Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики (1185904), страница 9
Текст из файла (страница 9)
7) возьмем четыре точки с номерами (й, и + 1), (й — 1, п), (й, и), (й + 1, я) Исходная задача (150) ли- д пейна. Естественно разностные У уравнения также строить в виде линейных соотношений. Об- Ркс. 7. щий вид такого соотношения между значениями сеточной функции в указанных точках есть Как мы знаем, необходимое условие устойчивости запи- сывается в атом случае в виде неравенства ~ ~ аре1~"' ~ ~ 1. р (1 53) Таким образом, одно условие на коэффициенты ар у нас уже есть. Перейдем к аппроксимации, которая означает, что 1У вЂ” ~ -р 0 при т, й -р О.
Для определения порядка )У вЂ” ~ воспользуемся, как всегда, разложением решения (150) — функции У (х, 1) в ряд по степеням т, й в окрестности центральной точки расчетной ячейки хю Р'. Имеем Ув = У+ тУ, + —,У„+ — У1п+..., +1 тв т' где У, Ув, ... берутся в центральной точке. Поскольку У (х, 1) — решение уравнения (150), то для него справед- ливы равенства У, = — аУ„, Ув =а'У„, Укв о Ухххю (155) получающиеся дифференцированием (150).
Используя (154), (155), составим необходимую нам комбинацию значений У' Ув — ХарУв+р — — (1 —,)'~ар) У вЂ” (та+ й,Ц~рар) У„+ р + —. (твав — йв,х',Рвар) У„„— (твав+йа'эдзар) У + (156) отличающуюся от 1У вЂ” ~ лишь множителем 1/т. Порядок аппроксимации будетзависеть от порядка первых ненулевых членов этого разложения. Величины У, У„, У„„,... следует считать произвольными и независимыми. Приравнивая коэффициенты при них нулю, получим цепочку 60 равенств 1 — ~~а =6, та+ЬХ, „' О' '"' — Ьв Х рва, = О, тваз + Ьз ~~ рва (157) — уравнений для определения а, возрастающего порядка по т, Ь. Чем большему числу этих уравнений мы сможем удовлетворить, тем выше будет порядок аппроксимации.
В нашем распоряжении всего лишь три неопределенных коэффициента а . Поэтому самое большее, чего мы можем добиться,— это удовлетворить трем из уравнений (157). Обозначив ат/Ь через г, выпишем эти уравнения: а, + а, -~- а, = 1, а — а, = г, а, + а, = г'. Решая их, получим Х гв+ г в гв — г ~ а е'Рв = — е-'в + 1 — гв + — евв = 2 2 = 1 — гв+ гвсоз<р — вгвшвр = 2 = 1 — 2г зш — — в 2г з!и — сов — . е в р ° ° Ф Ф 2 2 ' Следовательно, Й" (-( ) ~р евра ( = ~ 1 — 2г вшв — ) + ~ 2г зш — сов — ) = 1 — 4гвв!пв р+4гвзш' ~ + 4гвз!п' ~ савв~ 2 = 1 — 4г' вш' ~ + 4гв вш' ~ = 2 1 — 4гв(1 — г') в(пв ~ . 2 При этих значениях ар первый, отличный от нуля, член в разложении (156) имеет порядок тз, гЬв. Следовательно, 1У вЂ” 1 = О (т', Ь'), т.
е. аппроксимация второго порядка по т, Ь. Остается удовлетворить условию устойчивости (153). Подставим (158) в (153): Очевидно, для выполнения неравенства (153) нужно, чтобы г' 1,т.е. )а! — ч 1. (159) Это и есть условие устойчивости раэностной задачи (151), (158). Если для нахождения коэффициентов ар ограничиться первыми двумя уравнениями (157), то полученная схема будет иметь, очевидно, первый порядок аппроксимации О (т, Ь). Поскольку эти два уравнения содержат три неизвестных а, то таких схем много.
