Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова.djvu), страница 5

ай ж = —. т д ~ 1 д Используя формулы (2.4) ау АУ - Л ' ак,' получаем уравнение движения для компоненты оператора импульса р, = — -'[~.;.й| (2.8) и аналогичное уравнение для оператора координаты х; = — -' [т,„Н~ . (2.9) Такой способ описания называется лредстовленнегв Гойзенберго, а уравнения (2. 8) — (2.9) — урпвненилнн Гайзенберга. б) Рассмотрим описание движения с помощью зависящих от времени волновых функций. Используя формулу (2.8)*, представим уравнение для матричных элементов в виде — „,(У~АМ = --„*У~[р КЫ Считая операторы р, и Н не зависящими от врелзени и учитывая их эрмнтовость, получим (Я,, )+(,Лф) = --„'(ЫЙ8)+-,'(Л,ЙР,8), 1л — з,~~,8) + [ун), Я) = — ' (р,~,й8) +-' ~ЙУ,р.;д), [ ~~ + -'Й1 ) + (~ ~ — я+ -'й„) = О. Последнее соотношение будет выполнено при произвольных в начальный момент времени волновых функциях у (ж) и 8(ж), если онн удовлетворяют уравнению 16 — г = Ну.

(2.10) двн Это уравнение называется уравнением Шредннгеро, а способ описания систел1ы с полюшью операторов, не зависящих от времени,— нредставленое и Шредннгеро. В дальнейшем мы будем использовать также сокрашения ВФ вместо «волновая функция» и УШ вместо «уравнение Шредингера». В обоих представлениях времени эволюция системы характеризуется гамильтонианом Н вЂ” оператором, полученным из функции Гамильтона классической механики согласно правилам, изложенным в и. 2.1.

Оснинныг положения 31 Так, гамильтониан частицы во внешнем поле с потенциалом О (хы х2, тз) есть Я = ехр ( — — 22 1) . (2.! 2) Обозначим волновую функцию и оператор в представлении Гайзенберга 1' и Ь, а в представлении Шредингера — — у и 1: у =5~А (2.!3) ь =- Я'Ы (2.14) Так как 1 по определению от времени не зависит, то дифференцируя (2.13), получим 1 = — -н~'~ = --Й,, ду д(Яз ) 1 д2 д! 6 Л что совпадает с уравнением Шредингера.

Дифференцируя по времени равенство Х = Йья', получим —" ,= — '~Ы' + Йь — ' = -*ЙЫЙ' — -'Йт,Й'Й,. — ",' = -'(Й, т,), что совпадает с уравнениями Гайзенберга. Уравнение (2. ! 5) можно записать в виде дг.. - ~- -~Йз Величина Т называется шнпгграю.и двпгнгення. если — '(у~4у) = о. + ~' (хз х2~ха).

2т В координатном представлении Н имеет вид 62 Н = — — Ь + 11(хы х2, хз), 2тл где 2".'х — оператор Лапласа. 8. Уравнения А5 справедливы как в представлении Гайзенберга, так и в представлении Шредингера. Поэтому математические ожидания значений наблюдаемых в этих представлениях совпадают. Должно существовать унитарное преобразование, переводящее одно представление в другое. Такое преобразование осуществляется оператором Гнева 2 Интеграл движения удовлетворяет двум эквивалентным условиям 1соответствующий оператор — и в шредингеровском, и в гайзенбер- говском представлениях — коммутирует с гамильтонианом): [НЦ = [Нь~ = О.

9. Если функция 1амильтона системы не зависит от времени, то состояния, описываемые собственными функциями гамильтониа- на Н, называются сталпонарнымп состоянилип, а множество соб- ственных значений Н вЂ” энергетпческпм спектром, Для стационар- ных состояний уравнение Шредингера имеет вид 1а —" = Е„у„= Нугг 12.1б) Интегрирование по времени непосредственно лает временную зави- симость волновых функций стационарных состояний У„1гэх) = ехР ( — -Е„1) З„(х), 6 где „'„1х) — функция одних только координат. Распределение веро- ятности зависит от квадрата модуля волновой функции: г1х) =- ~у„1гэх)~ =. ~з„(х)( 12.

17) и остается во времени постоянным. В стационарных состояниях дис- кретного спектра среднее значение коммутатора [Н, Аз, где А— любой оператор, обращается в нуль: 1п~НА — АН[п) = Е 1гл~А~п) — Е„1п~А(п) = О. Пусть Н вЂ” гамильтониан частицы в поле Г1г), а А — оператор И', определенный формулой 12.1). Тогда (у~ [Н, А~(у) = О = — И[2(у~Т(у) — (у~г '7Цу)). Первый член в скобках есть удвоенное значение средней кинетической энергии Т. Если Г1г) = Ног", то второй член в скобке есть просто нН. Таким образом, 12.18) Т = — Г.

