Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики (Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики.djvu), страница 8

спектр есть окружность (в комплексной плоскости Ц радиуса ~ ат/Ь | с центром в точке 1 + ат/Ь. Нетрудно проверить, что ~ Х ~ а 1 лишь в случае выполнения все тех же неравенств — системе линейных однородных уравнений относительно компонент вектора сю Условием существования решения ее является равенство нулю детерминанта !~~~, аре'рр — Х7~ = О, р (135) где 1 — единичная матрица. Все отличие от скалярного случая состоит в том, что теперь спектр состоит из нескольких ветвей Х„А„..., определяемых как корни уравнения (135) вместо (128). Итак, спектральный признак позволяет свести исследование устойчивости к задаче об оценке величины корней алгебраического уравнения.

Он дает, вообще говоря, лишь необходимое условие устойчивости. Однако, если для некоторого класса функций, в некоторой норме, система собственных функций является колкой, т. е. любую функцию из этого класса можно аппроксимировать комбинацией собственных, то спектральный признак будет и достаточным услови~м устойчивости.

Рассмотрим, например, скалярный случай оператора В вида (123) и ограничимся сеточными функциями и = (из), для которых ряд ~~~~ и„~ чт ю(~р) (136) является сходящимся. Каждая сеточная функция и„порождает, таким образом, периодическую функцию ю (ф, для которой ряд (136) есть ряд Фурье, а и„— коэффициенты этого ряда. Последние, как известно, удовлетворяют соотношениям из — — — ~ ю(у) е'" йр $ 2я о (137) ,'Е йз — „~ 1ю(Ч)!'Ф. (138) бз В справедливости (137), (138) можно убедиться и непосредственно.

Для этого нужно умножить(136) на е' р в первом случае, на ю (у),~~ и е' " — во втором и выполнить интегрирование. Применим к (137) оператор В (123), получим (Вп)„'~~' к ) ю (~) екьею ч 3 р т О 2п 1 — ю(~) е'"ч ~~~~ о. е'Р' Ыр = о р ик 1 — и (1~) Л (гр) емч Ыт о последнее в силу (128). Сравнивая ото равенство с (137), замечаем, что (Ви)„являются коэффициентами ряда Фурье функции ю ( р) Л (~в).

Следовательно, для них справедливо соотношение вида (138), т. е. Вынося шах ) Л рр) ~' за знак интеграла и заменяя оставшийся интеграл на,~~ из, получаем ,Я (Ви)~а~шах ~Л(р)~з,Я из~. (139) Определим норму сеточной функции равенством 1п~ = ф и~~й) (140) где множитель Ь введен для того, чтобы в пределе, при й -~ О, норма сохраняла смысл. Используя (140), перепишем (139) в виде '1ВиЦ< шах $Л$ '1иЦ.

(141) Последнее оаначает, что на указанном классе функций, в норме (140), величина шах ~ Л ~ не меньше нормы оператора В и, следовательно, спектральный признак является достаточным признаком устойчивости. Остановимся теперь на одном вопросе, существенном для практического применения спектрального признака устойчивости. Во всякой вычислительно реальной аадача количество расчетных точек конечно, и индекс й пробегает конечное множество значений. В граничных точках оператор Л не может сохранять свой стандартный вид (123), хотя бы из-за отсутствия полного набора величин и» р.

В этих точках оператор К выражается с помощью особых формул, реализующих то или иное граничное условие. Чтобы представить, насколько такое искажение может менять свойства стандартного, «безграничного» оператора Л (123), обратимся опять к примеру 4 4. Пусть оператор Х задан на сеточных функциях из (й = О, 1, 2, ..., К) формулами (« ~,-(1-> +),— + ыи«=ОС,...,К вЂ” 1,~ (Ви)х= О. (142) Очевидно, зто соответствует дифференциальной задаче за конечном интервале О ~ к ( Х = КЬ с нулевым граничным условием па правом конце, решение которой, при а ( О, существует и единственно. Найдем собственные функции оператора Л (142). Полагая Ло = Ао, приходим к системе линейных однородных уравнений относительно и«, им ..., и»; й — 1 — а — „) и„+ а — „р„+, — О, Й = О, 1,..., К вЂ” 1, ( Хил = О.

Нетрудно убедиться, что она имеет лишь два нетривиаль- ных решения 4+« — ~ а) и„= — при Л= О «в л т с« = 1, и = о = ... = ик = О при 1 = 1+ а — . «= «» а' Хотя второе и порождает условие ~ 1+ а — „~ (1, ио ясно, что столь бедный заказ себствеииых функций не дает возможности судить ио иим о свойствах оператора. В то же время представляется маловероятным, чтобы искажение оператора лишь в одной крайней точке могло кардинально изменить его свойства, так отчетливо проявившиеся на функциях е«»». Последние не удовлетворяют условию ил= О, поэтому «исправим» их, т.

е. положим э»=еы», Ь=0,1,...,К вЂ” 1, ~ (143) и применим к ним оператор В (142). Очевидно, для всех Ь( К вЂ” 1 функция (143) перейдет в себя, приобретя множитель Л=1+е ~, — а (144) и лишь в приграничной точке этот закон нарушится. К полученной функции опять применим оператор В (142)— влияние исправления распространится и на точку К вЂ” 2. Продолжая этот процесс, получим, что для функции о» (143) (В"и)» = Л"э» при Ь = О, 1,..., К вЂ” т.

