Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова.djvu), страница 2

Так, эрмитовыми являются операторы Р и т1 (см. (1.1)) в классе 1 Я; (ХЯ~ф = Х юг)х = д'хХтХх = ((фтХ ~Х)) Здесь предполагается, что как Х(х), д(х), так и хХ(х)т хфх) принадлежа г классу 1Р: тт~Х~т) =.)Гт*.тт( —,) ь=)Г( — *)тт*.тт*= ((п~п~п) (Значение интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.) Для любого оператора й оператор + будет эрмитовым в силу (1. 5). Любой оператор С можно представить в виде Х = ЛХ+ гАт, г: г где операторы й="Х ., д=' (Е7) в ' з~' эрмитовы.

Будем называть ЛХ и гйг, определенные так, эрмитовой и антиэрмитовой частями оператора Ь. Оператор-матрица в пространстве Е„будет эрмитовым, если Е„= Х.* „. Отсюда, в частности, следует, что диагональные элементы эрмитовой матрицы вещественны. Для интегральных операторов условием эрмитовости б>дет равенство Ь* (т,х) = Ь(х,сс) . Произведение эрмитовых операторов будет эрмитовым оператором только тогда, когда операторы коммутируют: йг ' =- (лХК) ' = Х ~ М ' =- Х М.

9. Определение 9. Если для оператора Ь и функции у (~~у ~~ ф 0) выполняется соотношение Ху=1у, (ЕБ) где 1 — комплексное число, то у называется собственной ф> нкйцей, а 1 — собственнььи значением оператора Х. Если множество собсгвенных функций не более чем счетно, то собственную функцию уно соответствующую собственном> значению 1„, будем обозначать как ~п).

В дальнейшем мы часто будем использовать сокращешгя и писать СФ вместо «собственная функция» и СЗ вместо «собственное значение». Собственные значения эрмитовых операторов действительны: Ху„-- 1„у„. (и/Х!п) =- 1»(п/п) =- ((п!Ь /п))* =- 1'„(п!и), 1„= 1„*. Собственные функции эрмитового оператора, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны: Ху„.— 1„у. Х.у„, = 1,„у„„ (т~А(п) = 1„(т~п), (Е9) (т/Х ь!п) = ((п/Х/т))* = 1т(т/п).

(Е10) Левые части выражений (3.9) и ($.10) равны. Приравнивая правые части, получаем (1„— 1 ) (т~п) = О. (1Л! ) Так как по условию 1т ф 1„то (т~п) = О, что и требовалось Чоказать. Введение Для оператора Р (1.1), например, собственными функциями в пространстве 7 являются четные (1 = 1) и нечетные (1 = — 1) функции.

Выполнение равенства ( 1. ! 1) для СЗ оператора очевидно. 10. Определение 10. Если собственному значению ть оператора Ь соответствует более одной собственной функции, то собственное значение ть называется вырожденным, а число )1 различных линейно независимых собственных функций уь называется в кратност ькг вь!рождения. Собственные функции у„, соответствующие вырожденному значению 1!,, могут быть взаимно не ортогональны.

Линейные комбинации а„,у, !=! также будут собственными функциями А, относящимися к значению 1„. Если кратность вырождения конечна (или счетна), то система функций )„может быть сделана ортогональной. Положим 1! =У! 1 г = у! + а22у2 ° где а22 онре!2елится из условия ортогональности (2!)З2) =0= (у ~у!)+а22(у ~у2), откуда а22 =— Ь ~~'. (Уг ~Уг) предполагается, что норма ))у ! ~~ конечна, (у ! ~у2) у'= О. Аналогично, полагая 32 = у! + а32у2 + аззуз, получим систему из двух линейных уравнений для козффициентов аз2, а;рз. Такая процедура, называемая ортогонализацией по Шмидту, может быть продолжена для всех значений и до п =- д. Ортогональну>о систему функций з, для вырожденного собственного значения мы будем называть правильной. 11.

Определение 11. Оператор 77 называется унггишрнын, если он сопряжен своему обратному оператору: 7.777 ь = 77+77 = 7. Собственные значения унитарных операторов по модулю равны единице: 7Ъ) = 1)у) (у У~ ~Ь) = 1(у Ф~)у) = 11*(у В: 11' = !1~2 =1 Тливо 1 Произведение унитарных операторов И' = 777' также будет унитарным оператором; й' =Р И" И' = У 77" 77 ' = 1'1' = 1 Определение 12. Пусть 77 — унитарный оператор. Преобра- зование, при котором функции у сопоставляется функция 1 = ЬТ'у, а оператору 1 — оператор 7 = 77" ЬЬТ, называется унитиТдлььи ддре- обризовин иедд д 77) .

