Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики (Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики.djvu), страница 11

Такие схемы называют неясными. На способах решения системы (188) мы остановимся далее, а сейчас продолжим ее исследование. Очевидно, задача (188), как и (178), анпроксимирует исходную дифференциальную задачу (177). Проверка ус, . тойчивости с помощью функл 1»» "».1 ций (180) основывается на спектЛ ральном признаке. Ои был сформулирован нами лишь для явных схем, и применение его к неявнымсхемам требует обоснования. Но для нашей задачи (188) устойчивость можно доказать непосредственно.

Несколько видоизменим аадачу, сделав ее вычислительно Рзс. И. реальной. А именно, будем рассматривать разностные уравнения (188) лишь для конечного (пусть очень большого) множества значений й, дополнив их в крайних точках граничными условиями, задав, на пример,значенияфункции в зтихточках. Получим систему „и+1 „и В В ,.И»1 2 И+1, „«+1 аз+1»» ~»-1 а' О, т ии = Уи(х»)» (189) к = 1, 2,..., »1 — 1, ми+1 = ))и»1, к к~н-1, 1«+1 » »4 где а"»1, 8"+1 заданы; Разумеется, задача (189) аппрексимирует дифференциальную задачу вида (177) на конечном интервале л с соответствующими условиями на его краях.

Для доказательства устойчивости разностной задачи (189) нужно записать ее в виде 1и = ~ и убедиться, что решение и имеет тот же порядок, что и ~, при произвольном 7'. Хотя разностные уравнении (189) однородны, мы должны в правые части дописать )1 и показать, что решение имеет тот же порядок, что и~, а, р, У (неоднородность появится яри исследовании сходимости, иа-за ошибки ашгроксимации).

Оценим ! и~~~~. Допустим, что максимум этой вели- чины на слое достигается в точке Ф. Тогда, если па ~ ) О, и~" ~ — 2и'*+'+ й'ы ( 0 ьм а и поскольку левое и правое значения мажорируются сред ннм, Если иэы(0, то последнее выражение ~0. В силу (189), с дописанными Д', знак этого выражения сохраняется и для величины и„— и~ а+1 в ~я т Следовательно, в обоих случаях ) при ~ < ( и„" + т1~ ~ < ( и„" ~ + т ~ 1„" ~.

По предположению, в левой части стоит максимальное из значений ! й~+~! на (я -)-1)-м слое. Используя, как обычно, обозначение )и"1= шах ~и",, ~, М получим из последнего неравенства 1кин~(~ пп (+ тЦп ~ <."~(п"'1 + т~~В~ Если же шах ) и~т~ ( достигается на границе, то он равен ! а"ы ~ или ~ ()"+~~. Итак, '1и"+'~(шах()а"+т~, ~8"ы~, )и"1+т~~ 1). Применив это неравенство для последовательной оценки и" через й ' и т. д., получим (й+'~(шах((а1, 1Я, 1Щ+(а+1)т~ф, (190) где использованы обозначения ~Д= шах~1"~, 1а1= шах~й), Поскольку (в + 1) т ( Т = сопэФ, то оценка (190) означает устойчивость разностной задачи (189). Заметим, что результат, полученный ранее с помощью скектрального признака, полностью подтвердился.

Разностная схема (189) устойчива при л ю б ы х соотношениях шагов т, й. 75 С точки зрения учета области зависимости решении этот результат неудивителен. Чтобы вычислить каждое из й»+', нужно решить с и с т е м у уравнений (189), при этом, формально, влияние каждого и~ будет отражено. Неявные абсолютно устойчивые рааностные схемы могут быть построены и для других задач, связанных с интегрированием эволюционных уравнений и систем уравнений.

Возможность выбирать шаги т, Ь, исходя лишь иэ требований точности, дает очень часто большую экономию вычислительной работы, даже если учесть увеличение количества арифметических операций на одну расчетную точку, вызванное необходимостью решать системы уравнений. Как мы увидим ниже, специфика этих систем позволяет, в случае их линейности, применять сравнительно простые и в то же время эффективные методы решения.

Поэтому, при аппроксимации нелинейных дифференциальных задач неявными разностными схемами следует стремиться к линейности последних относительно величин неизвестного (и + 1)-го слоя. Допустим, исходная задача кеазилинейна, т. е. линейна относительно старших производных. В этом случае, применяя неявную аппроксимацию лишь для последних, получим разностиую задачу, условия устойчивости которой будут определяться явной аппроксимацией лишь младших членов и коэффициентов.

А эти условия обычно необременительны. Так, если в рассмотренной задаче коэффициент теплопроводности а считать функцией от У, а = а (0), то используя аппроксимацию (188) с а = а (ин), получим неявную разностную схему, по-прежнему линейную относительно неизвестных из". Сама разностная задача (188), разумеется, становится нелинейной, как и исходная дифференциальная. Применяя для исследования обычные способы (Я 5, 6), можно показать, что ограничение на шаги сетки — условие (179) — и в этом случае оказывается сия тьгм.

