Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики (Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики.djvu), страница 5

Однако эти популярные в эпоху ручных расчетов методы сейчас почти не применяются. Причина очень характерна для современной вычпслительной математики. Дело в том, что испольэовать формулу (69) можно только начиная с п = й. Следовательно, значения мм и„..., и„ должны быть получены по каким-либо другим, «нестандартным» формулам. Аналогичные затруднения возникают и при изменении шага интегрирования.

Необходимость расширения алгоритма для учета нескольких исключительных случаев и приводит к непопулярности этих методов. Все изложенное выше естественным образом обобщается на системы дифференциальных уравнений (а, следовательно, и на уравнения высших порядков). В частности, если под У, Р, и понимать не скалярные величины, а векторные, то (5») превращается в систему дифференциальных уравнений, а раэностные формулы (55) и др. описывают методы интегрирования этой системы.

Сохраняют силу и результаты исследования сходимости, аппроксимации, хотя само исследование этих вопросов несколько усложняется. При построении численных методов мы систематически в существенно использовали предположение о гладкости функции Р (», Ц. Если отказаться от него и допустить наличие каких-либо особенностей у функции Р (», 0), то это приведет, очевидно, к необходимости разработки специального способа решения лишь в окрестности этих особенностей. Например,,если функция Р (», Ц имеет особую точку, типа неопределенности О/О, то следует, выделив главные члены Р (г, ()), найти аналитическое приблвженноерешение в окрестности зтойточки и использовать его для прохождения через особую точку путем «склейки» с таблицей»„, к„, получаемой численным методом.

Наконец, остановимся на роли ошибок округления. Как мы отмечали, всякое разностное уравнение содержит 31 ошибку аппроксимации. Если неточность, возникающая на отдельном шаге из-за округлений, не превосходит неточность аппроксимации, то такое соотношение сохранится и для накопленных ошибок, порожденных тем и другим источником. Следовательно, если вместе с уменьшением т соответственно увеличивать точность, с которой ведутся вычисления, то сходимость не нарушится. Рассмотрим, например, метод Эйлера. Фактический вычислительный процесс дает нам не последовательность и„, удовлетворяющую (55'), а некоторую, близкую к ней, последовательность н„.

Способ получения последней можно представить формулой йа+г =- йа + тР (г„, на) + б„, где Ь„ — погрешность, которую мы допускаем при вычислении правой части. Она складывается из неточности вычисления г ((„,и„), неточности умножения на т. Очевидно, Ь„ характеривует точность расчета.

Если Ь„= О(т'), то м„удовлетворяет тому же уравнению, что и У (8„),— (59). Следовательно, и„— и„= 0 (т), и реальный вычислительный процесс, если вести его с небольшим запасом точности Ь = 0 (т'), позволяет получить решение с точностью 0 (т). Задачи $. Доказать, что решение, получаемое методом Эйлера с пе реечетом ((66), (67)), сходится к точному с порядком О (т'). 2. Метод Рунге — Кутта интегрирования уравнения (61) описывается следующими формулами: и г = «и+ — Ь+ 2)з+ 2)е+ )г), где й =у(г ), 6=у(г + —, „+ — 6), п 2 !з= Р (ге+, и„+ Уз), т 2' 2 й = Р (го + т и + т)з). Определить порядок аппроксимации этого метода.

3. Докааать, что метод Зйлера для линейной системы Е г ег)и, НУг ег ~=1 дает решение с точностью 0 (т). 4. Описать вычислительный алгоритм для нахождения решения системы о'л — = — + у! (1). Ыг удовлетворяющего начальным данным г = О, * = О, у = О и принимающего, при некотором 1 = Т, заданные значения х = Х, у = У. Функция ) (г) — гладкая и задана таблицей, допускающей линев ную интерполяцию. 5. Для решения задачи + МУ = О, У (О) = 1 с)г рассмотреть две ревностные схемы + Ма„=б т + Ми =О. еы Оценить порядок аппроксимации обеих схем.

