Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики (Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики.djvu)

В. Ф. ДЬЯЧЕНКО ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Лоарыина Мыныстырхнвом еыыиево и сребнеео ыыыиаеьноео обраеавания СССР в аачеспве рчебново пособия дяя сгпрденаяае выаиых вяехничесних рчебных ваеедвний ИЗДАТЕЛЬСТВО еНАУКАв ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 9972 ыз ц зз РДК Яб Основные понятия вычислительной математвки. В. Ф.

Д ь я ч е н к о, Главная редакция фшико-математической литературы изд-ва «Наука», 2972, 120 стр. В книге рассматриваются простейшие понятия и идеи, яешащве в основе современных численных методов решения задач механики и ьжтематической физики, вопросы построения и исСледования соответствующих вычислительных ал горвтмоз. Характер изложения материала ве предполагает высокой математической подготовленности читателя. Книга рассчитана иа студентов естественных факультетов и вузов, а гешке на специалистов широкого диапазона физике-технических профессий, и может быть использована для первоначального знакомства с предметом вычислительной математики. 22 нлл. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение .

ГЛАВА 1 П 17 25 ГЛАВА П ГЛАВА 1П 89 96 106 $1, Вычислевие корней уразвепвй.... 1 2. Функции м таблицы 1 3. Обыквозеввые дпффереппиазьпые уразпевил ., 1 4. Уразпеввя з, частных производных . 1 5. Аппроксимапви и устойчивость 1 6. Спектральиый призпап устойчивости, . 1 7. Построение расчетвых формул.... 1 8. Нелепые разиоствые схемы....

$9. Решение развоствых уравнений . 1 10. Расчет разрызвых решевий 1 П. Мвотомервые задачи $12. Стапиоварвые задачи 34 41 43 58 69 77 ПРЕДИСЛОВИЕ Возможность постановки вычислительного эксперимента на электронной машине существенно ускорила процесс математизации науки и техники. Расширяется круг профессий„для которых математическая грамотность становится необходимой. Потребность в соответствующем образовании приводит к появлению различной литературы — от справочников до монографий. К ней принадлежит и эта книга. Она посвящена вопросам разработки численных методов решения задач механики и математической фиаики.

Соответствующая теория находится в стадии интенсивного развития и еще далека от завершения. Однако некоторые, относительно простые идеи и понятия уже выкристаллизовались. Именно они и только они излагаются в книге. Конечно, овладение азбукой численных методов не сделает читателя квалифицированным вычислителем. Для этого необходимо изучение более глубокой литературы и особенно личный опыт решения конкретных задач. Но эффективность того и другого резко возрастает, если самые простые вопросы ясны. Разнообразие профессий и уровня подготовки предполагаемого читателя заставляют автора отказаться от традиционного для математической литературы, строго формализованного стиля изложения.

Поэтому, воаможно, некоторые рафинированные математики-профессионалы нааовут книгу банальной и даже вульгарной. Нам придется согласиться с ними. Но полная математическая вооруженность, учитывающая все логические возможности, необходима, если в нашем распоряжении нет ничего, кроме математической логики.

Реальные объекты не таковы, чтб и позволяет писать книги, подобные этой. С другой стороны, основное назначение любой книги — быть про- читанной. Мы старались лишить читателя повода захлопнуть книгу. Изложение ведется на «физическом» уровне строгости. Автор ориентируется не столько на математическую подготовленность читателя, сколько на его здравый смысл и сообразительность. Как правило, рассмотрение того или иного вопросапроводится на простом типичном примере, а затем намечаются пути обобщения полученных результатов на более сложные случаи. В конце каждого параграфа помещены задачи различной степени трудности.

Для решения большинства из них требуется ясное понимание принципов, излагаемых в основном тексте, и способность самостоятельно развить их. Первые три параграфа носят вводный характер и касаются классических вопросов вычислительной математики — итерационных способов решения уравнений, интерполяционных и квадратурных формул, численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Остальные параграфы, составляющие основное содержание книги, посвящены численным методам решения уравнений в частных производных, построению и исследованию соответствующих вычислительных алгоритмов. Здесь рассматриваются конкретные приемы проверки аппроксимации и устойчивости разностных аадач, свойства явных и неявных схем, способы построения расчетных формул, методы решения систем разностных уравнений, возможности реализации алгоритмов и т.

д. Итак: мини-теория современных численных методов решения задач механики, газовой динамики и вообще математической фиаики, требующих интегрирования дифференциальных уравнений. Книга родилась как результат многолетней работы автора в области прикладной математики и чтения соответствующего курса лекций в Московском физико-техническом институте. Она может быть использована студентами естественных факультетов и вузов для первоначального знакомства с предметом и методами вычислительной математики.

По вопросам, затронутым в первых трех параграфах, имеется обширная литература, и подробное изложение всех их можно найти почти в любом курсе приближенных вычислений. Для более глубокого изучения разиоствых методов решения уравнений в частных производных рекомендуем следующие книги: Р и х т м. а й е р Р. Д., Разноствые методы решения краевых задач, ИЛ, 1960. Годунов С К., РябенькийВ.С, Введение в теорию рааиоствых схем, Фиаматгиз, 1962. В а а о в В., Ф о р с а йт Д«к., Разиоствые методы решения дифференциальных уравнений:в частных проиаводных, ИЛ, 1963. Я н е н к о Н. Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической фиаики, изд-во «Наука», СО, 1967.

С а м а р с к и й А. А., Введение в теорию разноствых свеж, изд-во «Наука», 1971. Автор благодарен В. С. Рябенькому, роль которого в появлении этой книги чрезвычайно велика. В. Дьяченко ВВЕДЕНИЕ Численный метод решения задачи — зто определенная последовательность операций над числами, т.

