Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики (1185904), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Это отражается и на методах решения стационарных задач. Все они итерационные, начиная от простейших — вычисления корней уравнений, все используют эволюцию, пусть фиктивную. Исключением являются линейные задачи, но если учесть, что даже деление есть операция итерационная, то ясно, что не это исключение подтверждает общее правило. Мы начали с того, что уравнение /(х) = О записали в виде х = (р (х) (з 1). Кончаем тем, что проделываем эту процедуру с задачей данного параграфа. Итак, для решения стационарных задач мы можем применять весь аппарат, созданный для задач эвол(оционных.
Рассмотренная формула итерационного процесса (239) может быть переписана в виде (и»>> (и> » щ — и» щ Й'и й» щ — 2и„+ ии«, и„— 2и„+ и, (и> (и> (и> (и> ( > (и> ь' + а) Если т считать номером слоя по «времени», а Ь'/4 — шагом т, то это — известная нам явная разностная схема (214) для решения двумерного уравнения теплопроводности.
Заметим, что условие устойчивости ее выполнено, так как т/Ь' = 1/4. Как мы помним, наилучшим методом решения указанной задачи оказался метод переменных направлений. Он не налагает никаких ограничений на шаг т, и следует о>кидать, что применение его позволит нам быстрее достигнуть предельного стационарного состояния — решения нашей задачи (231), (232). Поэтому обратимся опять к формулам (226), (227), добавив правую часть /„,, и используем их вместе с соответствующими граничными условиями для решения рассматриваемой стационарной задачи.
Чтобы упростить исследование метода, ограничимся случаем, когда область С вЂ” квадрат О ( х,у < Х, а шаги сетки одинаковы: Ь„= Ь„= Ь. Переход от с-й итерации к (ч + 1)-й ИЗ состоит в решении системы уравнений (ч) ин щ — ин щ т/2 (ч) , (ч) (ч) ивы щ 2' н,щ+ив-ь щ ин,щч) 2ив,щ+ив,ч -н ь + вн 6, (249) относительно и, а затем системы уравнений (ч+1) ив, ив, т/2 (ч+1) (ч+1) (ч+П ив д — 2ин,„+ ив ин щ+ 2ив +и, вч + вч (250) 2т . Фи зшн Вч 2 2.„= 2т . Фр 1 + — зшн— Ан 2 (252) и сле(253) Второй, )(вч получается отсюда ааменой Фр на фю довательно, шах ! 2 ~ = шах ~ Хр) пшх ( ),н ~ = шах ) )(„(н 114 относительно и(ч+'). Индексы й, )и пробегают аначения от 0 до К = Х/й, причем величины и, и("+», как и и(ч), на границе, т. е.
при )(, т = О, К заданы, а каждой внутренней точке соответствует пара уравнений (249), (250). Относительно вычислительного алгоритма решения систем (249) и (250) все уже было сказано, сейчас нас интересует только скорость сходимости итерационного процесса. Соответствующее исследование аналогично проведенному выше для простой итерации. Полагая и(ч) = и + + б(ч), получаем для ошибки б(ч) ту же разностную задачу (249), (250), с / = 0 и нулевыми граничными условиями. Сеточные функции б„, (246), с Фр — — рп(К,ф =дп1К; р, с=1, 2, ..., К вЂ” 1, (251) опять будут собственными функциями итерационного оператора.
Собственные значения )ч, которые и определяют скорость сходимости, выражаются формулой (228) с (р = Фю )Р = Фв, т. е. ЯвлнютсЯ пРоизвеДениами оДнотипных сомножителей, 2, = )ч )ч . Выпишем один из них— То, что шах [ Л[(1 при любом положительном значении параметра т, т. е. процесс итераций всегда сходится,— очевидно. Но для определения скорости сходимости нам нужна возможно более точная оценка величины [Л [. Так как КЬ = Х, то <рр меняется в пределах Ьп/Х к фр ~< и Ья/Х1 (254) и для Лр при малых Ь справедлива оценка (рис, 22) ят 1 т 2тв [1+0[5 )[ 1 т [э [1 0(Ь~)[ )Х> ~. ~2э) 1+ т 2 тт [1 + 0 [а)[ 1+ т ~,, [1 — 0 [ЬЧ) Мы заинтересованы в минимальности шах [ Лр[. В нашем распоряжении параметр т.