Сравнить приближен ные решения, получаемые при конечных т, с точным. Которой ив этих схем отдать предпочтение при болыпих М, если требуется лишь общее качественное отражение характера точного решеиияу 2 Н. Ф. дьяченко глАВА и $4. УРАВНКНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ <хС со, г~О (70) требуется найти функцщо П (х, т), удовлетворяющую при г ~ 0 дифферепциальпому уравнению аи аи — +а — =Р(х 8) дг дх и принимающую при а = 0 заданные впачепия (72) У (х, 0) = Ф (х). Точное решекие этой задачи дается формулой й" (х, 8) = Ф(х — а~) + )Р(х — аг+ а~',Р) й', (73) о в чем легко убедиться.

Но сейчас эта задача интересует нас лишь как пример, па котором, несмотря яа его элементарность, можно продемонстрировать многие существеквые свойства численных методов интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Ниже мы обратимся к нему еще не раз. Для построения числеяпого метода решения задачи (70), (7$), (72) прежде всего заменим область яепрерывз4 Все дальнейшее будет посвящено численным методам решения дифференциальных уравнений в ч а с т я ы х и р о из в од ны х. При переходе от одной к двум и более яеаависимым переменным раанообрааие и сложность задач резко возрастают. Не имея возможности сколько- нибудь полно охватить все аспекты и методы атой интенсивно развивающейся теории, мы ограничимся рассмотрением лишь некоторых принципиальных вопросов.

Начнем с самой простой задачи. В области ного иаменения аргументов (70) расчетной сеткой (рис. 5) — дискретным множеством точек с координатами х„=ЬЬ, Ь=О, +$,~2,... г" = нт, и = О, 1, 2,... (74) Теы самым в рассмотрение вводятся два параметра т и Ь— шаги сетки. Вместо функций 77 (х, г), г" (х, т), Ф (х) Ряс. з.

будем рассматривать сеточные функции — числовые по- следовательности иг, )г,.<рю соответствующие точкам сет- ки х„, 8» (74). Далее, ааменяя частные производные, вхо- дящие в (7$), разностны.ни отношениями, напишем »ы» »» аа иьм иа — +а — =Л ч Ь (75) для каждой пары индексов Ь, п, т. е. для каждой точки расчетной сетки (74). Наконец, вместо (72) напишем иа = Ч'ю е (76) 2» Зз Итак, задачу (70), (74), (72) мы заменили разностной, численной задачей (74), (75), (76). Разумеется, испольаованный способ замены не является единственным. Возможностей здесь много, больше, чем в случае обыкновенных дифференциальных уравнений.

Но пока мы остановимся на этом. Вычислительный алгоритм получения значений и» весьма прост. Разрешим (75) относительно и~»~, а 7 т 1 и т и и и» = ~1+ а — ( и» вЂ” а — и»,, + т/». ь (77) Если величины и» для некоторого л-го слоя точек известны, то формула (77) поаволяет вычислить их для следующего (л + 1)-го слоя точек. Поскольку п»известны, то находим по ним ию затем и» и т. д. 1 2 Перейдем теперь к выяснению основно будет ли полученное численным методо близко к точному решению исходной за Очевидно, надеяться на это можно лишь пр Положим и подставим Получим бил и — бии »+ т би»+» би» » Здесь и далее Я означает У (х», 1").

Оценим правую часть (79). Считая У (х, ») гладкой функцией, при малых т и Ь можем написать 77»+'= У~+ т( — ) +0(т'), (80) (7„"„= У" +)»(е )„+О(Ь'), откуда а Р (х»»и) д. + 0(т, Ь). (81) и» = У (х», Ф") + Ьк» это выражение в раэностную Так как П (х, 1) удовлетворяет (71), то последнее равенство означает, что и„"" — г~» 軄— и„" +а — +' —" =Д л го вопроса— м решение и» дачи У (х, 1). и малых т и й.

! (78) формулу (75). Сравнивая (81) с (75), заключаем, что решение исходной задачи У (х, ~) удовлетворяет разностному уравнению (75) с точностью 0 (т, Ь), т. е. аппроксимация имеет место. Подставляя (8г) в правую часть (79), получим уравнение для определения Ьи Сначала рассмотрим случай, когда а, т, Ь удовлетворяют неравенствам О< — а — <1. л (84) В этом случае коэффициенты при бий и Ьиг+д в правой части (83) положительны, и можно написать ( ба~+'( «; < (1+ а — ) )бай ~ +( — а т )~~би"„+,(+ тО (т, Ь) ( (шах() Ьий"б ~бйзы~)+ тО(т, Ь).