Anderson-et-al-1 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 15

При таком подходе физические законы сохранения применяются лишь при выводе уравнения в частных производных и никак не ипользуются при построении разностной схемы. В этом смысле разложение в ряд Тейлора и интегральные методы — формальные методы построения разностных схем для уравнений в частных производных.

При использовании метода контрольных объемов разностная схема строится иа основе физических законов сохранения, следствием которых является рассматриваемое уравнение в частных производных. Сначала этот закон сохранения формулируется словесно для некоторого контрольного объема, окружающего узел разностной сетки, а потом записывается математически с учетом дискретной сетки.

Описанная процедура во многом похожа на ту, с помощью которой уравнения в частных производных выводятся из физических законов сохранения, не проводится лишь переход к пределу при стягивании контрольного объема в точку. Если уравнение в частных производных записано в дивергентной форме, то закон сохранения можно получить, интегрируя это уравнение по контрольному объему и используя формулу Гаусса — Остроградского. На практике метод контроль'- ных объемов позволяет обычно строить более точные вблизи границ разностные схемы, чем другие методы.

Возможно, это связано с тем, что этот метод сохраняет дискретную природу решения задачи на всех этапах построения разностной схемы. В качестве примера рассмотрим двумерный установившийся процесс распространения тепла в твердом теле с постоянным коэффициентом теплопроводности. Как известно, распределение теглпературы удовлетворяет в этом случае уравнению Лапласа (3.72) . Гешснис зада ги начнем с построения разностной сетки. Сначала расположим узлы сетки на границе расчетной области, так как температура границы входит в граничное условие. Затем разобьем всю область решения на контрольные объемы, каждый из которых содержит лишь один узел разностной сетки. Границы контрольных объемов удобнее всего проводить посредине между смежными узлами, хотя при этом узлы разностной ао Гл.

3. Основы метода конечных разностей сетки окажутся в центрах контрольных объемов лишь в случае равномерной сетки, т. е. при гзх = сь Тзу = сз. Рассмотрим сначала контрольный объем, не прилежащий к границе, например объем А на рис. 3.7. Так как рассматривается установившийся процесс, то суммарный поток тепла через границу контрольного объема А должен равняться нулю. Именно из этого закона сохранения выводится уравнение Лапласа для тем- пературы, описывающее рас° ! ° ° пределение температуры внут° ° ! ° ри области. Этот закон можно ~В вывести также из исходного в,д! ° ! ° ь уравнения в частныхпроизвод- х ных, воспользовавшись теоре- 1 мой Гаусса — Остроградского.

° ° ! ° ! По закону Фурье тепловой поток пропорционален градиенту температуры: и = — й'тТ. Слерис. З.у. Конечно-разностная сетка, довательно, если й — констан используемая при решении уравнений тй, то уравнение (3.72) можно методом контрольного объема; Т, й ПЕрЕПИСатЬ В ВндЕ заданы на границе 1. — 1! ° с( = 7 (йтТТ) = О. Интегрируя это уравнение по контрольному объему и используя теорему о дивергенции Гаусса — Остроградского, получим Ц ~р (Вт) я = ~„~)Мт) и (3 = О.

л 3 Интеграл в правой части описывает суммарный поток тепла через границу контрольного объема. Представляя этот интеграл в виде суммы потоков через все границы контрольного объема с центром в узле (з, 1), получим + йбх — ~ =О. оТ дУ з,ге!/2 Здесь 1/2 в нижнем индексе указывает на то, что соответствующая величина вычисляется в центре грани объема (посредине между узлами сетки). Законы сохранения энергии выполняются точно, если на границах для производных выбраны подходящие средние значения.

Используя центральные разности, получаем мй ( ! — !! з!) +йо ( !е!! ь!) 1 йб ( ьг-! з!) бх +йДх"'" ""=О. дд 4 Зиь Различные методы настроения конечно-разностных схем 8! Разделив это уравнение на йЛхЛу, находим Т вЂ” 2Т +Т Т вЂ” 2Т +Т. + '~ ' ''+ =О. (3.92) (Ьх)' (Ьу) (3.93) Следует заметить, что при применении метода контрольного объема необходимо обеспечить выполнение закона сохранения в прилегающем к границе объеме. Приравняем нулю суммарный поток тепла через границу: 2 ду з чнз 2 ду з) пз (3.94) Применяя для аппроксимации производных центральные разности, получаем ЬЬ (Т вЂ” Т )+йЛ "" " + — '"' " + ',Г У Ьх 2 Ьу + — ' ' =О.

