Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики (1185904), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(6, Исследовать также рааностную схему вида ем о-Ь е . о е о "з м "з +, "а+ь "а-ье +ь "е, ы 2т 2йх 2ае 2. Рассмотреть итерационные способы решения системы урав- пений (219), (220), Оценить количество итераций. 3. Оценить число арифметических операций, необходимых дая решения аадачн на конечном отрезке времени н в ограниченной об- ласти, при использовании: а) явной схемы (214), б) неявнойсхемм (217), решаемой методом матричной прогонки, в) неявной схемы (217), применяя итерационные способы, г) метода перемеаных напраелеяий (226), (22?). В последних трех случаях привять т а, 4. Исключить из формул (226), (227) промежуточную величину и.
Сравнить нолучениое ревностное уравнение с неявной схемой (2(7). б. Показать, что для решения аадачи (213) могут быть использованы разностйые алгоритмы, определяемые формулами "а+1, 2"а, т+ "1-1, ю + х и и и + "а, тш 2"а. т + "а, ю-1 ! и юа — и и+1 и, и+1, «+1 а 1в+1 а Фл + а ж-1 и+1 иа,1и а,ив 1 — 2ва ю+ ва и "а, "а, в "ам, т 2"а, + "1-1, т т аа„ и+1 и+1 «..ив1 и+1 .ва, ю ва, ю "а, ю+1 а, ю+ Иа, ив-1 Провести сравнение их с неявной схемой (217) и методом переменных направлеввй (226), (227) (исключвв и).
6. Рассмотреть воаможности обобщения всех упоминаемых в атом параграфе методов на соответствующие трехмерные задачи, 6 (2. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ даУ даУ да + (229) и принимаюшую на границе Г этой области заданные значения (7(г = я. (230) Этот термин применяется для задач, описывающих стационарные, не меняющиеся во времени, состояния различных систем. Типичным представителем такого рода задач является следующая. Требуется найти функцию У (х, р), удовлетворяющую, в некоторой ограниченной области 6 плоскости х, у, уравнению Построение соответствующей раэностнои задачи не и область 6 асчетной сеткой, для простоты с равными шагами по л и у (рис. ).
(229) аменяем на этой сетке раэностным соотношением у у — В,ии которое имеет смысл для каждой внутреннеи расчетной й, т, для которой все четыре соседние точки й +. 1, ау~ Рис. 20. используемые в (231), расположены внутри области 6. Остальные расчетные точки я, т, при д ина лежащие 6, б р ничными их совокупность обозначим через ,о ъявимг а Ф пе еносом значения у. Значения и„, на у получим просто переносо у иэ ближайшей точки границы Г и 1„=а1г. (232) Разностная задача (231), (232) принадлежит к рассмоткак (231) в пределе при й — ~ 0 переходит в уравнение ( (232) в (230) (расстояние между у и Г порядка Ь). а в Дон~жом ущойчшюсть пестр Р т оенной азностной задачи, т.
е. совпадение порядко ядков решения и правых частей (232) при лю ом . Для б я. Д этого воспользуемся следующим приемом. 107 Пусть решение задачи и существует. Рассмотрим две вспомогательные функции о, и с, положив ох = ~и + а (хз + у') + р, (233) где а, р — пока произвольные постоянные. Обозначим левую часть (231) через Пи. Подставим (233) в (231). Получим Юсх = ~7+ 4а, Очевидно, для этого достаточно положить 1 а = — шах1(а,,„~. а,т (235) Определим теперь р так, чтобы пь ~„< О.
(236) В соответствии с (232), (233) это будет при 'р = — шах ! у / — а шах (х' + у'). (237) г с Допустим, что шах ох доствгается в некоторой внутренней точкей, ж. Тогда хотя бы в одной из соседних с ней точек значение ах меньше максимального, и, как нетрудно увидеть из (231), (Псх)„, „( О. Зто противоречит (234) и, следовательно, шах ох может достигаться только на границе у. Но здесь, в силу (236), сх отрицательна. Значит, она отрицательна всюду. Таким образом, ~ ин ~ + а (х' + у') и ~ + р ( О~ т. е. в соответствии с (235), (237), 1 шах/иа „~с шах!у~+ 4 шах~7и /шах(х'-(-у~). (238) ьм г цт ' с Полученное неравенство означает устойчивость задачи (231), (232). Заодно мы доказали существование и единственность решения этой задачи.
Действительно, поскольку всякое решение должно удовлетворять (238), то при д = 7" = О 108 так как Юи = 7, П (хз + у') = 4, Пр = О. Выберем а таким, чтобы всюду в области 6 выполнялось неравенство Вс+ >О. (234) возможно только тривиальное решение и = О. Следовательно, решение неоднородной системы линейных уравнений (23»), (232) существует и единственно.
Перейдем к вопросу о способах решения системы (231), (232). Исторически первыми были способы итерационные. Простейший из нкх следующий. Разрешим каждое уравнение (23») относительно значения и» в центральной точке расчетной ячейки; 1 в»," 4 (и»-ь +к»,ь„+и»,„,+и„,„„— Ь»Л» ) (239) и используем эту формулу для проведения итераций. Вычислительный процесс весьма прост — на каждой т-й итерации вычисляем среднее арифметическое значений и»акт»» в точках, окружающих данную центральну»о, го и получаем следующее приближение и» [м~п Исследуем сходимость этого процесса. Положим оэ все ик„= и,,„+Ь,, где и», — точное решение системы (23»), (232). Тогда, очевидно, ошибка Ькм будет определяться следующим итерационным процессом: Ь).
