Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова.djvu), страница 6

Матрицы с(а) и с(Ь), очевидно, коммутируют и могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Для них имеет место уравнение сн(а)сн(Ь) = сн(а+ Ь) (1 = 1,2,..., я). Это уравнение имеет решение вида с„(а) = е' '~. 36 Бггзви2 Таким образом, решения уравнения (2.25) имеют вид уь(г) = иь(г)е* ', (2.26) где )с — произвольный вещественный вектор, а функция иь(г)— периодическая с периодом а решетка иь(г+а) = иь(г). В случае, рассмотренном в п.

2.11, функция иь должна быть константой — единственной функцией, периодической с любым а. Утверждение о возможности представить СФ гамильтониана, удовлетворяющего соотношению (2.24), в виде (2.26) называется т еоре ной Блоха. По аналогии с оператором переноса, рассмотренным в п. 2.11, вектор К = гг)с называется квазиклгзтутьсотг. Заметим, что вектор 1с определен неоднозначно. К нему можно добавить любой вектор н такой, что на = 2ри, где п — целое число. Множество таких векторов можно представить в виде з и = ~ Ь;ззтп з=т где пз, — целые числа, а векторы Ь,=2р ' " (з~[уфй) а,[а, хаь) суть базисные векторы обратной решетки. злдлчи П доказать тождества [р х [х х р)) —.

гдр ч хр — рхр, [х х р) — х р — (хр — гй) 2. Ноказаззч что если Л = 1(а)я(р), то бра,- — ' '[(Т(х) (р)ихлр. 2рлй. 3. Найти вид гайзенбсрговского оператора л в координатном представлении для свободной частицы (сг(г) =- О) н для гармонического осциллятора (бг(х) =- Лез). 4. Найти унитарный оператор, осуцгсствляюгцигй прсобразованис Галился р, — з р, с пзем х, — з х, -Ь г,т. Глава 3 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ О. В квантовой механике движение частицы во внешнем поле с потенциалом Н(г) может быть описано уравнением Шредингера, которое в координатном представлении сводится к линейному уравнению в частных производных для функции четырех переменных >Р(г.

1): 16 — = — — Ь>р + Н(г)>р. (3.1) д1 2н> Решение уравнения (3.1) существенно упрощается, если возможно разделение переменных. Например, если потенциал Н (г) имеет вид Н(г) = Н1 (сс1) + Н2 (т2) + Нз (тз) ~ (3.2) то переменные в уравнении Шредингера можно разделить в декартовых координатах. Рассмотрим стационарное решение .Е 1 >Р(г, г) = у1 (ж>) уз (жз) уз (гз) ехр ( — 1 — г) . (3.3) я Если функции у; при 1 = 1, 2, 3 удовлетворяют уравнениям Н;у, =Е,у,;, (3.4) где — — ун+ Н (ж) у = Еу. 2т (3.5) Н,= Р' +Н;(ж,), то выражение (3.3) описывает стационарное состояние с энергией Е = Е> + Е2+ Ез. Мы будем называть (3.4) одномерны ураененнехн Шрес)ингера, а параметр разделения Е, — энергией, опуская индексы у Е„Н; и у;. Вид потенциала (3.2) не является сколько-нибудь обшим (хотя можно указать важные задачи, в которых потенциал Н(г) можно считать зависящим только от одной декартовой координаты).

С другой стороны, рассмотрение одномерного уравнения Шредингера позволяет на простых примерах изучить качественные закономерности в свойствах спектров и ВФ стационарных состояний, многие из которых сохраняют силу и в других случаях — например, если уравнение (3.1) допускает разделение переменных в криволинейных координатах (важнейший пример — задача о движении частицы в центральном поле, рассмотренная в гл. 5). 1. Начнем с рассмотрения состояний дискретного спектра урав- нения 38 7 лава 3 Пусть потенциал П(к) имеет единственный минимум, а при т, — ~ э:ж стремится к пределам Г и Гь соответственно (рис.

1). В классической механике локальное свойство потенциала — наличие минимума — достаточно для существования финитных движений. В квантовой механике характер движения зависит от глобальных свойств потенциала. Необходимым (но недостаточным) условием существования дискретного спектра является неравенство шш Г(ж) < гшп (Г, П~ ) .

Потенциалы, удовлетворяющие этим усРнс. 1 ловиям, называются потенцпазьвылт лиани (или кратко — ямами). Дискретный энергетический спектр частицы в потенциальной яме локализован в области энергий пцп (7(к) < Е < шш (Г, 1Л,) . (3,6) Если хотя бы один из пределов Г, Г~ конечен, то величину ппп (Г, Г ) принимают за начало отсчета энергии (Г (ге) = 0), а величину ]Е„] называют энергией связп и-го состояния. В противном случае за начало отсчета энергии принимают ппп Г (к). 2. Отыскание дискретного спектра сводится к отысканию решений одномерного УШ, удовлетворяющих условию нормировки (см. и. 2.0) ь а ]у (ье)] Нк = 1. (3.7) Огсюда следует, что в состояниях дискретного спектра ВФ удовлетворяет граничным условиям: при ]к] — ~ ж у (к) — г 0 и у' (т) -ч О.

