Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова.djvu), страница 9

Однако эти значения не заполняют всю ось энергий. Равенство (3.58) возможно при таких К, что )Г(Ка) ' < 1. На рис. 11 такие области отмечены толстыми линиями на оси К. Непрерывный спектр энергий разбивается на ряд ограниченных областей — энергетических зон. К зр Ка точкам Ла = пр справа примыка- о ют запрещенные зоны — области, в -Р 9 4 которых !Г(Ка)~ ) 1, а потому отсутствуют ограниченные решения УШ. С ростом энергии Е запре- Рис.

11 1пенные зоны на оси Ка сужаются: левая часть (3.58) принимает значение ( — 1)", когда сов (Л а — 1) = ( — 1)" сов 5, т. е. при Ка .= пр и при Л а = ар + 25. Отсюда следует, что ширина запрещенных зон Л = 2 аггеей Я/Ка). При больших и имеем Ь— = 2Я((пр).

14. Собственные функции операторов р и х не принадлежат классу Пз. Поэтому они не описывают физически реализуемые состояния частицы; эти СФ следует рассматривать как базисные функции, образующие полную систему в смысле соотношений (!.15), (1.16). Поскольку в физически реализуемых состояниях значения р и х описываются некоторыми распределениями вероятностей, наряду со средними значениями р и х представляют интерес и вторые центральные моменты — дисперсии этих величин.

Дисперсию величины А ЬАз = (у( (А — А) !у) (3.59) можно рассматривать как меру неопределенности ее значений. Дисперсии значений величин, которым соответствуют некоммутирующие операторы, связаны с коммутатором этих операторов: (х,у) = 1А. (3.60) Рассмотрим среднее значение оператора Е ' ~, где Ь = (х — х) + 7я(р — р), операторы т, и р эрмитовы, а д — действительный параметр.

Собственные значения оператора Т г Е неотрицательны (см. задачу 1. ! 5), 56 Ггггегг 3 поэтому неотрицательно и среднее значение (у~ ((т — х) — го(д — д)Ц(х — х) + ггг(д — д)) ~у) > О, (у''- т'+В'~,Р+ ЗР,д1~у) > О Используя равенство (3.60), из последнего соотношения находим Дав + гЗзг~уз —,гА > О. Поскольку это неравенство выполняется при любом значении 3, то дискриминант трехчлена неположителен, т.

е. Аз — 4Ьжз г."гдв ( О. Итак, имеет место неравенство Ьжя Ьдз > —. (3.61) 4 Это выражение называется соотношением ггеопредгьгеггноспгей Гайзенберга. Отметим, что для его вывода необходима эрмитовость операторов аЗн д. Поэтому соотношение (3.6! ) неприменимо для состояний, которые описываются собственными функциями операторов х и д.

Коммутатор операторов координаты и компоненты импульса в декартовых координатах пропорционален единичному оператору: [р,,Ц = — и. (3.63) Поэтому в любых состояниях, описываемых ВФ из 1 з, будет выпол- няться соотношение неопределенностей Ьрз Лгва > ~ (3.62) 4 В классической механике значения р и ж определены одновремен- но. В этом смысле состояния, наиболее близкие к классическим, будут описываться ВФ с минимальным произведением неопределен- ностей.

Им соответствует знак равенства в формуле (3.62). В силу неотрицательности СЗ оператора Г ' Г такие состояния должны опи- сываться СФ оператора Г. с собственным значением, равным нулю. Отсюда получаем уравнение (: — ) = д ж + уй — ) у = 1у, 1 = х + гсгг. дя) Нормированное решение уравнения (3.63) имеет вид у (х) = (2рЬжз) схр~ — — — — + г~— '1, (3.64) 1Ьтг 6 1 где г.'ьтз = бсг Оператор в левой части (3.62) лишь размерным множи- телем отличается от оператора уничтожения а для гармонического осциллятора, введенного в и. 3.6.

Таким образом, состояния с ВФ (3.64) могут быть определены уравнением ау = ту, 57 Ог) номерное деггдюен не где 1 — произвольный комплексный множитель. Состояния, описываемые ВФ, удовлетворяющими этому уравнению, называются коге)эег~тнььии состояния.им* гармонического осциллятора. ЗАДАЧИ К Для изображенного на рис. ! потенциала показать, что для значений энергии Е ( (Г ВФ стационарного состояния может иметь нули только в области, где Е > В(х). 2.

