Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики (Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики.djvu), страница 15

Требуя выполнения неравенства ~Х (<р, ф) ~ < 1, получаем необходимые условия устойчивости. Таким образом, и в двумерном случае спектральный прианак устойчивости сохраняет свою зффективность. В применении к задаче (214) эта процедура дает следующее условие устойчивости Далее, аппроксимация с помощью неявных разностных уравнений опять приводит к схемам, устойчивым прн любых соотношениях между шагами сетки. Для задачи 98 (213) такой схемой будет, очевидно, следующая (рис. 17)7 и+1 и ии т — ив т и 11 и+1 и+1 и+1 и+1 тИ1 ив+1,т 2ив т+ив-,т ив, 2ин,т+из а' + а' и в (217) 1< Ь < К, 1 < ш< М, (218) аадаа ЗиаЧЕНИя ли+1 На КраяХ ЕГО.

ПОЛОЖИВ, дЛя ПрОС- тоты, Ь = Ь„= Ь, обозначив г = т/Ьв и отбросив нвдекс и + 1 у неизвестных мй"', запишем эти уравнения в виде — гид т+1— — ги„1, + (1+ 4г) и„„„— гивгв 1ии т-1 ий, т' (219) Ее устойчивость можно доказать непосредственном оден КОй ив+1, КаК В т 8. ЕСЛИ жЕ В КаЧЕСтВЕ ии ВЗятъ фуквцИЮ вида (216), то легко убеждаемся, что и +' = Аии причем Х— 4т И 4т 1+ —, вш' — -Р— в1вв— Ьв 2 ав 2 « ' ит1 и и ви,т и при любых т, Ь, Ь„имеем )Л~ < 1. Таким образом, основные лг вопросы, связанные с построением и исследованием разиост- ~~'У ных задач, не претерпевают принципиальныхиэмененнйпри увеличении размерности.

В то Рвс. 17. же время увеличение объема задачи и усложнение вычислительных алгоритмов могут порождать и новые проблемы. Остановимся, в связи с этим, на вопросе о способах решения систем раэностных уравнений, возникаюш„кх при нспольаовании неявных схем. Рассмотрим уравнения (217) в прямоугольнике (рис. 18) Граничные значения и„, заданы1 ик и+о — — бю Пя,т =Опт~ Плм,ж= 1оя (220) по,о = То. Индексы й, т пробегают множество значений (218). Таким образом, число уравнений и число неизвестных равны КМ, каждой внутренней точке пряУ+/ моуголькика соответствует свое уравневие (219). ° (" (" "" ° В одномерном случае ° 1 1 ° ° ° для решения аналогичной системы уравнений мы смогли применить эффективный метод исключения — метод прог+~ л «+~ Я)л гонки 5 9).

Это удалось Рвс. 18. благодаря тому, что там мы имели систему чреввычайпо простого вида — каждое уравнение связывало только три неизвестных с последовательными номерами, соответствующими их естественному упорядочиванию. Здесь этого вет. Тем не менее, можно построить метод решения системы уравнений (219), непосредственно обобщающий метод прогонки, так хорошо себя зарекомендовавший в одномеряом случае. Будем считать совокупность значений и», „ иоью ...

..., и„,м при фиксированном й компонентами М-мерпого вектора ио (рис. 18). Отберем из системы (219) уравнения, соответствующие этому значению й. Очевидно, оки будут связывать компоненты только трех векторов иа „ ию по+„. Запишем эти М' уравнений в виде одного векторного уравнения -Аио + Вио — Си„+ = Н„, (221) где А, В, С вЂ” квадратные матрицы, а 4, — вектор порядка М. Очевидно, А = С = г1 (1 — единичная матрица), н 1+4г — г ΠΠ— г 1+4г Π— г 1+4г'. 1+ 4г — г — 1+ 4г О и»,д+ гу» и»» п и»,» и», м- и»,м + гб» Поскольку система (219) свелась к К уравнениям (221), связывающим только тройки векторов и„„и», и»+„то мы можем применить метод прогонки, учитывая, конечно, векторный характер уравнений (221).

Пусть между и» д и и» имеется соотношение (222) и», — — Ь»и„+ М„, где Ь» — квадратная - матрица, а М» — вектор того же порядка, что и и». Подставив (222) в (221), исключим и„„т. е. получим соотношение между следующей парой векторов ( — А1») и„— Си„„= АМ» + дд». Разрешая последнее относительно и„, т.

е. умножая слева на матрицу, обратную к  — АЬ», получаем и» = ( — АВ») ' (Си»„., + АМ» + а»). Чтобы представить последнее соотношение в виде (222), положим В»м = ( — АЬ») 'С М»»д = ( — А1»Г (АМ»+ "»). (223) ~од Метод решения теперь ясен. Граничное условие при )й = О определяет Ь1 = О, М, = гг. По формулам (223) ~ находим последовательно все «.», М». Поскольку ик+1 ',известно, ик,1 — — р, то, имея Е», М„, по формуле (222) , :получаем все и» вЂ” решение нашей системы. Коэффициенты '«» — матрицы, поэтому изложенный метод называют «гев1одо«г мпгпричной прогонки.

Внешне он не отличается от ат4т обычного, одномерного, метода ««, прогонки. Однако, в противот« .«ф положность последнему, упот- ребляется крайне редко. При(з« чиной этого является его колоссальная трудоемкость. На каждом цикле вычислительного аи «'«ч«пРоцесса нУжно обРатить мата« / рицу высокого Ы)г порядка (и запомнить ' $/и таких матРвс.

