Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова.djvu), страница 4

Они называются .иатрипазги Паули. Введенные для них обозначения мы будем использовать постоянно. 26. Найти унитарные матрицы А" такие, что ( А ь ) + я ( А ь ) в 27. Вычислить Еь(1) = ехр(1вл). "г 28. Операторы 1Э такие, что ХЗ = ХЗ, называются проект!нонньлл~и. Найти проекционные операторы в пространстве Кг.

Введение 29. Доказать, что если Х имеет дискретный спектр и все т„нс вьгролгдсны, то не сугцсствуст оператора ЛХ такого, по ~Х. Лба = гХ. 30. Доказать, что осли А и В иьгсют обратныс матрицы и АВ -~- ВА =. О, то А и В имекгт четное число строк и столбцов и Яр А Яр в ..;. О. 31. Оператор Фурье огг определен соотношением .У Х (к) .— — — "ег "Х(у) Ау. %~ Является ли этот оператор эры итовым? унитарным? Найти спектр оператора Фурье. 1 лава 2 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ О. При изложении квантовой механики мы будем исходить из следующих основных положений.

А1. Каждой физической величине сопоставляется линейный эр- митов оператор 1. А2. Каждому состоянию физической системы сопоставляется нор- мированная волновая функция у. АЗ. Физическая величина Ь может принимать только собственные значения оператора Е. А4. Математическое ожидание 1 значений величины 1 в состоя- нии у определяется диагональным матричным элементом: ~= ЬАу) А5.

Матричные элементы операторов декартовых координат х,, и декартовых компонент обобщенного импульса ры вычисленные между волновыми функциями системы 1 и д, удовлетворяют урав- нениям Гамильтона классической механики — (И'~Ю = — ~У = д / дй сй ~, дх; — (УФ.~Д) = ~У вЂ” „К д — ! дН дг ' ' ~1 др, где Н вЂ” оператор, соответствующий классической функции Гамиль- тона.

Аб. Операторы р; и хь удовлетворяют коммутационным соотно- шениям ~р;,.ть) = — 1йс1я., ~р;, рь1 = О, ~т„жь1 = О, где Ь вЂ” постоянная Планка: Ь = 1,0546 10 зт эрг.с. 1. Сопоставление оператора физической величине А, имеющей классический аналоп т. е. являющейся функцией классических переменных Х(т„рь), производится заменой классических переменных на операторы,ть ры Функции предполагак>тся разложимыми в степенные ряды. Если функция 1.(х;. рь) не содержит в своем разложении членов вида жьрь, то оператор Цх;, рь) будет эрмитовым.

25 Осноеные иОлОлген2!я Например, кинетической энергии Т = (~„, рз) (2т сопоставляется эрмитов оператор з т=~ ' 'г. 2т Если в разложении В(х;, рь) содержатся члены вида харь, то замена х; — > хо р, — э р; приводит к неэрмитову оператору ь, так как произведение эрмитовых А и В есть эрмитов оператор, только если А и В коммутнруют. В этом случае величине Л сопоставляют эрмитову часть оператора ь. Так, для величины И'(х;, р,) = 2 ', р,х;, соответствуюпзий оператор будет иметь вид з И" = — 2 (р;х;+ х,р;). ( П) ~=3 Другой пример содержится в и. 5.6. Подчеркнем: из правил соответствия следует, что время в квантовой механикс есть не наблюдаемая, которой сопоставляется оператор, а параметр. 2.

Если волновая функпия уя есть собственная функния оператора В, то математическое ожидание величины Ь в этом состоянии равно собственному значению Ь = (п~ Л ~п) = 1„(п~г1) = 1„,. Аналогично доказывается, что для любого й )ь ( )ь т, е, величина В в состоянии у„с достоверностью принимает значение 1„.

Если 5 нс есть СФ Ь, то, раскладывая по полной системе СФ Ь, получаем Ху„= .у„, 5 = ~ ~„у„, я В) = ~~~ 1„а у„, (5~ В )з) = ~~~ о, пв1 (гл~ и) = ~ ~а„,( 1~, ж,п если спектр 1 дискретен. Итак, ~а ~1 ~и 26 1лапа 2 В соответствии с А4 это означает, что квадраты модулей коэффициентов ап в разложении волновой функции 3 по у„определяют вероятность наблюдения значения 1„. Если спектр 1 непрерывен, то 3 (т) = а(1) у(т, 1) а1., 1, =. Йт а*(1) у*(т,1)Ж жа(ж)у(т,х)йп= а (1) а(т) хг11г1а у" (т, 1) у(т,п) йт, Х= ~а(1)121(1 Функция )а(1) )а есть, согласно А4„плотность вероятности наблюдения значений 1 в непрерывнолз спектре. Диагональный матричный элемент (и' ~ Ь ~3) мы будем называть также средним значением величины 1 в состоянии 3. 3. Дифференцирование по оператору в Аб понимается как предельный переход: др(Ц .