2 Соотношение 12.18) называется теоремой впрната. Приведем еще одно соотношение для стационарных состояний частицы с гамильтонианоы Н 12.11). Из 12.9) следует, что [г, Н~ = — р. т, Основные пояоженпя й й Используя уравнение Шредингера, получим = ~"(уН у у Ну)~х. ЙРР 1 нз Б~ й (2.21) В правой части (2.21) отличны от нуля только члены с производными.

Учитывая соотношение (Ьд — >1Ь( = йу (~ рас(д — дыгай )), 3 П.В. Евютии, В.Д. Кривчеиков Вычисляя матричные элементы обеих сторон этого равенства с помошью ВФ стационарных состояний, получим — фр/Л) = (Еь — Е„)(п~г~й). (2.19) 1О. Энергетический спектр может быть как дискретным, так и непрерывным. ВФ дискретного спектра в координатном представлении мокнут быть нормированы условием Г ~у„(х)~ Нх = 1.

(2.20) Это означает, что плотность вероятности убывает при больших г, лостаточно быстро, чтобы интеграл в (2.20) сходился. Вероятность нахождения частицы вне некоторого конечного объема может быть сделана сколь угодно малой — частица совершает финитное дан>кение. Поэтому состояния дискретного энергетического спектра называются сеязанныин.

Для ВФ непрерывного спектра у, (т) дать непосредственную вероятностную интерпретацию нельзя, так как интеграл от плотности вероятности по всему пространству расходится. Физический смысл имеют только состояния, соответствующие квадратично интегрируемым ВФ 1. Если такая ВФ представима в виде линейной комбинации ВФ непрерывного спектра и( >.) у, (х) дт, то мы будем говорить, что она соответствует инфинитному движению. В ряде случаев функция а(1.) заметно отлична от нуля только в окрестности точки 1 = >.о, свойства таких ВФ во многом близки к свойствам функций у,(х). Рассмотрим изменение со временем вероятности нахождения в объеме Й частицы с гамильтонианом Н (2.11): 34 Глово2 получим уравнение ~(И' ° 1 Й вЂ” = — ~ б! — '' (уЧу" — у*УУу)4 Ж ~ 2ьч й Преобразуя объемный интеграл в поверхностный по теореме Гаусса, получаем — — — (у'7у — у 'Уу) Ю ли 76 4! З 2пг ~(!2) (2.22) Величина 3(у) = †, (у'7у* — у'с'у) 2п~, называется пто>ппоси~ыо потока вероятности.

Уравнение (2.22) имеет смысл >равнения нспрсрывности. В диффсрснциальной форме оно имеет вид Р (2 л) пропорциональна импульсу и не зависит от координаты. 11. Если гамильтониан Н инвариантен по отношению к переносу на любой вектор а: Н(г + а) = Н(г), (2.23) то должен сушествовать унитарный оператор Т(а) такой, что Т(а)Н(г)Т ' (а) = Н(г )- а). Поскольку последовательные переносы коммутируют: Т(а)Т(Ь) = Т(Ь)Т(а) = Т(а+ Ь), то оператор Т должен иметь вид Т = ехр (гКа), — + й)У3 = ().

л( Уравнение непрерывности означает, что вероятность нахождения частицы в объеме П может измениться только за счет перехода частицы через границу обьема: УШ с гамильтонианом (2. ! !) не описывает источников (и стоков) частиц. Если ВФ имеет вид у(ж) =- АЛ(х), где Л(ж) — действительная функция, а А — комплексная константа, то 2(у) = О. Для собственных функций импульса у(х) = ехр ( — рх) плотность потока вероятности Оснослыс»олсэнгвая 35 где К вЂ” некоторый эрмитов оператор. Рассмотрим бесконечно малый перенос Т(5н)НТ~(5н) = (1+ гКс~н)Н(1 — 1Кзн), Н(г) + 7, (К, Н) Йн =- Н(г) + ( (7Н) он. Из сравнения с (2.4) находим явный вид оператора К: К = й-'р. Из условия (2.23) следует, что (р, Н~ = О, т.

е. импульс есть интеграл движения. Состояние системы описывается СФ импульса у (г) = (2р6) ' З ехр ( — рг) . При унитарном преобразовании Т ехр ( — 'ра) у (г) = у (г + а). (в Оператор пространственного переноса Т~ = ехр( — -'ра) аналогичен оператору ивременного переноса» Я = ехр( — — Нг), введенному я в п. 2.8. 12. Гамильтониан может быть ннвариантен по отношению к дис- кретному набору переносов.

Например, в кристаллической решетке Н(г + а) = Н(г), (2.24) если а = 2„, а;и;, где и, — целые числа, а н, — базисные векторы решетки. Для функций стационарных состояний (2.25) Й(г) у (г) = Еу (г), Н(г + а) у (г + а) = Еу (г + а) = Н(г) у (г + а). Поэтому у(г) и у(г+ а) суть СФ Н(г), соответствуюшие одному и тому же значению энергии. Можно представить связь между этими решениями в виде у (г + а) = с(а) у (г), где с(а) — матрица с числом строк и столбцов, равным д — кратности вырождения уровня Е.