Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики (Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики.djvu), страница 7

В этом случае поведение бп будет определяться главными линейными членами (107), т. е. уравнением бии+1 бии гГи гги би» бии — +2 "~а " "1„"=0(т, Ь), (108) которое с точностью до коэффициента совпадает с рассмотренным ранее (82). Чтобы сделать это совпадение полным и тем самым иметь воэможность испольэовать уже полученные результаты, ограничимся рассмотрением (108) лишь в некоторой окрестности данной точки хи1 1". В этой окрестности уи ГГи и (108) можно заменить на (82): и+1 б и би,",+, — би,", " +а и" =0(т, Ь).

Как было установлено, решение этого уравнения остается малой величиной лишь при выполнении условия (84), которое сейчас означает (109) Итак, предположение о сходимости не приводит к противоречию только в случае выполнения условий (109). Мы не мол<ем утверждать, что вопрос о сходимости для задачи (105) полностью решен, но и полученное, необходимое условие (109) дает довольно много. В частности, если точное решение имеет в некоторой области положиаи тельную проиаводную, †) О,то разностные уравнения (105) испольаовать нельзя. Для проверни условия (109) вместо значений У, которые неизвестны, очевидно, следует брать ив, получаемые в расчете. Повторим проведенные рассуждения применительно к общей нелинейной разностной задаче, которую зашппем в виде М(и) = О.

(ИО) Поскольку оператор М нелинеен, то нет смысла выделять правую часть ~. Прежде всего проверяем аппроксимацию, т. е. выполнение условия М(У)-~0 при т, Ь-~О. (И1) Кслн оно не выполнено, то надеяться на сходимость, очевидно, оснований нет. Можно было бы обобщить понятие устойчивости и на нелинейные вадачи, определив его соотношением и — У вЂ” М (и) — М (У). (И2) Но ввиду практической непроверяемости последнего, зто вряд ли имеет смысл, хотя для сходимостн недостает именно соотношения (И2), поскольку малость М (и) — М (О) обеспечивается аппроксимацией. Оператор М нелинеен, и его свойства на различных функциях могут быть различны. Естественно, в первую очередь нас интересуют функции, близкие к точному решению.

Если уже здесь свойства М окажутся неудовлетворительными, то сходимостн ожидать нельзя. Но для малых и — У = би информацию о М (и) можно получить, рассматривая главную линейную чаешь его, т. е. М(0)+ М'(У)би, (ИЗ) где М' (П) — линейный оператор (вариация М), действующий на Ьи и зависящий от У как от параметра. Заметим, что используемая при этом малость би формально не имеет отношения к малости т, й. Итак, подставляя в (ИО) и =* У + би, заменяя М (У + би) на (ИЗ), учитывая (1И), получаем М'Щби-+О при т, й-+О.

,(И4) Если эта задача, порождаемая л и н е й н ы и оператором 2' (0), устойчива, то можно ожидать, что сходиыость имеет место. Если неустойчива, то сходимости нет. Рассматривая оператор М' (О) локально, в небольшой области плоскости х, о, где У (х, т) меняется мало, можно еще более упростить задачу, сведя ее к исследованию устойчивости линейной задачи с постоянным и коэффициентами. Упрощая, моделируя задачу, важно не потерять какой-либо существенной черты ее.

Это требует определенного искусства, максимального учета специфики задачи. Подведем итог. Первый необходимый этап исследования сходимосги любой разностной вадачи состоит в проверке условия аппроксимации. Если результат положительный, то линеаризацией задачи, с последующим «залооралсивамиело» коэффициентов, вопрос сводится к анализу устойчивости линейной разностной схемы с постоянными коэффициентами. Коротко, этот прием упрощения, моделирования задачи можно изобрааить формулой М(и)-+М'(()) би-+(би. (И 5) Задачи П Доказать непосредственной оценкой, что задача ((08) устойчива при выполнении условий (109). 2, Найти условия устойчивости (сходимости) для разностныи схем, аппроксимирующих задачи дУ доУ вЂ” — У (О, х) Уо(х) де доо ' — = р (д У), У (0) = Уо.

