Anderson-et-al-1 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 11

Конечно-разностные аппроксимации смешанных производных Уравне- нве Прона- водная Конечяо.ревностная аннронсвмавнв ди ] ! (иг+г„,— „... дхду ]г 1 2ьх(, 2Ьу — ' '",'„' " ')+онь );(ьд)*] 2ьу (3.52) ' ")+ Кь)'вьд] Ьу (3.53) — )+ 0 Кьх)Я, Ьу] Ьу (3.54) даи ] 1 (и +, — иге!; дхду ]г 1 2ьх(. Ьу й 3.3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений в частных производных 3.3.1.

Погрешность аппроксимации Анализ погрешности аппроксимации начнем с уравнения теплопроводности ди даи — =Я (3.53) дг дх Используя разности вперед для аппроксимации производной по времени и центральные разности для аппроксимации второй )+ 0(ьх, Ьу) (3.46) даи 1 Г иг+!; — и!+! ! ! иг 1 — и!1 дхду;,1 Ьх (, Ьу Ьу дви 1 У и! !+! — и! 1 и! ! 1+! — иг — ' + ' — ' ' + ' ~+ 0(Ьх, Ьу) (3.47) дхдд гт Ьх т, Ьу Ьу — — ) + 0 (Ьх, Ьу) (3.48) дви 1 /иг ! — иь; ! иг г) — иг дхду г,у Ьх ч Ьу Ьу — — ) + 0 (Ьх, Ьу) (3.49) даи 1 У и!+, !+! — и!+! ! иг 1+! — иг 1 ! дхду г,! Ьх (, Ьу Ьу / — — — ) + О (Ьх, (Ьд)а] дви ] 1 Уиг+г 1+1 — иг+г 1 ! и! 1 ! — иг 1 дхду ]г,! Ьх ~ 2Ьд 2ьу (3.50) (иг 1+1 ию,1-1 иг — г,г+! иг-г,г-!1+ дхду г ! Ьх в 2Ьу 2ьу даи ~ 1 (и — и и — и (3.51) Гл.

3. Основы метода конечных разностей производной, получим аппроксимацию для уравнения теплопро- водности на+з на и (3.56а) Как отмечено в $ 3.2, погрешность аппроксимации уравнения (3.56а) определяется использованием разностей вперед по ! и центральной разностной аппроксимации производных по х. Если в уравнении (3.55) член справа перенести в левую часть, а в правой части записать погрешность аппроксимации производных, то получим дн сЗ-и оп+1 а а* * а,6зв с" з "-ое и п! Здесь цифрами 1, П, 1П обозначены исходное уравнение в частных производных, его конечно-разностный аналог и погрешность аппроксимации.

Погрешность конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения определяется разложением в ряд Тейлора в окрестности одной и той же точки (в рассмотренном примере точки (и,!)). Конечно-разностный аналог уравнения (3.56а) будем вазы- вать простой явной схемой решения уравнения теплопроводности. Разностная схема называется явной, если в каждое алгебраическое уравнение входит лишь одно неизвестное, которое с помощью этого уравнения может быть выражено через уже известные величины.

Таь как параболическое уравнение теплопроводности решает маршевую задачу, то начальное распределение и должно быть задано, поэтому значения функции и на п-м временнбм шаге можно считать известными. Если для аппроксимации второй производной в уравнении теплопроводности использовать значения функции и на (ц + 1)-м временнбм шаге, то в каждое разностное уравнение войдут три неизвестных.

Такая схема называется неявной, так как одновременно приходится решать несколько алгебраических уравнений. Подробно различие явной и неявной схем будет рассмотрено в гл. 4. Заключенное в квадратные скобки н обозначенное цифрой П! слагаемое в правой части соотношения (3.56Ь) называется погрешностью аппроксимации уравнения теплопроводности и определяется как разность между исходным уравнением в частных производных и его конечно-разностным аналогом. Отметим, что при вычислении погрешности использованы лишь первые $3.3. Конечно-разностпая аппроксимация уравнений 39 члены ряда Тейлора.

Порядок погрешности аппроксимации в этом случае равен 0(гзг)+ 0((Лх)п), который часто для краткости записывают в виде О(/зг, (/зх)т). Применяя численные методы, мы решаем лишь разностные уравнения и надеемся, что погрешность аппроксимации мала. Может быть, на первый взгляд такой подход не вызывает сомнений, но если задуматься, то сразу возникает ряд вопросов. Например, где гарантия, что, решая разностные уравнения маршевым методом, мы получим значения, достаточно близкие к решению исходного уравнения в частных производных? На этот вопрос можно ответить утвердительно, лишь если разностная схема удовлетворяет условиям согласованности и устойчивости.

3.33Ь Согласованность разностных схем Согласованной называется разностная схема, аппроксимирующая уравнение в частных производных. Напомним, что погрешностью аппроксимации называется разность между дифференциальным уравнением и его конечно-разностным аналогом, поэтому услоннем согласованности разностной схемы является стремление к нулю погрешности ацпрокснмации при измельчении сетки.

