Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики (1185904), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Сначала заменим исходную задачу, введя возмущение, на некоторую промежуточную, и уже затем перейдем к разностной задаче. Вместо (203) рассмотрим уравнение ш + д + д (дх) дУ дУ з д дУ (207) ) У при х — ез(0, ( У+ при х — еМ)0, (208) где 2 (209) а (7, У+ — константы. Очевидно, функция (208) удовлетворяет (203), (206). Соответствующее решение уравнения (207) будем искать в виде У, (х, з) = 7(х — ае), (210) причем естественно принять, что 1 (х) -~ Уе= при х -е- и- оо, (211) поскольку вдали от разрыва решения У, У, — гладкие функции и, следовательно, близки.
Подставляя (210) в (207), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для ~: — ю1' + й + е' (7'")' = О, (212) Нетрудно убедиться, что 7 = а+ сопле з(п = е г'2 есть решение (212). Поскольку 7 = сопле также удовлетворяет уравнению (212), то интересующее нас решение имеет вид (рис. 14): х — ве я — ( — — е еу2 2 при й+и- и.— и- .
— м — + з(п= ри з еуй ~Я~( я е — ее я =)— суй 2 при где з — малый параметр. Очевидно, если ограничиваться только гладкими функциями, то, нз-за малости е, решения задач (207) и (203) при одинаковых или близких начальных данных будут близки. Чтобы представить себе их отличие в случае разрывных (для (203)) решений, рассмотрим следующий частный пример. Пусть решение задачи (203), (206) есть ступенчатая функция Это решение — гладкая функция, вместо раарыва П-, П+ оно имеет вону непрерывного перехода от (7 к П1 ширины ел у'2. Ксли е достаточно мало, то эта вона узка, н О, близко к разрывному решению (208) исходной аадачи (203), (206).
Это дает основания для замены задачи (203), (206) задачей (207). Очень важно, что решение последней— гладкая функция. Поэтому при построении численного метода для нее мы можем использовать все 1 рассмотренные ранее спо1 собыполучения и исследо- 1 ! вания разностных задач. 1 Услон1нение, связанное с добавлением возмущаю! щего члена (его называют лЫ, л мт искусственной вяаностью), уз уг полностью окупается возРвс. 14. можностью проведения расчета по стандартным формулам, беэ какого-либо выделения особенностей и проб на возникновение разрывов.
Рассмотренный способ введения искусственной вязкости (207) (не единственно возможный) удобен тем, что ширина зоны «размазывания» разрыва — порядка з и не аависвт от величины разрыва (7 — (7+. Тем самым все изменения сеточной функции на интервалах больше, чем -з, имеют реальный смысл для любого решения. Очевидно, из этих соображений и следует выбирать величину е. Относительно выбора Ь (и т для неявных схем) заметим, что введение вяакости дает нужный эффект только в том случае, если в аоне разрыва будет располагаться хотя бы несколько расчетных точек.
В противном случае надеяться на удовлетворительную аппроксимацию нельзя, разностная задача может неправильно прореагировать на вязкость. Таким образом, между параметрами е, т, Ь есть некоторая связь, т. е. е з (т, Ь). С другой стороны, всякая разностная задача содержит некоторую вязкость (ее называют апнроксимационмой), поскольку разностная схема эквивалентна исходным уравнениям плюс ошибка аппро-' ксимации, например, О (т, Ь).
Последняя на самом деле является некоторым дифференциальным выражением с ма- 94 Задачи (. Для задачи (203), (206) построить разностные формулы рас- чета величин на раарыве и в соседних с ним точках. Типичная рас- четная ячейка изображена на рис. $5. Крестиками обозначены рас- четные точки, расположенные на линии разрыва. В них вычислямт- ° ° е ° ° ся два значения решения, левов и и правое и+. 2. Для обеспечения расчета разрывных решений уравнения дг ° ° + ° ° с условиями на линии разрыва х=Х(0: (У+ — б' ) Х' = Р (Н+) — Р Ф ), р;, (и-) >р'„((г+), где )г — заданная функция у, применить различные способы введе- ния искусственной вязкости.
Наряду с (л Рис. (5 дУ др(У) д /дУ1з — + — +з' — ~ ~ =0 бт ба а ~ал) рассмотреть возмущенное уравнение вида дУ ду (У) Шбг — + =е Ш дл длз лыми коэффициентами, т. е. может быть квалифицирована как искусственная вязкость. Поэтому, если угодно, вышеприведенный способ построения разностной задачи сводится к обычному, но имеющему ошибку аппроксимации специального вида. Хотя мы рассмотрели лишь простейший пример (203), но все наиболее существенное по поводу численного решения такого рода задач при наличии разрывов, за одним исключением, сказано. Таким исключением, как ни странно, являются линейные уравнения и, вообще, задачи, в которых разрыв может распространяться по характеристикам (т. е.
