Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики (Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики.djvu), страница 6

Введем обозначение ) би" ~ = шах ~ бии„~, (85) тогда предыдущее неравенство дает (биип)<~бии)-~- тО(т, Ь), т. е. максимальное отклонение Ьи за один шаг т увеличивается не более чем на тО(т, Ь). Соответственно за У шагов это даст абак $ =. Ц Ьи' ф + Ут 0 (т, й). (87) Зафиксируем любое конечное г = Фт и устремим т, й к нулю, а Л соответственно к бесконечности. Поскольку бий = Фи — ф„= О, то нэ (87) следует )би(г)) = 0(т, Ь).

(88) бай~1 — бииа би~„1 — би". +а ""„" =0(т, й) (82) или Ьи„"+'= ((+а — ) бий — а — Ьиге, +'гО(т, Ь). (83) Итак, мы доказали, что если при стремлении т, Ь и нулю условии (84) выполнены, то решение разностной задачи (74), (75), (76) сяодишся к решению исходной задачи (70), (7т), (72). рассмотрим теперь противоположный случай, когда стремление т, А к нулю происходит таким обрааом, что хотя бы одно из условий Ф (84) нарушено.

Оказывает- ся, что в этом случаесхоя димости, вообще говоря, нет. Покажем это с по- У-У мощью следующего про- стого рассуждения. л-сй-,Ю) Определим область за- висимости для и~~'. ПоТ'У '" скольку ил выражается (77) через 4» ~, и~о ~, и~~ 1, е' а последние, в свою оче- к-3 я-а я-3 редь, черезД, 7~Я, и, и1~, и," ~ и т.

д. (рис. 6), Рас. 6. то продолжая этот про- цесс, можно исключить все промежуточные значения й» и выразить п~ непосредственне через 7з и ~рз. 'Точки й, и, значения 7' и у в которых будут при атом использованы, очевидно, образуют треугольник, иаображенный на рис. 6, который и является областью аависимости и~.

Его сторонами явля1отся отрезки прямых х=О, с=О, — + — *„=Ж, (89) т. е. он определяется двумя параметрами ЛЪ и т/Ь. Если оии остаются постоянными при т, Ь-» О, то область аависимости не меняется. Определим теперь область зависимости точного решения в этой же точке, т. е.

У (О, Л~т). Как следует из (73)„ У (О, Ут) полностью определяется значениями Р (л, 0 на прямой (90) х= а(г — Ут), 0<г< Ут, и аначеннем Ф в точке пересеченнч этой прямой с осью л 68 Допустим, что прямая (90) располагается вне треугольника (89). В этом случае У (О, Хт) и ик будут определяться различными, независимыми факторами, и рассчитывать на их близость мы оснований не имеем. Меняя, например, значения р и Ф только в окрестности прямой (90), мы будем получать различные У (О, Ут).

В то же время и»~ на эти изменения реагировать не будет. Найдем условия принадлежности прямой (90) треугольнику (89). При данном с < Ут внутренности треугольника (89) отвечает 0<х<й (М вЂ” — ) . Подставляя вместо х его выралсение (90), получаем 0<а(» — Ут) < — (Ут — с) » или, сокращая на Мт — с, 0< — а<— Ь Очевидно, последнее тождественно (84).

Итак, мы показали, что в случае нарушения условий (84) сходимости, вообще говоря, нет. Подчеркнем следующий существенный факт. Разностная задача (74), (75), (76) аппроксимируст исходную дифференциальную задачу (70), (7»), (72) вне зависимости от того, выполнены или нет условия (84). Однако оказывается, что одной лишь аппроксимации недостаточно для сходимости й» к точному решению У (х, с). Дополнительными условиями, обеспечивающими сходимость, являются в данной задаче условия (84). Невыполнение их может привести к любому отклонению и» от У (х, О. Тем не менее, интересно выяснить, какой характер имеет решение й», получаемое при данных конечных т, й, н что с ним происходит при уменьшении т, Ь.

Чтобы понять это, не проводя конкретных расчетов, пастушив следующим образом. Обратимся к формуле (83), которая описывает процесс эволюции ошибки от слоя к слою. Наличие в правой части члена тО (т, Ь) указывает на то, что порядок ошибки во всяком случае не меньше этой величины. Сама ошибка Ьи» есть некоторая сложная 89 функция от индекса Ь. Допустим, что ее можно представить в виде суммы, одно нз слагаемых которой имеет вид е ( — 1)», где, разумеется, е имеет порядок т 0 (т, й). Проследим за развитием только этой компоненты ошибки, т. е. положим би» = е( — 1)", (91) и найдем би»'", бй»+', ...

При этом, несколько идеализируя задачу, не будем учитывать вклад, даваемый членом т0 (т, й) на следующих шагах. Получим би»«' = ~1+ а — „1е( — 1)' — а — з( — 1)»+' = ь =(1+2а т ) е( — 1)", т. е. функция вида (91) переходит на следующем слое в се- бя, приобретая множитель 1 + 2ат/й. Очевидно, через Л/ слоев она приобретет множитель (1 + 2ат/Ь)Я, би»«+~ (1 + 2а — „) з ( — 1)", (92) и,следовательно, раавитие рассматриваемой компоненты ошибки определяется величиной 1 + 2ат/Ь.

Если ~1+2а и ~<1* (93) )би»»»~*=)1+2а —,~ т0(т, Ь)-«оо при т, й-«О. то ошибка затухает, в противном случае нарастает экспоиенциально. Последнее приводит к тому, что решение и», содержащее эту ошибку, довольно быстро теряет какой-либо смысл, становясь хаотической последовательностью очень болыпих чисел. Малость е, очевидно, не спасает положения и может лишь несколько оттянуть наступление катастрофы. Описанный эффект получил название неустойчивости.