Это условие безусловно выполняется, если погрешность аппроксимации убывает при измельчении сетки, т. е. если погрешность аппроксимации имеет порядок 0(стг), 0(Лх) и т.д. Однако если порядок погрешности аппроксимации равен, например, 0(стг/Лх), то схема будет согласованной лишь в том случае, когда измельченне сетки проводится в соответствии с условием М/Лх — ьО. В качестве примера рассмотрим схему Дюфорта— Франкела [Рпрог1, Егап)се!, 1953) для уравнении теплопроводности „и+1 „и-~ = - — — ~-(и,". , — и"е' — и"-' + ич ,).

(3.57) Главный член погрешности аппроксимации этой схемы, вычис- ленный с использованием ряда Тейлора, равен Схема удовлетворяет условию согласованности, если !пп ( — ) =О. Если же прн измельчении сетки выполняется условие аг/Лх = = р, то схема Дюфорта — Франкела согласована не с исходным 60 . Гл. 3. Основы метода конечных разностей уравнением, а с гиперболическим уравнением ди е деи дзи — + аде — = а —. дт дЕа дхе 3.3.3. Устойчивость разностных схем Понятие счетной устойчивости строго применимо лишь прн решении маршевых задач. Разностная схема называется устойчивой, если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка (погрешность округления, погрешность аппроксимации, просто ошибка) не возрастает при переходе от одного шага к другому.

Обычно для достижения устойчивости разностной схемы требуется намного больше времени и энергии, чем для достижения ее согласованности. Проверить условие согласованности разностной схемы нетрудно, кроме того, обычно оно выполняется автоматически, т. е. вытекает из использованного метода построения разностной схемы. Устойчивость — свойство более тонкое, и обычно приходится хорошо потрудиться для аналитического доказательства устойчивости разностной схемы. Методы анализа устойчивости разностных схем мы подробно опишем в $3.6. Большинство этих методов применимо лишь к линейным уравнениям в частных производных, однако полученные для линейных уравнений результаты позволяют анализировать устойчивость численного решения нелинейных уравнений. Используя эти соображения, ниже покажем, что схема Дюфорта — Франкела (3.57) безусловно устойчива, тогда как простая явная схема устойчива лишь при условии, что г = =[а/зг/(/хх)а] ( 1/2.

Это условие ограничивает шаг по марше- ' вой координате (времени), если размер шага по пространственной координате задан. Схема, использующая центральные разности по времени с погрешностью аппроксимации порядка 0[(б!)а, (Лх)в[, и" ~ — и" = —, (и~е~ — 2иг + и,". ~), (3.58) безусловно неустойчива и, следовательно, непригодна для численных расчетов, несмотря на то что она выглядит более точной, чем ранее приведенные схемы. Иногда иа неустойчивость схемы указывает физическая нереальность следующих из нее результатов, т.

е. неустойчивая разностная схема неправильно описывает физические процессы. Покажем это на примере явной схемы для уравнения теплопроводности (3.56а), Введя параметр г = асзг/(Ьх)з, преобразуем уравнение (3.56а) к виду и"о' = г(и", + и" ) + (1 — 2г) иг. (3.59) 3 3.3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений 61 Пусть в момент времени 1 и", = и", = 100 'С, а и" ,= 0'С (рис. 3.2). Если г ) 1/2, то температура в узле / на (а+ 1)-м шаге по времени будет выше температуры в соседних узлах в момент времени и, но это физически невозможно, так как тепло передается от более теплого тела к более холодному, а не наоборот. С физической точки зрения температура в узле 1 не 200'С и+1 0'С 100'С п 1+1 100'С 3-1 Рис.

3.2. Противоречащее законам физики изменение температуры при г = 1. может на (и+ 1)-м шаге по времеви превышать 100'С, а из уравнения (3.59) следует, что при г = 1 эта температура равна 200 'С. Необходимо отметить, что во многих работах по вычислительной математике предполагается справедливость этой теоремы для нелинейных уравнений в частных производных, хотя для таких уравнений эта теорема не доказана. 3.3.3. Погрешность округления Любое численно полученное решение, даже так называемое точное аналитическое решение уравнения в частных производных, зависит от ошибок округлсния, связанных с конечным 3.3Л.

Сходимость решения маршевых задач Выполнения условий устойчивости и согласованности достаточно для сходимости разностной схемы. Под сходимостью в данном случае понимается стремление решения конечно-разностного аналога уравнения в частных производных к решению исходного уравнения (для одинаковых начальных и граничных условий) при измельчении сетки. Для линейных уравнений в частных производных доказана теорема Лакса (см. [зс!сЫшуег, Мог1оп, 1967) ), которую мы приведем без доказательства.

Теорема Лакса об эквивалентности, Необходимым и достаточным условием сходимости разностной схемы для решения корректно поставленной задачи с начальными данными для линейного уравнения в частных производных является вьтолнение условий согласованности и устойчивости. 62 Гл. 3.

Основы метода конечных разностей числом знаков, используемых при арифметических операциях. Возникающая при этом погрешность называется- погрешностью оярузления. Она может оказать существенное влияние на решение конечно-разностных уравнений, так как получение этого решения обычно связано с выполнением большого числа однотипных арифметических операций. В ряде случаев погрешность округления пропорциональна числу узлов разностной сетки, поэтому измельчение сетки, снижая погрешность аппроксимации, может увеличивать погрешность округления. Напомним, что погрешностью аппроксимации называется погрешность, возникающая при замене уравнения в частных производных его конечно-разностным аналогом.