линия разрыва к = Х (г) — характеристика). В атом случае разрывы не поддаются стабильному размазыванию с помощью искусственной вязкости. Поэтому, если есть необходимость, то для аккуратного расчета такого разрыва приходится испольэовать специальные формулы. Для расчета любой особенности есть два пути. Либо детальное описание, либо ликвидация, «замазывание» ее. Пример второго и продемонстрирован в этом параграфе.
В обоих случаях, яа фуяяцвях (Г (* — ыг), исследовать последствия аасделкя вязкости для разрывного решения. Отдельно рассмотреть атя же вопросы пря лнвейяой )т (у),л = ау. 3. Составить разяостяуш схему для уравнения (207). Провести всследоваяяе аппроксимации я устойчваостя. й 11. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ Переход от обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнениям в частных производных, т. е.
переход от одной неаависимой переменной к двум, приводит, как мы видели, не только к количественному усложнению задач, но и к новым существенным проблемам. Основные из них были изучены в предыдущих параграфах. Переход к задачам с тремя и более независимыми переменными такнсе не всегда тривиален. Однако почти все рассмотренные нами способы построения и исследования разностных задач допускают простое и естественное обобщение на атот случай. В этом смысле задачи с двумя независимыми переменными 1, х являются хорошей моделью многомерных задач. Остановимся, коротко, на основных вопросах, имея в виду аадачи, в которых неаависимыми переменными будут т (время) и две пространственные координаты х, у.
Такие задачи называют двумерными. Для демонстрации изберем двумерное уравнение теплопроводности, т. е. аадачу бч = а т + ь;з 1 ГУ(0~ я, у) = ГУа(л~ у) (216) ду дт(г асу В двумерном случае простейшая расчетная сетка будет состоять из точек с координатами 1" = ят, ха = ЬЬ„ и определяться, следовательно, тремя параметрами т, Ь„, ܄— шагами сетки. Соответствующие этим точкам значения сеточной функции обозначим иа,„. Все перечисленные в $ 7 способы построения расчетных формул непосредственно обобщаются на многомерный. случай. В частности, для задачи (213) при использовании рас-' четной ячейки, ь(зображенной на рис.
16, лтрбой нз этих эб способов дает следующую разностную задачу; и+1 и ии т — ивт и и и и и и и и иыпт — йии,т+ии 1,т ид 1 — викт+и„ ь' + ь (214) о ивт — Уе (лю у )~ г/акт уй11 = уй т ( т (' 6У ~" + у(тз) и и Увит=Уют-~-Ь,,( з ) + 9 Ь, — 6 -+— Ь„' ( ~ ) +0(Ь'„), и и У», +1=Ум +-Ь( — „) + Ьи 1 — 6 -+— Подставляя эти выражения в (214), находим без труда, 97 являющуюся прямым обобщением одномерной — (178). Принципиальная схема исследования сходимостии л,"и сводящая этот вопрос к аппроксимации и устойчивости, сформулирована в15 в столь т лткт Ю общей форме, что рассматри- и ваемые сейчас двумерные задачи можно считать рядовым „и,т л частным случаем.
Следует ' с лишь вместо двух парамет- дт1 Ров т, Ь и ДвУх аРгУментов и1у сеточной функции п, й во всех формулировках иметь Ат в виду три параметра т, Ь„ Кас. 16. Ьи и три аргумента п, Ь, лг. Для проверки аппроксимации разностной и дифференциальной задач используется тот же прием. Так, для задач (213), (214), предполагая гладкость точного решения У(1, л, у), можем написать: что оно удовлетворяется с точностью О (т, Ь~, Ь„), т.
е. аппроксимация имеет место. Что касается исследования устойчивости, то фактически нами был рассмотрен (в $ 6) лишь один общий способ— спектральный признак устойчивости линейных разноствых задач, имеющих слоистую структуру вида и""' = Ли" + т)". Если под функцией на слое и" понимать теперь иг ив сеточную функцию двух индексов й, т, то все рассуждения, проведенные в начале 4 6, сохраняют силу, и устойчквость по-прежнему сведется к ограниченности норм степеней оператора 11. Для операторов Л, действующих по формуле обобщающей (123), можно оценить зти нормы с помощью спектрального радиуса операторов. А именно, легко убе- диться, что сеточные функции КВР+~~1'в ию ие,е (216) при любых у, ф являются собственными функциями опе- ратора Л (215), а Х =,~~~ кр ее ~' '+'е РЯ вЂ” соответствующими собственными значениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