Не следует думать, что наличие неявных схем лишает смысла использование схем явных. Простота и компактность последних оказываются во многих случаях чрезвычайно ценными, особенно для сложных нелинейных многомерных задач. Задачи. Построить и исследовать различные неявные равностные слемм для решения на интервале 0 ~ х ~" ( следуювжх задач: $.

- +а — О, а)0, д(/ дн дс дх (Г(0, х) = (Ге(х), (Г(Ц 0) = а (т). дг дх дх дх . (/(О, х) = По(х), (Г (т, О) = и (т), (/(а () = й (С). 3. +се =О, дс дх д) +дн — О дт дх (Г(0, х) =(Ге(х), Р(0, х) Ро(х), (г(ц о)=о(ю), у(с, ()=З(с). $ 9. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ в виде /т =1, 2,...,К вЂ” 1, и,е = а, — гк +(1+ 2г)ив — гы„„= и'„', и =)3. л (191) При использовании неявных разностных схем приходится на каждом слое решать систему уравнений.

Только после того, как указан способ ее решения, можно считать, что описание вычислительного алгоритма закончено. Дело в том, что число уравнений и неизвестных очень велико — порядка 1//е. Если не учитывать специфику этих систем и решать их как системы общего вида, то это потребует огромного количества арифметических операций, намного больше, чем при использовании явных схем. Можно показать, что для линейных систем число операций будет порядка 1/Ьэ. Кроме того, нужно помнить, что никакой алгоритм нельзя реализовать ~очно, так как вычисления всегда ведутся с ограниченным числом десятичных знаков. При большом порядке системы накопление ошибок округления может иметь катастрофические последствия.

Обратимся к линейной системе (189) и перепишемее Мы опустили иццекс п -)- 1 у неизвестных и ввели обозначение г=а —. вд ' Как было установлено при доказательстве устойчивости аадачи (189), решение системы (191) должно удовлетворять неравенству ~ив ~(идах((а(, ЦЦ, пшх(и„"~). к Отсюда вытекает, что соответствующая однородная система, получающаяся при а = р = ив = О, имеет только тривиальное решение ик ««О. Следовательно, решение системы уравнений (191) существует и единственно. СпециФика системы (191) заключается в том, что каждое й-е уравнение содержит только три неизвестных ик „ и», ив~».

Зто дает возможность провести последовательное исключение и„и, и„... следующим простым способом. Значение и задано, поэтому уравнение, соответствующее й = 1, содержит фактически лишь два неизвестных и, и и, т. е. дает соотношение между ними. С помощью этого соотношения, испольауя следующее уравнение, исключаем ид и получаем соотношение между и и ик, и т. д. Пусть соотношение между ив и ив известно, а именно ив д =Ьвик+Мв. (192) Подставим это вьдражение в й-е уравнение и разрешим его относительно ив. Получим ° к+, + ««в+.Мв Д + 2г — »А~ т.

е. соотношение между следующей парой неизвестных ив и ив+ . Запюпем его в виде (192), положив йк+д=, ( 2„ (193) «+„М к+д Д + 2г — »Ь» ' (194) Эти две формулы позволяют перейти от д.к, М» к Ьк+„ Мв+, при любом й. Поскольку и = а, то в соответствии с (192) следует положить д; = О, Мд = а и по рекуррент- ТВ ным формулам (193), (194) вычислить последовательно все Ь», М» до Ьк, Мк включительно.

Затем, поскольку ии нам известно, ик = (1, по формуле (192) находим последовательно все и». Таким образом, процесс решения системы линейных уравнений (191) сводится к «прогонке» коэффициентов Ь», М» (их последовательному вычислению по формулам (193), (194)) и обратной «прогонке» и» (по формуле (192)). Отсюда и название этого процесса: метод прогонки. Главное достоинство его — высокая экономичность.

Легко видеть, что при его использовании требуемое количество арифметических операций по порядку величины совпадает с числом неизвестных 1/Ь; т. е. минимально. Проверим теперь, насколько метод прогонки чувствителен к ошибкам округления — каково соотношение между точностью вычислений и точностью получаемого решения. Чтобы оценить развитие и накопление этих ошибок, будем считать, что приближенный (с округлениями) расчет по формулам (192), (193), (194) можно интерпретировать как точный расчет по некоторым другим, близким к ним формулам. Начнем с формулы (193), дающей переход от Ь» к Ь»+».

Ошибка в фактически вычисленном значении».»+» по сравнению с его точным значением возникает по двум причинам. Во-первых, используемое значение «.» содержит ошибку Щ, порожденную предыдущими вычислениями. Ее вклад в ошибку бЕ»+ определим, проварьировав (продифференцировав) выражение (193) по Ь». Это даст Во-вторых, поскольку мы округляем результат каждой арифметической операции, то даже ири использовании течиого значения».» все равно Ьв«будет содержать ошибку — ошибку, возникающую на данном цикле вычислений. Обозначим ее через б». Итак, во всяком случае при ЬЬ ~ Е, имеем Ы»„= У.»»„ы»+ б».