Он представляет фиктивное время, и, казалось бы, чем т больше, тем схо- 'Ъ димость должна быть лучше, так как мы быстрее 1 будем приближаться к предельному состоянию. ! Действительно, с ростом т левая часть (255) убы- эр.дех вает. Однако при этом Ьф[' УЬ правая часть (255) будет приближаться к — $, что замедлит сходнмость. Объяснить этот эффект можно тем, что хотя при больших т мы продвигаемся по твремениэ быстрее, но делаем это слишком грубо- — неточность получаемого решения превосходит изменение его. Очевидно, оптимальным значением т будет то, прн котором левая и правая части (255) равны по модулю.
Отсюда, отбрасывая младшие члены 0 (Ь'), получаем уравнение для т: к1 1 — т— 2ХЙ 115 решив которое, найдем т = ЬХ/я. (256) Подставляя это значение т в неравенства (255), получим оценку шах ( Х„( = 1 — Ья/Х + 0 (Ь'), т. е., в силу (253), шах ( Ь ( = 1 — 2Ья/Х + О (Ь'), и величина к, характеризующая скорость сходимости, оказывается порядка Ь, я — Ь вЂ”.
2я Х (257) Таким образом, итерационный процесс, использующий метод переменных направлений с т Ь, имеет скорость сходимости на порядок лучше, чем простая итерация, где к Ь' (248). Если представить себе ошибку 6 разложенной на отдельные компоненты, гармоники — функции (246), (251), то Ь Ь будет коэффициентом погашения соответствующей комйоненты за одну итерацию. Из формулы (252) и рнс.
22 видно, что различные компоненты гасятся неодинаково. Наиболее сильно подавляются гармоники с частотами ~р„, для которых — з! пз — — 1. зт . Фр Ь* г (258) . На описании этих методов мы останавливаться не будем 116 Очевидно, выбором т мол<но этот диапазон частот регулировать. Так, при вышеуказанном значении т (256) это— средние частоты. Однако их относительно сильное подавление ценности не представляет — скорость сходимости определяется коэффициентами погашения крайних частот, ур, ф, Ь и ~рг, ф, я.
Это наводит на мысль об использовании на различных итерациях различных аначений т, с целью равномерного гашения всех частот. Таким приемом, употребляя специальным образом построенные последовательности т = т<">, удается получить методы, имеющие еще большую, чем (257), скорость сходимости, например (см. задачу 2) я — —. !э ($/А) Все итерационные методы решения системы разностных уравнений (231) имеют малую скорость сходимости, которая более или менее резко падает с уменьшением Ь: х-~- 0 при Ь-+. О. Тем не менее они все равно оказываются выгоднее, чем прямые, неитерационные методы.
Оценим количество арифметических операций 11/, требуемое на решение задачи. Начнем с общего метода исключения. При использовании его число необходимых операций порядка куба числа неизвестных. Последнее порядка 1/Ь', следовательно, (259) В предыдущем параграфе был описан метод матричной прогонки, очевидно, применимый и в данном случае. Он требует Л7 — 1/Ь' (260) арифметических операций, поскольку на обращение матрицы порядка-1/Ь затрачивается -1/Ь' операций, и таких матриц 1/Ь штук.
Итерационные методы дают приближенное решение системы. Позтому их трудоемкость оценивают по количеству операций, необходимому для уменьшения ошибки в заданное число раз. За одну итерацию ошибка убывает в 1 — х раз. Если ошибку начального приближения принять за единицу, то после и итераций она будет равна (1 — х)" = е. Следовательно, для достижения точности е требуется !п е 1а (1/е) 1а 11 — х) Х итераций.