Показать, что для одномерного УШ все ВФ дискретного спектра имеют вид у(м) = ехр?П э'(м), где Ч --- число, а Э'(м) --- действительная функция. Отсюда следует, что в связанных состояниях плотность потока вероятности всюду равна нулю. Поэтому ВФ связанных состояний одномерного УШ мы всюду считаем действитсльнымн. 3. Доказать, что в попс с четным потенциалом (Г(х) ВФ дискретного спектра либо чсп|ы, либо нечетны.

4. Может ли состояние с энергией связи, равной нулю, принадлслгать дискретному спектру? 5. Исследовать дискретный спектр частицы в поле двух симметричных еьям ьг (л) =- — дп(т — а) — дц(к+ а) . "Гакая модель может быть охарактеризована величиной безразмерного параметра О .—. 2тяаб з. а) Найти, при каком значении Оз параметра Г2 в этом потенциале появляется второе связанное состояние. б) Найти асимптотический вид зависимости Ез от ьГ при О Яы в) Найти приблихгснный вид зависимости разности энергий двух связанных состояний Ь = Ез — Ео от Я при ГЭ » К 6.

Исследовать спектр частицы в попс ст(к) = яа(к а) ~ йц(к Р а) . При каком условии в этом потенциале будет существовать связанное состояние? 7. Найти спелтр частицы в попс 8. При каких значениях параметров т и и движение частицы в потенциале П(к, у) = (х -Ь и я -Р 21кя) 2 финитно? Найти для этого случая уровни энергии частицы. 9. Найти энергетический спектр системы гм частиц одинаковой массы ьч в трехмерном пространстве, сслн их попарнос взаимодействие описывается осциллято ным гютсн налом Р ц (?(г„) = г,, 2 (г„— вектор расстояния мсэкду г-й и у-й частицами). У к а з а н и с. Рассмотреть классические уравнения двиэксния системы.

Гтеп3 10. Классическая частица, совсршакэщая малые колебания с энергией Е = = ?зи/2, нс выходит за пределы интервала [ж~ < ъЛ?шяк Какова вероятность найти квантовую частицу с той жс энергией вие этого интервала? 11. Доказать. что волновыс функции стационарных состояний гармонического осциллятора у „(х) являются собственными функциями оператора Фурье и имеют ту эке форму в импульсном представлении. !2. Найти спектр частицы в поле (?(:г) =- л~ (к >0), (?(к) = оо (к < 0).

2 13. Найти зависимость е~ от В вблизи порога появления второго связанного состояния в прямоугольной яме В > Ез = р?'4). 14. Найти зависимость относительных энергий связи е„от В и и при Е » 1. 15. Свободная частица находится в состоянии с ВФ у (к) = Аехр (1!э:г) 4 + В охр (?кгк).

Вычислить среднее значение и дисперсию сс энергии. !6. Показать, что коэффициенты Р(Е) и Е(Е) ис зависят от направление движения падающей частицы. 17. Лсимптотика ВФ за барьером ул — — ]А[ ехр [1 (кк + ьк)] сдвинута по фазе относительно падающей полны у, = егь '. Найти связь между фазовым сдвигом?к и коэффициентом прохождения.

18. Используя (3.54), найти коэффиниент отражения частицы высокой энергии в поле прямоугольного барьера; сравнить ответ с точным выражением. 19. При 4 < 0 в модели Кронига — Пенни может существовать энергетическая зона с Е < О. Исследовать сс полоягеиие и ширину в зависимости сгг параметра 42 в частности, при ь) » 1. В предыдуших задачах и в тексте мы рассматривали равнение УШ исключительно в координатном представлении. Это объясняется типичной структурой гамильтониана й(р, х): кинетическая энергия квадратична по импульсам, и при любом виде с?(х) мы получаем дийирсрснциальиос уравнение 2-го порвдка.