Нетрудно заметить, что (93) есть опять все то же условие (84). А это значит, что отсутствие сходимости и неустойчивость имеют одну и ту же причину. Используя (92) для конечного отрезка т = д/ч, получаем, что в случае нарушения условия (93), т. е. (84), Задачи 1, Если а ) О, то условия (84) не выполняются нн прн каких г, )г. Как нэменпть разностную формулу (78) для етого случая2 2. Построить н исследовать раэностный метод решения еадачн (70), (71), (72) е общем случае переменного а, а = а (а, 1). 3.

Для решения е»дачи — — 77 (и, О) = Ф (х) дн о" ьГ ш эа»' рассмотреть разностную схему и» и» и»+г 2и»+ и»-г е и»» и и и и а» и» = т» Исследовать ее аппроксимацию, сходнмость (прн 2т//г» ~ 1) н ус- тойчивость (на функции е ( — Ц"). э 5. АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ Принципиальная схема проведенного выше исследования сходимости является типичной для широкого класса аадач и может быть описана следующим образом. Пусть некоторая исходная дифференциальная эадача эаменена раэностной аадачей вида (94) Здесь и, 7" — сеточные функции и», Д, а 1 — линейный разностный оператор, зависящий от параметров т, й. В частности, рассмотренная эадача (75), (76) эаписывает- ся в виде (94), если положить и+1 и и и и» вЂ” и» и»+ и» +и ие (95) (96) 41 Расчет по неустойчивой раэностной схеме не только не дает решения близкого к точному, но вообще невозможен. При этом уменьшение т, й только ухудшает положение.

Для выяснения вопроса о сходимости решения эадачи (94) к решению исходной аадачи — к функции У полагаем и= У+Ьи и, подставляя это выражение в (94), получаем уравнение иля определения Ьи )би = ~ — 1У. (97) Очевид~йо, сходимость, т. е. стремление би к О, будет иметь место, если, во-'первых, выбором параметров т, й правая часть (97) может быть сделана как угодно малой, и, во-вторых, ата малость сохраннтси для решения уравнения (97) — сеточной функции би. Первое из этих условий 1У вЂ” ~ -~- 0 при т, й -~- 0 (98) есть уже знакомое нам условие аппроксимации (ср. с (81)). Ово характериэует свяэь между разностной и дифференциальной эадачами и устанавливает факт близости этих вадач. Выполнение второго условия зависит только от свойств раэностной эадачи.

А именно, разностный оператор 7 должен быть таков, чтобы при любых т, й решение вадачи (97) имело тот н1е порядок, что и правая часть, т. е, Ьи ~ — (У. (99) Этим свойством обладает далеко не каждый раэностный оператор. Как было покаэано выше, для оператора 1 (95) условие (99) справедливо, если а, т, Ь удовлетворяют соотношениям (84).

В противном случае условие (99) не выполняется. Поскольку при этом наблюдается явление неустойчивости, то вкладывая в последний термин несколько большее содержание, условие (99) называют условием устойчивости. Заметим, что уравнения (97) и (94) отличаются только обозначениями~ би, ~ — )У вместо и, ~. Поэтому условие устойчивости (99) можно переписать в виде ($00) и /, которому должно удовлетворять решение вадачи (94). Подчеркнем, что оператор ) зависит от параметров т, Й,. и устойчивость оаначает, что соотношение ($00) выполняется при любых сколь угодно малых т, й.

42 Чтобы придать соотношениям (98), (99), (100) точный смысл, необходимо укааать способ оценки входящих в них величин и, ~, 16> и т. д., т. е. ввести норму этих сеточных функций: Ц и Ц и т. д. В рассмотренном выше примере мы в качестве нормы использовали максимум модуля значений функции, т. е.

Ьи = О (т, Ь) означало Ц Ьи Ц = >пах ( Ьи'„' ~ = О (т, Ь). и» Возможны и другие определения нормы, важно лишь, чтобы она удовлетворяла нас как способ измерения действительной величины сеточной функции. Так, норма ЦЬиЦ = шах ЬЦЬи"~ не вводится, поскольку в этом случае ю» Ц Ьи Ц-»- 0 при Ь-» О, даже если Ьйз остаются конечными. Всякая норма есть обобщение понятия абсолютной величины числа и должна удовлетворять соотношениям ! Ци+»Ц(ЦиЦ+ЦэЦ, ЦаиЦ= $»хЦ ЦиЦ (где»х — число). Мы нигде не предполагали, что сеточные функции и, ~, фигурирующие в (94), (98), (100), скалярны.

Воли исходная задача состоит в интегрировании системы дифференциальных уравнений, решение которой является системой функций, т. е. вектор-функцией, то, очевидно, под и, /, 1и следует понимать сеточные вектор-функции. При определении нормы это дол>кис быть учтено. Итак, для любой линейной разностной задачи вида (94) сходимость Ци — УЦ- О при г, Ь-+0 (101) вытекает из аппроксимации ЦЕУ вЂ” )Ц- 0 при т, Ь-+О (102) и устойчивости ЦиЦ-И. Последнее означает, что прн любом / для соответствующе- Для оценки отклонения и от У подставляем в (105) и = У+ би и, учитывая (106), получаем бии11 — б " ГГи — Е1" б „" — б " +2 з Ь ! бии бии '13 (107) бии = О. Наличие квадратичного члена не позволяет эффективно оценить поведение би. Допустим, однако, что сходимость есть, и би мало, например, би(( У.