Унитарное преобразование обладает следующими свойствами: а) сохраняет коммутационные соотношения: ~Х,М] =ЛТ, Ю"'ЬМ77 — 77+ МЬП = 77'Тд777 = й, П' 71, М~)77 = 777+177) 70+М77) — 7СТ+МЬТ) 70+171) = Тгп — гпТч '77,т) = й: б) сохраняет эрмитовость операторов; пусть Ь+ = Л. Тогда 7~т~-177) 71+1+77-~-г 77-' 1ь71 7ь Г'=7; в) сохраняет собственные значения: Ь"1у = дЬТ~у, ~77 'Ь71) (77'У) = д(77'У), 71 = 11; г) сохраняет скалярное произведение и матричные элементы: (Уд!Ь!Уз) = Туг~7177+17177+/Уз) = (1д!77 177!1з) = (1д!7!1з).

12. Оператор Ь называется ограниченным, если существует такое число С, что для функции 7 ~,ог такой, что ((7)! = 1, ~"!1-С Значения параметра д, для которых оператор (Л вЂ” д1) д существует, определен всюду в Ь и ограничен, называются регулярными точками Введение оператора 1. Все остальные точки комплексной плоскости образуют спектр оператора Л. Собственные значения оператора 1 принадлежат его спектру. В этом случае оператор Б — 11, область определения которого,~ та же, что и у оператора Ть не осуществляет взаимно однозначного соответствия между,а' и Яп Если у — собственная функция Л, то из равенства (1,— =1)1 следует также равенство (1 - 11) У + у) = д и неоднозначность соответствия очевидна.

Таким образом, если 1 есть собственное значение оператора Л, то оператор А — г1 не имеет обратного. Множество собственных значений называется дискретнымг спектроьи Л. Кроме СЗ, в спекгр входят также значения 1, при которых оператор (Л вЂ” 11) ' существует, но определен не всюду в 1.Я или не ограничен. Такие точки образуют ггепрерывггыгг сггектр 1. Если оггератор 1 эрмитов, то невегцественные точки комплексной плоскости 1 являются его регулярными точками.

Оператор ~1 — 11) существует, так как 1 = х+ ггг ~В ф О) не может быть собственным значением 1,. Пусть (1- 1)~= Тогда Последнее неравенство означает ограниченность оператора (Х вЂ” 11)-г. В дальнейшем изложении, следуя установившейся в квантовой механике терминологии, мы все значения 1, принадлежащие спектру; будем называть собствеоны.пи знаненилзаг, Нетривиальные решения уравнения 1у = 1у. где значение 1 принадлежит спектру, мы будем называть собственныне функциягги оператора Л и в том случае, когда у не будет принадлежать пространству Ьз. г: г 13. Операторы, используемые в квантовой механике, обладают полными системами собственных функций. Для эрмитовых операторов с дискретным спектром в классе Ьа это означает, что любая функция т" 1х) Е Ь~ может быть представлена в виде разложения по собственным функциям уи оператора й) Г(х) = 2 аиУ 1х), 11. 12) и,=1 где коэффициенты в разложении определяются формулой аи = ~(х)У„*(х) г)х.

11.13) Так как собственные функции у1х) определены формулой11.3) с точностью до постоянного комплексного множителя, для однозначности разложения потребуем нормированности собственных функций на единицу: Ь.~! =1 11. 14) Если среди собственных значений оператора 1 есть вырожденные, то мы будем предполагать, что в систему у включены правильные собственные функции: 1у „уи) = 1га)п) — би для любых га и и. Такую систему будем называть ортонормированной.

Из равенства У( ) = й,(1 1(")у.'( )~ )у.(*) =)(Ку(( Ь.(*,))1( )д и — 1 и=! следует, что выражение ~) у„1х) у„(х) = (1(х — х) и можно рассматривать как ядро единичного оператора 1(ъфункцию Дирака). Если эрмитов интегральный оператор обладает полной системой функций дискретного спектра у„, то в силу соотношений 11.12), 11.13) его ядро может быть представлено в виде 11х,х) = ~ 1,у; 1х)у((х). и1 14. Пусть Л вЂ” оператор на 1 а с полной системой собственных функций уи. Последовательность чисел аи = 11х)у„'(х) !1х !5 Введение однозначно определяет, вследствие (1.12), функцию Х(х). Поэтому можно считать сам набор пи видом исходной функции Х (х) в пред- ставлении Х.

Пусть ЛХ вЂ” некоторый оператор на 1 ~. Тогда ЛХХ(х) =Хп„Му„(х), Му„(х) = Му (и, х) = ~ М„, у (т, х), ЛХ „= у,"„(х)ЛХу, (х) дх. Эта матрица определяет вид оператора М в дискретном Х-пред- ставлении: ЛХХ(х) = ~ оп, ', ЛХ „у (х) = ~ у, (х)~ЛХ а„, п пт ~п п ЛХХ(х) = ~ ап,у„,(х), т / Ози — / Иип цп Можно сказать, что переход от функции Х (х) (функции в х-представле- нии) к набору чисел аи (функции в Ь-представлении) есть результат действия унитарного оператора ХХ ', определенного условиями о„= О'Х'(х) = у,*,(х) Х(х)дх, Х(х) = (Хоп = ~ а„уи (х) .