в = — (Ь)"+'ь + Ь»"-'ь + Ь»",' + Ь»",' — ), Ь'""'~, = О. (24О) Обоаначим максимум модуля Ь~»",~ через Ь и будем рассуждать так. Посколькуб»'~ есть среднее арифметическое четырех значений ЬДь вм то~Ь»~',1 ~ также не превосходит Ь, это справедливо для всех точек, на всех итерациях. Но для точек, соседних с граничными, можно сделать более точную оценку. А именно, если хотя бы одна из соседних для данной точки й, л» вЂ” граничная, где Ь = О, то в этой точке й, т ~бк ! 4 4 Ь' и, о+зй з Последнее неравенство справедливо для всего приграничного слоя точек, Перейдем ко второй итерации — влияние границы распространится еще на один слой точек, 109 В которых з оз 4 + 15- Зта оценка заведомо справедлива и для первого приграничного слоя точек.
Продолжая рассуждение, будем продвигаться с каждой итерацией в глубь области 6, получая для пройденных слоев точек оценку Наконец, на какой-то и-й итерации, и ИЬ, мы исчерпаем все расчетные точки. Это значит, что за и итераций ошибка 6 уменьшится, по крайней мере, в (1 — 4 ") раз. За следующие л итераций — еще во столько же раз, и .. Ю т. д. Мы доказали, что при т ->- оо ошибка 6(">-~0, т. е. итерационный процесс сходится. За я итераций ошиб»'->з 4я ка убывает в (1 — 4 ") раз, следовательно за Ряс.
21. одну итерацию, в сред- нем, в(1 — 4 ")и" или(так как и 1/Ь) в (1 — 4 ма)" 1 — Ь4»" раз. Принято скоросл>ь слодилос>ви характеризовать величиной относительного убывания ошибки за одну итерацию, т. е. отношением (6<"> — бои>)/бо> = к. В данном случае для этой величины мы получили оценку к Ь4»а (241) Фактически для многих случаев эта оценка оказывается слишком завышенной, итерационный процесс сходится быстрее.
Так, если область б является прямоугольником (рис. 21), то нетрудно получить более точную оценку. Для этого заметим, что формула (240), описывающая эволюцию ошибки 6<"> от итерации к итерации, может быть интерпретирована как формула разностной задачи бе+>> >б(» ыо уже знакомого нам класса (3 6). Все отличие состоит лишь в том, что т есть теперь номер итерации, а не номер временнбго слоя. Поэтому для исследования эволюции ошибки Ж"> мы можем применить спектральный приэнак. Не будем пока принимать в расчет граничных условий б(„= 0 и положим б(ч> фм> цкоиоо> к, «= осе (242) Как всегда, бом> окааывается равным Лб<">, причем в дан- ном случае легко получаем, что сов ~р + соо $ '2 >243) Поскольку экспоненты, фигурирующие в (242), выражаются черве эш >с„, соэ Ьр, зш ш>(>, соэ т>р, то интересующие нас функции являются комбинациями последних.
Чтобы удовлетворить левому граничному условию б„= О, эти функции должны содержать множитель э)й Ьр. Требуя выполнения условия на правой границе при Й = К, приходим к равенству эш Коэ = О. Это возможно только при Ку = ря, где р — целое. Таким обраэом, мы должны рассматривать только дискретный набор р, и даже конеч- ный ~рр — — р — "., р=1,2,..., К вЂ” 1, (244) так как при остальных р мы получим те же сеточные функ- цииэш Ьр„, а при р = О или р = К вЂ” нулевую функцию на сетке. т.
е. ~ Л ) ( 1. Такая оценка обеспечивала нам устойчивость эволюционных задач, но сейчас она недостаточна. Нас устроит только строгое неравенство (Л (~ 1, только это гарантирует сходимость: бе> -о- 0 при т -~- оо. Легко видеть, что (Л ~ = 1 соответствует функциям (242), которые не удовлетворяют граничным условиям б(„= 0 (они получаются при >р = о(> = 0 или >р = о)> = я), и потому оценка ! Л ( может быть уточнена. Оставим только те комбинации функций (242), которые обращаются в нуль на границах нашей прямоугольной области 6 (рис.
21), т. е. удовлетворяют условиям бо бл 0 ш 0 1 М бк, о = б», и = О. й = О, 1,..., К. По аналогичным соображениям, наши функции Ьз,,„ должны содержать множитель зш тф„причем ф~=д —, 7=4,2,...,М вЂ” $. (245) Итак, сеточные функции Ь», = з(пйф„з(птф ' (246) при любых ф„, фю определяемых равенствами (244), (245), удовлетворяют граничным условиям. Подставим (246) в (240) вместо Ьз("' . Получим после несложных выкладок („соз ф + соз ф Ь„"+ = ", ' з(п йф„з(п тф, т. е.
Ьм (246) являются собственными функциями итерационного оператора, а соответствующие им собственные значения выражаются формулой соз ф„+ соз ф Р Ю (247) совпадающей с (243). Запас собственных функций (246) болыпой (можно показать, что достаточно большой), и по величине Хр з (247) можно судить о действительной скорости сходимости итерационного процесса. Наибольшие значения ! Хр, з( достигаются при крайних значениях фр, фю т. е. при ! соз фр! = соз (я/К) и ! соз фз! = соз (я/М). Так как КЬ и Мй определяют размеры области С, т.
е. порядка единицы, то мы можем написать шах~Ар с<в (я/К) + соз (я/М) у 2 — соей — $ — —. 2 Следовательно, введенная выше характеристика скорости сходимости итераций х Ь', (248) что, конечно, лучше, чем (24$), полученное грубой оценкой. Мы уже отметили аналогию между итерационным процессом и эволюционной разностной задачей. Фактически П2 она простирается гораздо дальше. Всякую стационарную задачу можно рассматривать как частный случай эволюционной, нестационарной, где нас интересует лишь конечное, установившееся состояние, а не сам процесс установления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