ЬЬх (Т... — ТЗ т) Ьу (3.95) Газделив на й, приведем это соотношение к виду — Т + — Т,„, + (Т, „,+Т;,) ИЬу Ьу Ьх /ЬЬу Ьу Ьх т — ( — + — + — ~Т,,=О. й Ьх Ьу) (3.96) Эта запись граничного условия несколько отличается от записи граничного условия в виде (3.93), полученной при формальной В последнем уравнении каждое из двух слагаемых совпадает с аппроксимацией вторых производных д'Т/дхи и дтТТдуз, полученной ранее при помощи рядов Тейлора. Рассмотрим теперь прилегающий к границе контрольный объем, обозначенный на рис. 3.7 буквой В. Пусть граничное условие для исходной (не дискретизированной) задачи имеет вид )т(Т вЂ” Т;;) = — ИдТ(дх~ с и где ((,)) — точка на физической границе области, соответствующей границе контрольного объема В.

Если бы применили метод разложения в ряд Тейлора для задания граничных условий, то нашим следующим шагом было бы построение конечно-разностного аналога производной (дТТдх)с, Аппроксимируя производные односторонними разностями вперед, граничное условие получаем в виде й й (҄— Т,) = — (Т,, — Т, „,). 82 Гл. 3. Основы метода конечных разностей аппроксимации производной дТ/дх~ь; с помощью рядов Тейлора.

Сравнивая метод контрольного объема и метод построения разностных схем, основанный на разложении решения в ряд Тейлора, можно заметить, что последний позволяет построить конечно-разностную аппроксимацию всех входящих в дифференциальное уравнение производных путем суммирования конечноразностных аналогов входящих в него производных. В противоположность ему метод контрольного объема, основанный на применении физических законов сохранения, дает возможность построить лишь конечно-разностный аналог всего уравнения в частных производных, однако в принципе с его помощью нельзя построить конечно-разностный аналог какой-то отдельно взятой производной, например производной ди/дх.

Отличительной особенностью метода контрольного объема является то, что он обеспечивает «баланс» физической величины в окрестности узла разностной сетки. Метод контрольных объемов учитывает дискретный характер решения поставленной задачи, поэтому он обеспечивает выполнение законов сохранения в конечной области, а не только в точке при стремлении шага сетки к нулю. Конечно-разностные схемы, построенные методом контрольныхобьемов, почти всегда консервативны. Трудно понять, чем могут отличаться разностные схемы, построенные для уравнения в частных производных всеми четырьмя указанными в этой главе методами, не рассмотрев большое количество примеров.

Часто, особенно для линейных уравнений в частных производных, при использовании различных методов получаются одни и те же разностные схемы. Ни один из рассмотренных методов не гарантирует устойчивости построенной разностной схемы, поэтому построенная любым из этих методов разностная схема может оказаться бесполезной. Наиболее заметно отличие построенных различными методами разностных схем при использовании неортогональных систем координат и при аппроксимации записанных в недивергентной форме уравнений.

$3.5. Применение нерегулярных сеток Наиболес удобными для проведения расчетов являются регу.лярные сетки с постоянными шагами Лх, Лу во всей расчетной области. Однако на практике такие сетки часто использовать не удается либо из-за того, что граница расчетной области не совпадает с узлами регулярной сетки, либо из-за необходимости сгущать сетку в некоторых подобластях для достижения требуемой точности решения задачи. Прн решении физических про- 5 3.5. Применение нерегулярных сеток 83 блем нерегулярные сетки приходится использовать довольно часто, поэтому в вычислительной гидродинамике и теплообмене их применению уделяется довольно большое внимание.

На практике, прежде чем вводить нерегулярную сетку, имеет смысл попробовать применить преобразование координат, позволяющее согласовать форму границы и регулярную сетку. Подробно различные преобразования координат будут рассмотрены в $5.6. 3.63. Нерегулярные сетки, вводимые на-аа формы границы области В качестве примера рассмотрим случай, когда для решения задачи построена регулярная сетка с квадратными ячейками, т. е. Лх = гху = сопя(, но одна из границ расчетной области криволинейна.

Вследствие этого расстояние от внутреннего узла сетки до границы непостоянно и отлично от шага сетки (рис. 3.8). Пусть мы хотим решить уравнение Лапласа при заданном на границе области значении искомой функции и. Для этой задачи ввести нерегулярную сетку можно несколькими различными методами, выписанными ниже. А 1. Используем вблизи границы очень мелкую равномер- йу! ную сетку, перенося гранич- 1 ное условие в узел сетки, ближайший к границе.

Если вдали от границы не использо- Рис. 3,8. Конечно-рааиостиая сетка вать более грубую сетку (при ивлиан нерегулярной границы. этом она оказывается нерегулярной на границе подобластей с мелкой и грубой сетками), то для достижения приемлемой точности необходимо провести расчет на сетке с очень большим числом узлов.

2. Используем линейную интерполяцию для определения значения функции и в каждом узле разностной сетки, отстоящем от границы области на расстояние, меньшее шага сетки. Интерполяция проводится по заданному значению функции и на границе области и ее значениям в узлах регулярной сетки, соседних с узлом, прилежащим к границе. Например, значение функции ир в точке Р на рис. 3.8 можно определить либо по формуле Ьх ыр,="л+ ае+ ах ("с "л) 84 Гл.