дУ ов 3. Построить разностные схемы, аппроксимирующие задачи дУ д дУ вЂ” = — )о(У), У(0,,) =Уо(х) дз дх дх ' + =О, у(О, х)-у,()о дУ дур(У) дз дх — + — =О, Г(0, х) = Ро(х), др дУ до дх Произвести линеаризацию полученных разностных уравнений. $6. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ Для линейных разиостиых задач вида 1и = 7' устойчивость означает, что и г', т. е. порядок решения и порядок правой части при т, и-<- О совпадают. Ограничимся рассмотрением операторов 1 с л о и с т о й структуры вида (116) Здесь и" обозначает сеточную функцию на и-м слое, т.

е. набор иа для фиксироваииого и, Л вЂ” некоторый линейкый оператор, переводящий фуакцию ка слое в функцию иа слое и зависящий от параметров т, й. Для операторов 1 вида (116) задача 1и = 7' может быть ааписапа в форме и"ы = Ли" + т7", и = О, 1,..., ) (117) где 7", о — заданные сеточные функции ка слоях. В етом и заключается расслоение оператора 1 — сеточные фуккции и', и', ... могут быть получены последовательно, одва аа другой, с помощью одного и того я<е оператора Л, оператора перехода от слоя к слою. Наша аадача состоит в выяснении соотношения между величинами и и 7', о. Для л<обого <<< формулы (117) позволяют вырааить ик через )" (и = <У вЂ” 1, )У вЂ” 2, ...) и о. Действительно, и" = т7"ы + Лик-< = = тР" 1+ Л Яю + Вим- ) = т((пы ( Л<п-е ( Лз<к-э+ +Ли-<(о) ) пно М-1 =т,'Е Л-1 --+Дно, (118) пса где Л оаначает т-ю степень оператора Л И также является липейкым оператором.

Для оцекки величины сеточных функций ка слое о, и", Ло, ... введем какую-либо норму (капример )и")! = = шах ) ие (). Поскольку и" выран<ается через )", ос помощь<о и В , то, очевидно, соотношение между величинами ил и /", э будет зависеть от метрических свойств операторов В , от того, насколько применение В меняет норму сеточных функций. Пусть операторы В таковы, что для любой сеточной функции на слое э справедливо неравенство (И9) ПВ эП<р НгП, где р — числа, уменьшить которые, без нарушения (ИО) хотя бы для одной функции г, нельзя (р называется нормой оиералюра В ).

Оценим величину и", используя (И8), (И9), л — 1 П и" П < т,Я П В /'а- -1 П + П В" е Ц ~ <т Х р П/и" 'П+рлНэП< <тЛ/ шах р шах Н/" Н+рлЦэП. (120) Поскольку нас интересуют только конечные г, то 0 ~ шт < Ут < г и 0 е-, т < /(/ < г/т.

Устойчивость будет иметь место, если коэффициенты при шзх П/ П и П зП к (120) будут оставаться ограниченными при т, /з -+ О. Поскольку тФ е, то условие устойчивости записывается в виде р < сопас при т, Ь-~-О, шт< и (121) Разумеется, совах не должна аависеть от т, Ь, хотя р,„, как и В, В, зависят от этих параметров. В этом существо дела, так как для каждых фиксированных т, й, лз величина р, естественно, конечна.

Итак, для операторов 1 слоистой структуры (Иб) вопрос об у с т о й ч и в о с т и разностной задачи сводитсн к оценке норм степеней оператора В— к проверке условия (121). Рассмотренная в П 4 задача дает, очевидно, пример оператора 1 слоистой структуры. Там мы, с одной стороны, установили выполнение (121) при условии — 1 ~ ат/й < 0 непосредственной оценкой, а с другой стороны, выявили неустойчивость с помощью частного решения и„( — 1)".

В более слон»ных случаях первое удается далеко не всегда, в то время как второй способ допускает обобщение на широкий класс задач. Поведение В о в зависимости от л» проще всего исследовать на собственных функциях оператора В, т. е. сеточных функциях на слое и, применение к которым В тождественно умножению на числа (собственные значения Х) (122) Для собственных функций В о = Х о и, если их достаточно много, то по величине Х можно судить о норме р Рассмотрим сеточные функции на слое о = (из), определенные и ограниченные для всех значений дискретного аргумента Й, — оо ( Й( оо.