Одна из них была рассмотрена в т 4. Испольэование лишь первого иэ уравнений (157) не обеспечивает аппроксимации, так как ошибка в этом случае будет конечной. Понятно, что описанный способ построения расчетных формул может быть применен и для любой другой задачи Прежде всего, руководствуясь какими-либо априорными соображениями, выбираем форму расчетной ячейки и вид раэностных соотношений, содержащих неопределенные коэффициенты. Требуя затем выполнения условий аппроксимации и устойчивости, сводим задачу к решению алгебраической системы уравнений и неравенств При применении способа неопределенных коэффициентов к сложньпи аадачам приходится проводить эначительную аналитическуго работу. Для упрощения выкладок следует, не стремясь к наибольшей общности, ограничиваться частными видами разностных соотношений, Например, в рассмотренной эадаче можно было вместо (151) искать разностную схему в виде "» "» "»и "» "» "» ъ яы и ч и л ч — =с,— "+с, — „' (160) т = » ь с неопределенными коэффициентами с„с,.
Очевидно, что если существуют раэностные уравнения, удовлетворяющие поставленным условиям (форма расчетной ячейки, порядок аппроксимации, вид раэностного соотношения), то все они могут быть получены описанным способом. Коснемся еще одного вопроса. При исследовании разностной схемы (151) мы ааписалиее в виде 1и = 7', определив 1 формулой (152), «эачем-то» раэделив (151) на т. Вй Более естественным представляется определение 1 равенством 1 (и па+1 ~ь~ и пв (161) Р- 1 Заметим, что в этом случае (при тех же а„) мы получим 1У вЂ” / = тО (т', й'), т.
е. аппроксимацию более высокого порядка. Однако свойства задачи, очевидно, не зависят от обозначений, формы записи и способа исследования ее. Выигрыш в аппроксимации оказывается фиктивным и погашается «более слабою устойчивостью. А именно, для задачи (и = ~ с (, определяемым (161), мы, как нетрудно видеть, получим оценку и ~/т, что означает неустойчивость, прн нашем определении ее. Тем не менее сходимости это не мешает, поскольку имеется лишний порядок в аппроксимации.
Приведенное замечание указывает на формальную неоднознащость разделения вопроса о сходимости на аппроксимацию и устойчивость. Опишем еще один способ построения расчетных формул. Он имеет более узкую область применимости, но часто достаточно эффективен. Наш подход к аппроксимации дифференциальных задач разностными можно охарактеризовать как л о к а л ьн ый. При построении разностных уравнений все наше внимание сосредоточено на отдельной расчетной ячейке, на окрестности расчетной точки сразмерамипорядкат,й. Но, как всякую гладкую функцию можно локально считать линейной, так и всякую задачу, если ее рассматривать в малой области, где решение меняется мало, можно приблизить линейной задачей с постоянными коэффициентами.
Например, вместо уравнения — + а (л, «, О) д — — 0 аи дУ (162) можно в окрестности точки ию «" рассматривать уравнение дУ дУ вЂ” -~- л" — = 6 (163) где а« = а (х„, 8", У«). Действительно, если решение (гладкое) первого уравнения подставить во второе, то оно удовлетворится с точностью до 0 (т, а), так как (а (х, т, У (х, с)) — а"„) — = 0 (т, Ь). эи Добавим к скааанному, что исследование устойчивости ревностных задач ($5) мы проводим на их линейных моделях. Вся теория устойчивости есть, по существу, теория устойчивости линейных разностных задач. Приведенные соображения показывают, что имеет смысл рассматривать вопрос о способах построения расчетных формул, ограничиваясь линейными вадачами с постоянными коэффициентами.
