Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики (Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики.djvu), страница 10

Интерполяционная функция (175) может быть испольаована и для определения значений (П )», ..., входящих в выражение (169), а следовательно, в коэффициенты,9 и правую часть С (170). Подставляя Ри" (х) в (172), получаем ЯРи" (х) =,Я~а,„ик+в, где О а = ~ д(~, т)Р (х„+$)осе, и в соответствии с (171) можем написать о+с чс о иа =,~~а иа + Стс ФоРмулу (Ы4) для решения задачи (150) также можно представить в виде (171), (172), если положить д(х, с) =5(х+ас), где Ь (х) — дельта-функция.

С помощью (171) мы можем решение в момент с"+с =* = с" -)-т выразить через функцию сУ (х, с"). Последняя представлена у нас с е т о ч н ой функцией иа. Постону для того, чтобы испольаовать формулу (171), построим предварительно инте р п о л я ци о н ну со функцию Ри" (х). Поскольку все рассмотрения мы ведем в окрест-' ности точки х„, с", то еапишем эту функцию в виде т. е. нужную нам расчетную формулу. Очевидно, последняя является просто некоторой квадратурной формулой для (171), (172). Сделаем некоторые замечания. Система (170) аппроксимирует исходную (168) с точностью до второго порядка по т, Ь, так как ошибка линейной аппроксимации (169)— второго порядка по У вЂ” б», ӄ— (У„)ю ... С целью упрощения линейного оператора х) можно, представляя лР (П) в виде (169), учитывать его зависимость лишь от старших производных (как в (162), (163)), поскольку устойчивость в основном зависит от вида тех членов разностных уравнений, которые соответствуют старшим производным. Правда, это понижает порядок аппроксимации до О (т, й).

По тем же соображениям при вычислении величин Л, (Юю ..., входящих в коэффициенты и правую часть (170), не обязательно пользоваться интерполяционной функцией (175). Для этого годятся любые разностные выражения, конечно, аппроксимирующие эти величины. Все получаемые изложенным методом равностные схемы отличаются друг от друга лишь способом локальной аппроксимации (169) и видом интерполяции (175).

Если примененная интерполяция достаточно точна и эффективно учитывает область зависимости решения, то разностная схема оказывается удовлетворительной. Исследование ее проводится обычными способами. Задача 1. Какую неточность, в смысле порядка по т, Ь, можно долу. стить при решении ссстеыы (157)? 2.

Найти все устойчивые схемы вида (151) и (160) для задачи (150) первого порядка точности по т, Ь. 3. Способом неопределенных коэффициентов построить раавостную схему вида (151) для решения уравнения теплопрозодвости (173) . при каком соотношении между т и Ь зта схема будет иметь максимальный порядок точностпР 4. Используя формулу точного решения (171), (172), (174) уравнения теплопроводности (173), построить рааностную схему, применяя при е = Р: а) линейную интерполяцию по двум точкам ха, ха+ы б) кусочно-линейную интерполяцию по ха, хю при х ( х„, в по хю х., при х ) хт, в) квадратичную интерполяцию по трем точкам х„, хю х +,.

Исследовать аппроксимацию и устойчивость каждой иа полученных схем. 5. Решение линейной системы уравнений ду ди -+ — =о лается формулами и (, с) = (и (х+ с, о) + и (х — с, о) — т (х+ с, о) + т (х = с, о)), р (х, с) = (т' (х + с, 0) + тг(х — с, 0) — и (х -(- с, 0) + и (х — с, 0)).

2 Использовать их для построения разиоствой схемы, соответствующей системе аи ар(р) + =О, дс дх где р (р) — азданная функция. й 8. НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ При применении численного метода для решения конкретной задачи всегда возникает вопрос о выборе значений параметров метода — шагов сетки т, Ь, т. е. количества и расположения расчетных точек. Решение этого вопроса зависит от многих разнородных факторов: свойств решения задачи, требований к точности расчета, наличных средств реализации метода, т.

е. мощности вычислительной машины и т. д. Поэтому нельзя дать общих рецептов, пригодных для сколько-нибудь широкого класса задач. Теоретическое исследование сходимости метода проводится лишь для выяснения этого вопроса в принципе. Стремление т и Ь к нулю для реальных задач неосуществимо. Поэтому, выбирая расчетную сетку из соображений «достаточной точности», обычно руководствуются некоторой информацией о характерных свойствах решения и требуют, чтобы густота сетки позволяла удовлетворительно отразить эти свойства, выявить интересующие нас закономерности в поведении решения.

А для этого, как правило, много расчетных точек не нужно. Однако не для всякого численного метода такое рассуждение правомерно, поскольку оно не учитывает инди,'видуальных, внутренних свойств метода. Не касаясь всех ~ аспектов етого вопроса, остановимся здесь лишь на одном, самом простом. Все конкретные разностныезадачи, которые были рас,смотрены выше, оказывались доброкачественными (устой'чивыми) лишь при выполнении определенных ограничений на шаги сетки вида — (совзС, — „, (совзС. (176) З0 ли ш — — а оз, У(0, х) = Уо(х), — оо(х(оо, 0<С< Т (177) и аппроксимирующую ее разностную схему оы о из — о о"„+ 2 "„+ о„" ь~ з = Уо(х„), ( о) +2,..., н=0,1,...,У.