49. риц). Поэтому часто применение итерационных способов решения систем (и даже использование явных схем) оказывается более эффективным. Решение проблемы создания наиболее экономного ' алгоритма для рассматриваемого типа задач лежит на другом пути. Рассмотрим рааностную схему (рис. $9)з щм п и» щ — и» т и+1 ии«1 ~ ии+1 и»+1 щ — 2и» щ+ и» 1 щ и» щ+1 — 2и», щ Р'и» и, 1 и и являющуюся «промежуточной» между схемами (214), (217) н также аппроксимирующую дифференциальное уравнение (243). Подстановка в (224) сеточных функций вида (216) дает ииы = Ли", где 4ъ, 19 4 — — з1а'— ь» 2 Л— 4» Ч 1+ — иш'— ь» 2 и следовательно, разностная схема (224) может быть устой- 102 чина лишь при т Ьм 2' и (225) и и им — 2им,„+ им,„ + м'"м ми м Р и+1 Я им,,„— 2 им + им щ 2иим + ыи» "м,»1+им, -м (227) й» ХОЗ и+1 к и+1 что не удивительно, так как эта схема по одной из переменных, у, — явная.

Такие схемы применяют, если направления х и у неравноправны по существу задачи. Например, если решение слабо зависит от у, то Йи может быть выбран намного больше Ь„, и условие (225) не будет обременительным. Обратим внимание на следующие обстоятельства. С одной стороны, схема (224) не налагает никаких ограничений на соотношение между тип„, а с другой — совокупность уравнений (224) при каждом фиксированном лм образует систему, которую можно решить простым методом прогонки.

Таким образом, можно сказать, что вопрос о построении эффективного алгоритма «наполовину» решен. Остается лишь условие на т и Ьи (225). Число же арифметических операций, требуемое для получения решения, оказывается пропорциональным числу расчетных точек. Поменяем направления х и у ролями, т. е. рассмотрим схему, явную по х и неявную по у. Получим схему, которая снимает вторую «половину» вопроса. Схемы исключают друг друга, но попробуем пользоваться ими поочередно — одной на четных, а другой на нечетных шагах по г.

Поскольку элементарным циклом вычислительного процесса будет в этом случае пара шагов, то удобнее называть одним шагом по времени весь цикл, каждую схему использовать для продвижения на т/2 и решение, полученное на первой половине шага, понимать как некоторое промежуточное й. Это дает следующую разностную схемум Иак и предыдущие, она, очевидно, аппраксимирует уравнение (213). Исследуем устойчивость этой схемы. Используя в качестве и" функцию вида (216), получим из (226) й = Хи", где 2т — — в!ав— Лв 2 о 2т и + —, в!вв— Лв х а' из (227) иап = М, где 2т .

и 1 — — в!ав— Лв 2 х 2т 1 + — в!вв— Лв 2 Нас интересует только произведение ХХ = Х, так как именно оно соответствует целому шагу по времени. Легко видеть, что Х есть произведение двух сомножителей 2т, Ф 2т . ф 1 — — в!ав — 1 — — в!вв— Л' 2 Лв х о 2т . и 2т 1+ — в!вв — 1+ — впав Л 2 Лв 2 х о (228) каждый из которых не превосходит по модулю единицы при любых т, й, Ьв <р Ф Таким образом, разностная схема (226), (227), как и неявная схема (217), устойчива пря любых соотношениях шагов сетки и, в отличие от (217), по количеству операций достаточно экономна. Действительно, процесс решения системы уравнений (226), (227) сводится, во-первых, к решению системы (226) при ка!ядом фиксированном ш, након<дению й, н, ао-вторых, и решени!о системы (227) Ьри каждом фиксированном й, что дает и +!. И то, и другое можно выполнить с помощью обычного метода прогонки.

Раэностные методы такого типа называют методами переменных направлений или методами дробных гаагов. Понятно, почему метод матричной прогонки менее эффективен по сравнению с изложенным — он слишком универсален. Действительно, как мы знаем, достоинства 104 обычного метода прогонки объясняются очень точным учетом взаимного влияния решения в различных точках. Взглянем на метод матричной прогонки с этой точки зрения. Запись соотношения между векторами и„, ие в виде (222) отражает формально существующие связи . между всеми компонентами этих векторов.

Очевидно, однако, что взаимное влияние рааличных компоненте. быстро ослабевает по мере удаления соответствующих им расчетных точек друг от друга, при увеличении разницы в номерах яь Метод матричной прогонки эту специфику системы уравнений не учитывает — он ориентирован на гораздо более широкий класс задач и потому в данном частном случае оказывается далеко не лучшим. Мы рассмотрели лишь одну проблему, возникающую при переходе от одномерных задач к двумерныьт. Как и прежде, мы испольэовали для этого частный характерный пример, поаволивший нам выявить существо дела.

Увеличение размерности задач, конечно, ставит и другие проблемы, но мы на них останавливаться не будем. В основном они связаны с трудностями аппроксимации многомерных областей хорошими расчетными сетками и, разумеется, борьбой эа простоту, экономичность вычислительного алгоритма. Задачи $. Построить и исследовать рааличные рааиостные схемы для решения уравнения — +е +Ь О, аи аи З(7 бз да ду используя в качестве расчетной ячейку, изображенную на рис.