,~н х,-ат х» Выше, демонстрируя разРис. 8, личные положения на при- мере задачи (150), мы систематически уклонялись от использования того факта, что ее точное решение намизвестно и дается явной формулой У (х, т) = У (х — а1). (164) Используя его, мы рисковали получить утверждения, справедливые только для задач, решение которых известно, и лишить, тем самым, наши рассмотрения смысла. Мы обращались к аадаче (150) как представителю некоторого класса задач и использовали те свойства ее, которые типичны для этого класса. Наличие же формулы, дающей явное выражение решения, типично для линейных задач с постоянными коэффициентами. Поскольку в настоящий момент нас интересуют именно такие задачи, то мы имеем право этот факт использовать.
Как это можно сделать, выясним сначала на примере уравнения (163). Нам нужно получить соотношение, выражающее ивы через величины и-го слоя иа, иахы ... Формула точного решения (164) в применении к данному случаю дает (165) Отсюда вытекает, что для получения иа"' нам требуется 64 Тогда линейная интерполяция дает и" (х — а с) =а" — и" + (1 — а" — и" » » » Й »-» ~ » Ь / (167) и, в соответствии с формулой (165), получаем и ' =и" — а" — (и" — ия ) »»» а»»» — уже знакомое нам разностное уравнение, устойчивое при Мы видим, что условие устойчивости в данном случае совпадает с условием (166), которое обеспечивает интерполяционность формулы (167).
Это не удивительно, так как для устойчивости необходим правильный учет области зависимости решения, Именно последнее и является существенной стороной предлагаемого метода. Общие черты метода теперь ясны, и мы, не стремясь к максимальной общности, изложим их для случая, когда исходная задача состоит в интегрировании системы дифференциальных уравнений в частных производных вида аи ез (168) при заданных начальных данных.
Здесь У вЂ” искомая вектор-функция от х, 1, а л) — дифференциальный (по х) оператор, для которого поставленная задача корректна, т. е. ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных. Такие задачи называют эволюционными — они описывают эволюцию во времени некоторого начального состояния. Первый этап — построение линейной модельной сия стемы, аппроксимирующей локально систему (168). 3 В. Ф. Дьяченко 65 значение решения в точке х = х„— а»т н-го слоя (рис.
8). Но на атом слое мы имеем д и с к р е т н ы й набор значений и», й» „...— сеточную функцию. Для вычисления нужного нам значения естественно применить интерполяцию. Допустим, что х»,(х» — а'„'т(х„. (166) Оператор Я есть некоторая заданная вектор-функция от векторных аргументов П, У„ ЕУ, Ю (П) = 1(П, П., (7 "). Поэтому в окрестности эначений 67, (Ух)в. (У, )»,". оператор й можно аппроксимировать линейным выражением 10Ю Р~+ Уи)в Ж Л) +Ус )в Ж ЯА) + ° (169) — „-.О(7+ С, дУ (170) где вв — линейный дифференциальный оператор, выражаияцийси однородной частью (169), а С вЂ” константа, ебъединяюивви остальные члены (169); ~)~=0пЮ+Оп )"У +-.' С=1 УД„(7в Ип Я(П )в+ Иэ теории дифференциальных уравнений в частных производных известно, что решение системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (170) можно выраэить формулой У(х, 1) =И7(х,0) +Ст, (171) где «',) — линейный интегральный оператор ЧУ (х, О) = $ д($, 1) У (х + 5, О) сЦ, (172) СО а д — соответствующая данной системе (170) матрица функций.
На методах ее получения мы эдесь останавли- Здесь |и, ~п,, ... обоэначают матрицы производных компонент вектора ~ по компонентам векторов У, У„, ..., а 1в, Ув,(У„)в,... — значения соответствующих величин в точке хв, Считая решение П (х, ~) гладким, т. е. разности ву — К, Е7 — (У )в, ... малыми, рассмотрим вместо (168) систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ваться не будем. Укажем, что, например, для уравнения тел лепр оводностпи зи очи — =а —,, а)0, (175) функция д имеет вид 1 ДЭ р(х,г) = — е с.с 2 Улас Ри" (х) = ~Яке в,Р (х), (175) где Р (х) — соответствующие полиномы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