Если потенциал Г (к) ограничен снизу, то и дискретный спектр ограничен снизу, Е ) ппп (7(т). Допустим противное: у (т) есть решение УШ„принадлежащее Ва при Е < ппп П (т); тогда из равенства — — уа = [Š— Г(х)]у 2 го следует, что знак у" всюду совпадает со знаком у. Пусть у ( — оо) = =- +О.

Тогда уа и у' будут всюду положительны: у (х) будет монотонно возрастающей функцией, что несовместимо с (3.7). Позже (в гл. 5) мы увидим, что требование ограниченности Г(т) снизу есть достаточное, но не необходимое условие ограниченности снизу дискретного спектра. Состояния дискретного спектра нумеруются в порядке возрастания энергии. Состоянию с наименьшей энергией — основному 39 Одномерное дннэненне сошнояншо — обычно присваивается номер О (энергия основного состояния есть Ео 1.

Все прочие состояния (принадлежащие как дискретному, так и непрерывному спектрам) называются нозбуннеденны.пн соенгонниями, Состояния дискретного спектра в одномерном случае не вырождены. Допустим противное: у (х) и 5 (х) суть линейно независимые решения, соответствующие одному значению Е„. Вычитая 5 ( — — ун + [ń— Г (х)] у) = О из у (- —,„„3" + (Е- — О' (х)) 5 ~ = О: получим — = О = — „к (у'' — з у ) Интегрируя это выражение от — сс до х, получим Итак (1пу)' — (1п 5)' = О, у = гопв1 что противоречит предположению о линейной независимости. Для состояний дискретного спектра справедлива оснцтзяннонпая теорема: ВФ у„(х), описывающая состояние ~и), имеет при конечных значениях х в точности и нулей.

Рассмотрим асимптотическое поведение решений УШ (3.5) вдали от потенциальной ямы. Если потенциал 17 (т) с ростом ~ х ~ стремится к нулю достаточно быстро, то в уравнении (3.5) можно пренебречь членом, содержашим ст (х). В этом случае УШ превращается в линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, которое решается элементарно: ВФ состояний дискретного спектра вдали от начала координат убывают по экспоненциальному закону: у (х) ехр ( — и. (х~), (3.8) а показатель экспоненты ш зависит от энергии состояния Е, ш = — (Е„).

(3.9) но не от формы потенциала. В примерах встретятся потенциалы различной степени гладкости. Из УШ следует, что У (х) и ун (х) — одинаково гладкие функции. В частности, если Г (х) имеет конечный разрыв, то в точке разрыва у (х) и у' (:г) непрерывны. Если в некоторой области пространства сг(х) -~ оо, то всюду вней и наес границе у (х) = О. 40 Ггааа 3 3. Исследуем свойства подобия для решений УШ. Рассмотрим потенциальную яму конечной глубины с пределами Гг = тг' = 0 Г (рис. 2). Ее можно описать выражением вида 0 тг(т) = -ьгог Н (3.11) (3.13) где т'(0) = 1 и 1"(з) > 0 при всех а. Ве~о личина сго называется губиной потенци- альной ямы, а а, — (характерной) гггггрггной Рис. 2 ямы (рис. 2).

Соответствующее одномер- ное УШ для н-го стационарного состояния дискретного спектра может быть записано в виде — — — — Ого1 (-") у = Л у. Лг а2 l т.л (3.10) 2га ггяг а Будем задавать координату безразмерной переменной р =:г:,ггг,. Заменив переменные в уравнении (3.10) и разделив его на сго, получим для у (гг) уравнение вида а2 — — „„у — у (р)у = — .у Величина е„= — Е„ггпу~ обозначает отногпение энергии связи иго стационарного состояния дискретного спектра к глубине ямы— относительную энергию связи. Безразмерный параметр 2габаа (3.12) мы будем называть борновскитг лггггггтгелгрпгг. Его можно рассматривать как количественную характеристику силы потенциала: при Л « 1 потенциал является слабым, а при Л » 1 — сильным.

Непосредственно из уравнения (3.11) видно, что при неизменном виде функции т (у), описывающей форму потенциала, положение энергетических уровней, отнесенных к глубине ямы, зависит только от величины борновского параметра: са = е(н, Л). Рассмотрим стационарное УШ с гамильтонианом Н (1), зависящим от параметра 1, Й(1)уа(1) = Ла(1) а(1). Дифференцируя это уравнение по 1, получим дй ду „ггЕ„ду „ „~н — — — а Л вЂ”.

дт " дт й. " ' дт Домножая это выражение слева на уа, интегрируя по ж и учитывая эрмитовость гамильтониана Л (1), тгриходим к соотношению дЕ„дй " = (и/ — /и), дт Оонииерное демнеенне 41 которое составляет утверждение теореены Хелтиггпа-Фейгьиана. Равенство (3.13) показывает, что скорость изменения собственных значений при изменении параметра пропорциональна среднему значению частной производной гамильтониана по этому параметру. Отметим, что при выводе (3.13) от оператора Н (1) требовалась только эрмитовость, поэтому результат может быть обобщен для собственных значений любых зависящих от параметра эрмитовых операторов. Уравнение (3.11) можно рассматривать как уравнение для собственных значений гамнльтониана, зависящего от борновского параметра, ,1г Н(В) = — — ~(р).