Пусть линейный оператор В задается на этих функциях формулой (Ви)з — — ~ а,оз,ю й = О, ~-1, ~2,..., (123) р где ар — заданные коэффициенты, зависящие от параметров т, й, а р пробегает некоторое множество значений. В частности, рассмотренный в $4 пример получается при аэ = 1 + асlй, а» = — ат»й и а, = О для остальных р.

Собственные функции оператора В вида (123) доля»кы удовлетворять соотношению (122), т. е. ~~", и„оз+р — — Хоз» Й = О; ~!-1, ~2,... (124) р Решение этого линейного разностного у р а в н е н и я будем искать в виде аа = о»я'» (125) где д — некоторое число, а оэ — нормировочный множитель. Подставляя (125) в (124), получаем, после сокращения на иэд", ;Я д =л, (1 26) р т. е. при любом д функция и (125) удовлетворяет (122), с Х = Х (д) (126). Из этого обилия функций мы отберем только ограниченные (по й) сеточные функции (125). Если ~ д ~ + 1, то ~ оа ~ -~ оэ либо при й -»- оо, либо при й -»- — оо.

Следовательно, ~ д ( = 1. Саму разностную задачу мы рассматриваем только в действительной области. Однако всякую действительную функцию можно представить в виде комбинации комплексных. Поэтому привлечение последних может дать эффективную информацию о метрических свойствах оператора В в действительной области, в частности, о его норме. В данном случае мы имеем всего две действительные собственные функции, при д = 1 и д = — 1. Комплексныи н<е собственных функций существенно больше, и характер оператора проявляется именно на них.

Полагая д = е~~, перепишем (125), (126) в виде (127) (128) из вэееа', Л='~~ и е'т . р Таким образом, к а ж д о м у ~Р из интервала (О, 2я) соответствует собственная функция пэ (127) с собственным значением Л (128). Очевидно, величина ве не играет роли, к можно положить вэ = 1. Поскольку для собственных функций В и = Л о, то ыа них ЦВ иЦ =ЦЛ'"оЦ(шах/ЛЦ ЦзЦ, (129) к величина шах Ц Л ~ является, так сказать, нормой оператора В на системе собственных функций. Эта система является частью всего мнон<ества сеточных функций, поэтому норма оператора В может быть только больше, чем шах ~ Л Ц~, шах ЦЛЦ (Р . Сравнивая это неравенство с условием устойчивости (121), приходим к выводу, что для выполнения последнего, во всяком случае, необходимо, чтобы шах 1ЛЦ я сопзь при т, Ь--~ О, тт(й (131) Собственные значения Л, как и а„, через которые они выражаются с помощью (128), зависят от параметров т, й.

Поскольку щ . 1й -ю. оо, то условие (131) аквивалентно требованию шах ЦЛЦ~1+ 0(т) . при т, Ь-+О. (132) В противном случае,! Х ~ -э ос. Коли же ~ Х ! =- 1+ет, / Ь~т (1 + ет)Чт Последняя величина, хоть и конечна, но может быть до- вольно большой. Поэтому иногда вместо (132) рассматри- вают более сильное условие шах ~Х~(1 при т, Ь-+О, (133) Итак, мы получили необходимое условие устойчивости задачи (И7) с оператором Л вида (123). Множество собственных значений Х называют спектром оператора, а величину шах ! А ~ — спектральным радиусом. В связи с этим условие (132) или (133) называют спектральным признаком уетойчиеоети. Для примера т 4 равенство (128) дает Х = 1 + а — — а — е'ч т т ь а — 1<а — <О. Достоинством спектрального признака устойчивости является то, что он легко распространяется на многие более сложные задачи, в частности, на системы уравнений.

Вернемся к задаче (Иб), (И7) и будем считать, что сеточные функции й, 7", и являются сеточными вектор- функциями, т. е. определяются в каждой расчетной точке несколькими величинами. Все проведенные рассуждения сохраняют силу, и лишь заключительная часть подлежит корректировке. А именно, поскольку (123) есть теперь векторное равенство, то ар следует считать квадрат матрицами того же порядка, что и векторы ию Подст ка ными анов(134) вз = "ая = пое з где па — вектор, в (124) приводит к т. е.