Напротив, потенциальная энергия (? (2) содержит, в общем случае, произвольно высокис степени х, что при переходе в импульсное представление приводиз к дифференциальным уравнениям нысокого (или неограниченного) порядка. В общем случае УШ н импульсном представлении может быть записано как интегральное уравнение. Решение этого уравнения и явном виде тожо возможно лишь в небольшом числе случаен. 20. Найти нормированныс ВФ стационарных состояний в импульсном представлении для частицы в однородном поле.

21. Найти спектр частицы в поле (?(ж) = 0 (ж < 0), 1?(а) = — — (ж > 0), :г решая задачу в импульсном представлении. 22. Нанти спектр частицы в пояс (?(к) = — 04(к), решая задачу в импульсном представлении. Глава 4 МОМЕНТ О. Для построения явного вида оператора момента импульса мы могли бы воспользоваться правилами сопоставления, изложенными в п. 2.1. Однако в квантовой механике угловой момент не есть, вообще говоря, оператор, выражающийся только через х, и рь и действующий только на функции координат. Поэтому мы вначале установим коммутационные соотношения между компонентами оператора момента.

Для этого мы используем связь между операторами проекций момента и унитарными операторами, осуществляющими преобразование поворота системы координат. Эти коммутационные соотношения справедливы как для оператора орбитального момента, выразкающегося через х, и ры так и для спинового момента, не имеющего классического аналога.

Затем на основе коммутационных соотношений мы найдем спектр оператора момента и его явный вид в различных представлениях. 1. Пусть в каждой точке «неподвижного» пространства определена некоторая функция у(х, д, г). Рассмотрим две декартовых системы координат Е, Е'. Система Е' получена из Е путем поворота вокруг оси " на угол 1. Сравним значение рассматриваемой функции в двух точках «неподвижного» пространства, координаты которых в системах Е и Е' имеют олно и то же значение (х, д, х). Под «неподвижным» пространством мы понимаем некоторую систему координат, отличнукз от Е и Е'. Обозначим через у'(х, д, з) и у(х, д, =) значения функции в системах Е' и Е соответственно. Очевидно, что у'(х,д,з) = у(хсоя) — дгйпй,хгйп) +дсов)„г). (4,1) Так как выбор системы координат не меняет нормировки ВФ, то преобразование функций осуществляется унитарным оператором.

Для того чтобы установить вид оператора гГ«(1), который функции у (х, д, з) ставит в соответствие функцию у'(х, д, "), рассмотрим бесконечно малый поворот на угол г)з . Сохраняя в (4.1) только линейные по г11 члены, имеем у'(х, д, з) — у(т, — дг(1, хг(1 + д, г) = (1 + 1(лд))у(х, д, г). Здесь введено обозначение 1 = 6 ~ (хдря — др,), которое соответствует оператору г-проекции момента импульса, построенного по правилам п.

2.1 н деленному на 6. Легко убедиться, 60 Глава 4 у*(х, р,з)(А,з+ А„3+ А,к)у(х, р,х) дг. (4.3) Рассмотрим следствие этого равенства. Поскольку орты систем Е, Е' связаны соотношениями з = зсов) +3вш), 3 = — згйп) +3 сов), 1с =к, а функции у'(х, р, с) и у (х., р, я) связаны унитарным преобразовани- ем (4.2), то подставляя (4.2) и (4.4) в (4.3), получим еи- А.е-н=~ = А,сов) — Аяв(п еи.'Аяе и" = А в1п 3 + Ая сов 3, е'"А.е '=' = А.-, Рассмотрим бесконечно малый поворот и раскладывая левые части равенств (4.5), находим коммутационные соотношения ~7„А,~ — — гАю ~Г, Ая] — — зА,„, (4.6) ~Е„А,1 = О.

Аналогичным путем можно получить коммутационные соотношения между компонентами А , А„, А.- и операторами („ (ю 3. Итак, мы получили коммутационные соотношения (4.6), осно- вываясь на следующих требованиях: а) ВФ при переходе от Е к Е' преобразуются согласно (4.2); (4.5) что при повороте на конечный угол 3 получим у (х, р, г) = е' -'у (т,, р, г). (4.2) Таким образом, (,гг,й-~ ~""(3) = "-' 2. Рассмотрим некоторый векторный оператор А, действующий на функции координат у (х, у, я).