е. вычислительный алгоритм, язык которого — числа и арифметические действия. Такая примитивность языка позволяет реализовьгвать численные методы на вычислительных машинах, что делает эти методы мощными универсальным инструментом исследования. Однако задачи, надлежащие рвшенню, формулируются, как правило, на обычном математическом языке (уравнений, функций, дифференциальных операторов и т. и.). Поэтому разработка численного метода необходимо предполагает замену, аппроксимацию исходной задачи другой, близкой к ней и сформулированной в терминах чисел и арифметических операций.

Несмотря на все разнообразие способов такой замены, некоторые общие свойства присущи им всем. Обратимся к простейшему примеру. Требуется найти решение уравнения х' — а=О, а~О, т. е. извлечь квадратный корень из заданного числа а. Можно, конечно, написать х = р а, но символ у' не решает задачи — не дает способа вычисления величины х. Поступим следующим образом. Зададимся каким-либо начальным приближением хз (например, х, = $) и будем последовательно, с помощью формулы (2) вычислять значения х„х„...

Прервем зтот процесс на некотором л = Х, и полученное в результате хл объявим приближенным решением исходной аадачи (1), т. е. положим )/а — хи. Правомерность этого допущения зависит, очевидно, от требований, предъявляемых к точности решения, от величины а и от параметра Ф. Если иметь в виду любые требования, то нужно доказать, что для всякого а соответствующим выбором Х можно добиться любой близости хи к точному значению у' а. Докажем, что наш алгоритм (2) удовлетворяет этому условию.

Положим хя —" =1+е„. уа Разделим равенство (2) на у'а и подставим в него (3), получим (3) 1 / 1 1+ел= в ~1+зв-г+1 ( 1ю е„~ ~ откуда 1/ 1 1 1 е,',, а= 2 ~ аз е„+ 1 / 2 е„э + 1 ' Так как 1 + зэ = 1Д/а ) О, то из последнего равенства следует, что все е„, начиная с первого, положительны. А значит, (1. е„, +1 Используя это, получаем из (4) 1 е„< 2 елм (5) хя-+ у а при У-+ о, (6) и наше утверждение доказано.

Рис. 1 иллюстрирует итерационный процесс(2). Здесь даны графики левой — у„(х) и правой — уе(х) частей (2). Поскольку, очевидно, у„(у~а) = у (фа), то эти графики в т. е. е„убывает с ростом п быстрее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем '/,. Следовательно, пересекаются в точке х = 7 а. Проведение итераций по формуле (2) зквивалентно движению по изображенной на рисунке ломаной линии, зажатой между у„(х) и у (л).

Это еще раз убеждает нас в сходимости итераций к у' а при К вЂ” ~ оо. При исследовании сходимости мы допустили некоторую идеализацию алгоритма, молчаливо предположив воз- можность точной реализации вычислений по формуле (2). По ни человек, ни машина не могут оперировать с произ- вольными действительными числами. Вычисления всегда ведутся с ограниченным числом десятичных знаков, иточность результата не может превосходить точность у расчета. Важно установить, уя-л в каком отношении зти точности находятся, не будут ли ошибки, допускаемые при округлении, накапливаясь, 2/ д1 лишать результат расчета какой-либо ценности. Хотя почти очевидно, что в нашем примере все обсто- 1 ) ! ит благополучно, проведем ф' формальную проверку влияния указанного фактора, Роль округлений сводится к тому, что фактически вместо формулы (2) мы пользуемся формулой ~п л~м — (1 +6„) +6„.

2 з„+т Отсюда видно, что с ростом п е„убывает до величины по- рядка 6„, т. е. точность результата соответствует точности вычислений. где множитель 1 (-б„аффективно учитывает ошибку, вводимую округлениями на данном и-м шаге расчета, а т„— фактически получаемая последовательность. Величина 6 (с 1 характеризует точность вычислений. Заменяя т„на г' а (1 + е„), получим вместо (4) Несмотря на свою элементарность, рассмотренный пример вполне отчетливо демонстрирует следующие принципы, общие для всех численных методов.

Во-первых, исходная задача (т) заменяется другой аадачей — вычислительным алгоритмом (2). Во-вторых, задача (2) содержит параметр Р, которого нет в исходной задаче. В-третьих, выбором етого параметра можно добиться, в принципе, любой близости решения второй задачи к решению первой, лн к у' о. Наконец, в-четвертых, неточная реализация алгоритма, вызванная округлениями, не меняет существенно его свойств. ГЛАВА 1 $ 1. ВЪ|ЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ Задаче состоит в нахождении действительного корня уравнения г'(х) = О.

(8) Будем предполагать, что этот корень существует н располагается внутри некоторого известного интервала (может быть, большого). Рассмотренная выше задача (1) является частным случаем данной. Примененный там метод итераций можно распространить и на общий случай — уравнение (8). Для этого нужно построить итерационный процесс вида =9(х. ) (9) (ср. с (2)), сходящийся к корню уравнения (8), который обозначим Х. Рассмотрим условия, которым должна удовлетворять функция у (х), и некоторые способы ее построения. Допустим, что итерационный процесс (9) сходится, т.

е. х„— 1. Х при и -+ со. Тогда, переходя к пределу в левой и правой частях (9), получим Х = <р (Х), т. е. х = Х должен быть общим корнем уравнений (8) и х = <р (х). (10) Поэтому для получения итерационной формулы достаточно просто переписать уравнение (8) в виде (10) (ср, (1) и (2)).