аппроксимации производных, в которых используется и более трех узлов разностной сетки, приведены в табл. 3.1. Для полноты несколько общих представлений смешанных частных производных приведено в табл. 3.2. Они будут полезны для схем, которые будут обсуждаться в последующих главах. Справедливость этих соотношений можно проверить, используя разложение функции и в ряд Тейлора для двух переменных: $33. Конечно-разностная аппроксимация уравнений 57 Таблица 3.2.