(145) Нас интересует В при ч, Л -». О, т. е. при ш 1дч -~ со, К 1/Ь-«- сс. Если при атом Л/т остается ограниченным, т. е. и стремится к бесконечности не быстрее К, то всегда найдется интервал значений Ь, где (145) справедливо. Следовательно, нижняя оценка для нормы ~ В через ( Л ~, где Л дается (144), т. е. является собственным значением н е в о з м у щ е н н о г о оператора, сохраняет смысл. Можно рассуждать и иначе, рассматривая вместо (143) функцию о» = (1 — — ) е«»», ໠— т) (146) Используя (142), (144), найдем, что в этом случае (Ви — Ли)» — ек»+и», Ь = О, 1,..., К вЂ” 1, а (Вэ — Ли)к= О, Ве — Ле = О (т), хотя сама функция и (146) конечна (э« = 1).

Можно скааать, что и (146) является «почти собственной» функцией, а Л (144) — «почти собственным» значением оператора В (142). И мы опять приходим к выводу, что наличие гранич- 56 (147) Поскольку ЬК = Х = сова», то последние равенства означают, что пых условий следует рассматривать' как возмущение оператора, при котором сохраняются многие существенныв свойства его. Разумеется, вадав «дикие» граничные условия, можно испортить стандартный оператор, но исправить его недостатки с помощью граничных условий нельая. Изучение этих вопросов в общих случаях не столь просто.

Однако проведенные рассуждения убеждают нас в том, что спектральный приэнак, примененный к стандартному, безграничному оператору, остается необходимьпи условием устойчивости и для задач на ограниченном ин- вервале. Задачи 1. Ив определения нормы оператора (119) следует ЦВооиЦ=ЦВВм хиЦ~р»ЦВ ~иЦ~...

о~р'",ЦиЦ, т. е. р,„оь. рх". Следовательно, для выполнения (121) достаточно, чтобы р ~ соней Это эквивалентно условию на норму оператора В ро ~1+0(т), (148) которое является, тем Самым, д о с т а т о ч н ы м условием устойчивости. Покавать, что для операторов В вида (123), в норме Ц иЦ шах Ц иэ Ц, условие (148) равносильно условию э ~(а (<1+О(т). р Для оператора е'г (Ви)э =иэ-у д (иэ+,-иэ») исследовать устойчивость с помощью (149) и спектрального привив- ка.

Сравнить результаты. Определить дифференциальную эадачу, которой соответствует этот оператор. 2. Для вадачи + =О, У (О, х) Уо(х), аи ду до д. др дП О, У(0, х) Ро(х) д» дх рассмотреть раэличные раэностные схемы и исследовать их устойчв вость. 3. Построить равноствую схему для решения вадачи — + Ц( ) = р(У) —, У(0, х)*~У»(х), где 1(У), р (У) — аадавные функции.

Исследовать аппроксима. цию и устойчивость (на линейной модели). 5 7. ПОСТРОЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ ФОРМУЛ Теперь, когда у нас есть определенная ясность — каким требованиям должна удовлетворять разностная задача, перейдем к вопросу о способах построения ее.

Во всех конкретных примерах мы просто заменяли каждую производную, входящую в исходные дифференциальные уравнения, соответствующим разностным отношением. Однако это не единственный и не самый короткий путь. Составление разностной задачи начинается с выбора р а с ч е т н о й с е т к и — дискретного множества точек, ааменяющего непрерывную область изменения независимых переменных. В принципе зто множество может быть произвольным. Можно увеличивать концентрациэо точек на наиболее ваяэных участках, с целью получения здесь большей точности. Можно задавать закон построения сетки, зависящий отрешения, получаемого в процессе расчета.

Но если нет специальных показаний, лучше брать сетку регулярной, определяемой минимальным числом параметров. Это существенно облегчает исследование разностной задачи. Пусть расчетная сетка или закон ее образования заданы. Если неравномерность сетки вырал<ена слабо, т. е. ее параметры мало меняются от точки к точке, то на небольших участках она может быть смоделирована равномерной.

В дальнейших рассмотрениях мы будем иметь в виду регулярную (не обязательно прямоугольную) сетку, определяемую для аадач с двумя независимыми переменными х, г всего двумя параметрами я, т — шагами сетки. На этой сетке определяются функции, (или вектор-функции) йю фю ... — сеточные функции дискретных аргументов й, и (номеров точек). Следующийзтап — построение р а з постных уравн е н и й, т.

е. арифметических соотношений между величинами т, в, йз, Д, <рю ... Поскольку мы исходим из принципа сходимости решения дискретной задачи к решению дифференциальной, то разностные уравнения должны удовлетворять онределе иным требованиям. Выше мы сформулировали их в виде условий аппроксимации и устойчивости. Используя формулы численного дифференцирования для замены производных конечными разностями, легко написать те или иные соотношения, которые в пределе, для любой гладкой функции, будут переходить в исходные дифференциальные уравнения.

Однако успех здесь приходит не сразу, так как большинство логически возможных разностных схем оказываются неустойчивыми. Поиск удовлетворительной разностной схемы можно сделать более эффективным с помощью приема, который мы продемонстрируем сначала все на той же простой задаче дГГ ди — +а — =О, до дх о (хо 0) = ~о (х) (150) 1 ио+' = а,и" + аои" + а,и"„=,~~~ а по .

(151) Э вЂ” 1 Полагая и~о — — У (х„), получаем, при любом наборе ар, некоторую разностную задачу. Подберем коэффициенты ар так, чтобы задача (151) аппроксимировала исходную и была устойчивой. Если для проверки устойчивости мы намерены использовать спектральный признак, то задачу (151) следует представить в стандартной форме (и = ~, положив 1и = р ' о ио, о О, У = (152) (7о (хо). 59 Зададимсн формой расчетной ячейки, т. е. укажем точки, значения сеточной функции в которых мы хотим ое связать разностными соотноше- У о пнями. Для данной задачи, на сетке хо = ЬЬ, З" = пт, в качестве такой ячейки (рис.