В рассмотренных методах количество арифметических операций на одной итерации порядка числа точек сетки, т. е. 1/Ь'. Следовательно, общее количество операций 1и (1/е) Ь/ — —:- х/н Подставляя сюда различные значения х — (248), (257), (258), получим: для простой итерации /у — )п (1/е)/Ь', (261) 117 для метода переменных направлений У вЂ” 1п (1/е)/Ьз, а в случае специального выбора т("> М вЂ” 1п (1>з) 1п (1(и)/йз.
(262) (263) Сравнение (259), (260) с (261) — (263) говорит не в пользу первых. Разумеется, экономичность итерационных способов объясняется тем, что при их испольвовании удается максимально учесть специфику системы уравнений. Задачи 1. Определить оптимальное зиачевие параметра т при проведении итерационного процесса по формулам типа (249), (250) в случае, когда область С является ие квадратом, а прямоугольником со сторонами Х,У и шаги сетки Л„, аз ве равны друг другу.
2. Доказать возможвость достия(евия скорости сходимости итераций, указанной з формуле (258). Для этого рассмотреть итерациоввый процесс (249), (250) с переменным т: т(з) т(п т(з) т(з-и) 7 = и + 1, и + 2, Подобрать значения т(г> и и так, чтобы величина = — зш' („) 2т("> .,пр >)з 2 фигурирующая в выражении ))р (252), для каждого допустимого р при некотором т = т (р) попадала в интервал между )> з и 1/Р з. Тогда соответствующее этому т значение Х('> будет удовлетворять р неравенству 118 используя которое,можно оценить среднее аа цикл из и итераций звачепие ар и, следовательно, скорость сходвмости. 3. Исследовать возможность применения методов, укаэанных в задаче 5 4 11, для решения стационарных задач.
4. Предложить вычислительные алгоритмы решения уравпевия(229) в областях со сложной геометрией (фигура, составшшиая иа прямоугольников, круг и др.), при рааличвых граничных условиях. 5. Построить и исследовать ревностные схемы для решеиви системы уравнений д(/ др ~-+ — = /(х, у), х ду др д(/ — у( у) ох ду в прямоугольиике О ~ х ~ Х, О ~ у ~ У с граничными условиями иа его стороиах (/ (О, у) = а (у), и (х, У) = й (х), у(х,О) =т(х), у(Х, у) =б(у). В частности, рассмотреть итерациоиный алгоритм, использу* ющий равиостиые уравиеиия вида' и«,т-/.
и«-1, т-/, в „и в ип, ХВ-1/и т ХВ-'/и 1в-1 В, т-'/ В-\/ т ~/~~ ХВ+'/в т Х«-'/и гв — т и» ип В, тм/з «, в|-'/, -ХВ /вт — т ' „' — тд« х ° и+1 »1 х«-'/в т "В-'/и т-1 а„ и«, -/, =и„, — т и+1 и« 'т /'=ьт + (Вт/и тт/~1 ив"1 — ив+1 Х«1 'т "т+'/* х«-~/и т + т х где в — номер итерации, обоаиачахг промежуточиые аиачеиия иеиавестиых, т.— некоторый параметр. Й=(,2, ...,К; Х /'» —— К+1/« +. "«+/„т "«-/в в т /1 у«, т« х т=1,2,..., М; у вх —— М + 1/1 Ввадимир Федотович Доачеиио ОСНОВНЬП1 ПОНЯТИЯ ВЫЧИСЛИТБЛЬНОИ ИАТВИАТЯКИ М., 1972, 120 стр. с ввл.
Редактор Г. Я. Пирогова Техн. Редактор Б. Б. За«тиса Корректорм О. А. Бе«орсо«о, Б. Д. Дорохова Слава в вабор 3!Я1972 г. Подлвсаво к печати 131?91972 г. Вукага 63Б106«/». Фка. печ. л. 3,73. Условв. печ. л. 6,3. Уч.-ввд. л. 3,93. Таре«к 43000 ака. Т-07КВ. Нева кввгк 32 к.
Закво 1!6. Иадатоластво «Нау«т« Главвая редакдкя Фвввко-иатематкческой литературы 117071, Москва В-71, Левкясквй проспект, Н 2-я ткпограйкя ведательстеа «Наука». Москва, Шубинский пер., 10 . Кена 22 коп. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