Р(К ч е1) — Г(й) е — ~0 е Для операторов, определенных в и. 2.1, операции дифференцирования и интегрирования по операторам х,, и Рь имеют смысл. К любой классической величине Ь(хп Рь) можно„не изменив ес значсниЯ, добавить выражение вида Рз хь хара (2.2) При сопоставлении оператора величине Л, такие выражения могут стать и отличными от нуля. Дифференцируя (2.2) по хь, получаем — (р, хь — хьр,) — Р,1 — 1Р, = О. (2.3) ах~ Поскольку все производные оператора (2.2) по х, и рь обралцаются в нуль, то он должен быть константой: Р, хь — хар, = сопл|. Величина этой константы и определяется в Аб.

4. Найлом явный вид оцсраторов Ры р, Рз, если аргументами волновых функций являются декартовы координаты т, Начнем с цепочки равенств: Ргх~ хг' Р~ = (Рзхч эйр~) х1+ х~ (Ргх1 хор~) =. — $6 2х~. Основные полозе внич 27 Легко показать по индукции, что р; х,", — х," р; = — (й пх," Поэтому для всех функций, разложимых в степенной ряд, р, у(х) — у(х) р, = — ггз — . дх, (2.4) Подействуем оператором р; на 7'(ты хз, хз) =- 1: р, 3 = )з(хы хг, хз). Используя (2.4), получаем ргу = — багз + г1у дзч и аналоги шые соотношения для осей хз н тз. Используя коммутационные соотношения [р„р„] = о., получаем д~з д~з д.(з д~з О дх~ дхз дхз дхз дтз дх Эти соотношения выполняются, если дР 7, дГ дтз ' дхз з де дхз где Р(хы хз, тз) — гладкая функция своих аргументов. Итак, д дГ р, = — (Ь вЂ” + —. де, дх,' у = схр( — Гз~ р; = схр( — Г) ( — й,— + — ) схр( — — Г) = — зЬ— Итак, найден явный вид операторов р; для функций, аргументами которых являются декартовы координаты х;: д р; = — з6 —.

дх, (2.5) Компоненты оператора импульса образуют вектор импульса р = — зйT. Произвольную функцию Г можно исключить с помощью унитарного преобразования 28 Гшап2 — гй — = р,у, ду дх, у(х;) = А схр ( — р,т;) . Найдем нормировочный коэффициент А. Известные выражения для прямого и обратного преобразований Фурье имеют вид г"(й) = а(х) е '"*с!х, д(х) = — г"(й) е'мсй.

2р ~ Сравнивая эти выражения с (1.15), (1.16), получаем А= -Лрл Из формулы (1.15) следует, что собственные функции оператора им- пульса образуют полную (для функций из 1.з ) систему ~э)= ),я г(л)ь. (Р) =, ~~э) р( — ' Эти формулы устанавливают связь между х- и р-представлениями. (2.6) 5. Произвольную волновую функцию у(х) из Ь~, зависящую от координаты, можно представить в визе у(т) = с1(х — х) у(х) Пх и рассматривать это выражение как разложение у(т) по СФ оператора координаты х с1(х — х) хд(х — х). Следовательно, согласно и. 2.2, величина ~у(х) ~з есть плотность вероятности координаты в состоянии у(х).

Отсюда ясен и смысл нормирования волновой функции: '8у8 = (у(х)! дх = 1. Система, описываемая такой функцией у(х), с достоверностью находится в какой-то области пространства. Оператор компоненты импульса р, в х-представлении имеет вид д р,, = — гй —. дх Собственные функции компоненты импульса определяются из урав- нения Основные пОлаэхггн ггя б, Рассмотрим р-представление.

Явный вид операторов р; и аь может быть, разумеется, найден из коммутационных соотношений, как и в п. 2.4. Но мы воспользуемся общими соотношениями, полученными в и. 1.1б. Ядро оператора х в р-представлении Рассмотрилг действие х на функцию а(р) из 1.2; ( гв~г мг~= — 'г) г(-'— ") ( — ° г( — ")) мг,г = г, (( г' грай да г'йхс'г . да(р) = — ' ~ ~ схр ( — — г — схр гл — '' г г1х г1ь =- ггг 2р ~ ~ (, Л дь (, Л др Оператор импульса в р-представлении задается ядром: игр,ц=о"яг= — '( р(- — "')(-ж — ") р( — х*)г*= — схр ( — — ') Ь схр ( — ) г)х = Ь с1(р — Ь), 2рл ~ а 6 ра(р) = ра(р).

В заключение отметим, что операторы т и р эрмитовы на функциях 1(ж) из 1,2, но не эрмитовы на своих собственных функциях. В самом деле, пусть р а(р) = роа(р) и а2 = т2, р = р~. Тогда (а~рт~а) — (а~хр ~а) = — ггг(а)а), Ро1(а) г) ) — (а~т~а)1= — га(а~ ). (2. 7) Левая часть последнего выражения равна нулю, правая бесконечна. Этот результат является следствием одних только коммутационных соотношений.

7. Уравнение движения для матричных элементов А5 допускает различные интерпретации. В выражении —,",ЧАВ мы ма>кем считать зависимость от времени отнесенной полностью к волновым функциям или полностью к операторам. а) Рассмотрим описание с помощью операторов, зависящих от времени. 30 Глово 2 Из А5 следует: М вЂ”.