й= 0, -)-1, Очевидно, при выборе параметров расчетной сетки они 'должны быть учтены. При этом типичной оказывается следующая ситуация. Для значений т, Ь, продиктованных 'соображениями точности, условия (176) не выполнены. Поэтому приходится уменьшать т (и существенно), что , значительно увеличивает количество вычислительной 'работы. Поскольку условия (176) формулируются в терминах ,,параметров численного метода, а не исходной задачи, и специфичны для него, то можно попытаться строить ме- ~'коды с более слабыми ограничениями на шаги сетки или 'вообще без них. Исследованные выше разноствые схемы давали явное выражение решения в каждой точке данного временного 'слоя, из" через значения решения в нескольких ближайших точках предыдущего слоя из, изхю По этой причине ~какие схемы называют явными.

Для них условия устойчивости вида (176) отражают необходимость правильного ',учета области зависимости решения. Эта связь не всегда проявляется столь отчетливо, как в примере т 4. Так, рассмотрим задачу Нетрудно убедиться с помощью спектрального признака,! что условие устойчивости аадачи(178) записывается в виде'.

т 1 (179) ~ Сравним области аависвмости решения задач (177)', и (178). Как известно (см. (172) — (174)), для уравнения' теплопроводности (177) этой областью будет вся прямая' — со( л ( со. В то же время в случае рааностной задачи 1+У ЬФ (178) областью зависимости для точек Х-го слоя будут' точки нулевого слоя, ааполняющие интервал конечной ширины 2ЛЪ (рис. 9). Таким обрааом, несмотря на неполный учет области зависимости точного решения, задача (178) при выполнении (179) устойчива. Противоречие разрешается тем, что при т, Ь -~- О с соблюдением (179) ширина указанного интервала неограниченно возрастает.

Действительно, так как т = Т~Ы, то из (179) следует 77г7Ьэ ( 1/2а и Л/Ь э — — сс при т, Ь- О. 2оТ Следовательно, в пределе область зависимости решения учитывается правильно, и это опять связано с ограничением на шаги сетки — неравенством (179). Итак, разностные схемы, не имеющие существенных ограничений на шаги сетки, должны быть довольно громоздкими. Чтобы эффективно учесть область зависимости, необходимо при вычислении величин в точках данного слоя использовать большое число точек предыдущего слоя. 71 Но подойдем к вопросу о причине неустойчивости и возникновении условия (179) с другой, может быть формальной, стороны. Проверяя устойчивость разностной схемы (178) с помощью спектрального признака, мы, фактически, исследуем поведение частных решений вида йз = Л"е™, (180) т. е. используем метод Фурье.

Подстановка (180) в раз- ностное уравнение (178) приводит к Л"+' — Л" Н вЂ” = — МЛ, (181) где 4 соз ~з М = 2а — — аг —, (182) откуда следует Л"+' = (1 — тМ) Л" = (1 — тМ~)', (183) и поскольку нас устраивает только случай ~ Л ~ <1, то мы получаем условие ~1 — тМ ~ (1, т. е. (179). Показатель степени л в (181) можно интерпретировать как индекс (номер шага по «), а само соотношение (181) как разностное уравнение, соответствующее обыкновенному дифференциальному уравнению — = — МЛ, Л(О) 1, (184) где М вЂ” положительная константа, сколь угодно большая, из-за малости в. Точное решение уравнения (184) есть з-и ~ (185) и приближенное решение, даваемое (181), т. е. (183), будет к нему сходиться при т -+ О, так как (1 — тМ)П'-~ + е™. С этой точки зрения метод (181) (а зто есть просто метод Эйлера) интегрирования уравнения (184) вполне удовлетворителен.

Плох он другим. В то время как для точного решения (185) оценка ) Л ~ (1 справедлива при любом М ) О, для приближенного решения (183) она справедлива лишь при небольших М, удовлетворяющих неравенству ~1 — тМ )(1. А в данном случае нас интересует именно зто свойство решения. 72 и"+~ — 2и"ы + и" ы "гы "з г "а-1 Ьз аа — аа в+1 в (188) й = Уа(х„), й = О, -1- 1, +- 2, , л = О, 1, ..., У Она отличается от (178) лишь тем, что величины в правой части берутся не с л-го, а с (я + 1)-го слоя — соответствующая расчетная ячейка изображена на рис.

11. Это приводит к тому, что каждое из уравнений (188), связывая значения иа в трех точках, не дает явного выражения для в+1 из+~, и для нахождения последних необходимо решать 73 Причина указанного дефекта понятна — точное решение (185) есть резко убывающая (при больших М) функция, а метод (181) использует для вычисления производной моментально устаревающее значение ее ( — МЛ' в правой части (181)) (рис. 10). Положение можно исправить, если взять упрежденное значение производной — МЛ"ы, т. е. вместо (181) рассмотреть разностное уравнение ЛФн-1 Лв МЛ~ы (186) ~ л е-ж В атом случае вместо (183) получаем г. г Л" 1+тМ (1.( ~зт)~ы ' (187) Это решение, как и (183), сходится, очевидно, к точно- а -,у му, при т-~- О, но в отличие от (183) удовлетворяет условию ~ Л™ ~ ~1 для любого сколь угодно большого М ) О, т.

е. хорошо отражает основное свойство точного решения — резкое убывание его. Возвращаясь к задаче (177), можно сказать, что если для ее решения мы построим разностную схему, соответствующую (186), а не (181), то условие устойчивости (179) снимается. Во всяком случае, проверка такой схемы на функциях вида (180) не обнаруживает неустойчивости. Этой схемой, очевидно, является следующая; систему если не бесконечного, то очень большого числа линейных уравнений (188).