Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова.djvu), страница 8

Зависимость энергии связи е„, от В для прямоугольной ямы показана на рис. 8. Непосредственно из графика на рис. 7 видно, что состояния с чегнымн и нечетными ВФ чередуются — как это и должно быть в соответствии с осцилляциоииой теоремой (п. 33). При В» 1 число корней каждого из уравнений (3.37) и (3.38) приблизительно равно числу ветвей тангенса в интервале изменения его аргумента (О,. хУВ): „Ф; =,. 1' = ъ'В/р.

Таким образом, полное число,.4' связанных состояний в прямоугольной яме есть „и=-' в. Р Эта зависимость совпадает с найденной в п. 3.7 с использованием модели гармонического осциллятора. 8. Стационарные состояния непрерывного спектра описываются функциями, не имеющими нормы в 1.з. Поэтому их нельзя интерпретировать как физически реализуемые состояния частицы (вероятность найти частицу в любой конечной области пространства Елина 3 лг — — = Еу 2т своим общим решением имеет у (т.) = Ае'~* + Ве '~', где введено обозначение э/2тЕ Ь, (3.39) для волновало чггсла, В условиях нормировки (см. п. 1.16) у (п, гв)у (и., т) г1ж = г1(п — п) можно под кэ и п понимать как импульс р, так и энергию Е.

В первом случае коэффициенты А и В должны удовлетворять условию (А! + (В) Во втором случае (нормировка на г1-функцию от энергии) коэффициенты должны удовлетворять условию ~А~ + !В~ есть нуль). Однако рассмотрение асимптотического вида ВФ таких состояний позволяет решить одномерную задачу рассеяния — т, е.

ответить на вопрос: с какой вероятностью испущенная источником частица, имеющая энергию, близкую к Е, будет зарегистрирована детектором, если между источником и детектором есть область пространства, в которой потенциал сг (ж) отличен от нуля. Эту вероятность характеризуют коэффициентом прохождения Р(Е). В классической механике коэффициент прохождения — ступенчатая функция: Р(Е) =- О, если Е < пэах сГ(ге) и Р(Е) =- 1, если Е > шах Г(ж). В квантовой механике Р(Е) меняется непрерывно от Р(Е) = О при Š— э О до Р(Е) = 1 при Š— э ос. Это отличие носит сразу два названия: при Е < гпах г,г(ж) говорят о подбарьерпом прохождепии квиэговой часг эщьэ или о ее тунпелироаапии через барьер, а при Е > гпахС(т) — о падбарьернон отражетги. Если пределы 11 н Гь не равны, то потенциал Г(ж) называется гаотеггг1иальпой сгггенкок при этом принято выбирать за начало отсчета энергии Г = О.

Если гпахГ(т) > шах(Г~., Г.), то потенциал сг" (ж) называется потеггиггальныэг барьером. Показанный на рис. 1 потенциал является и ямой, и стенкой, и барьером. В задаче рассеяния движение частицы при ~т~ — э сс будет предполагаться асимптотическим свободным. Поэтому начнем с расслютрения свободного движения.

Одномерное УШ в координатном представлении Одно верное денженне Заметим, что размерность ВФ непрерывного спектра меняется в зависимости от способа нормировки. 9. Рассмотрим стационарные состояния непрерывного спектра частицы в потенциальном поле — например, показанном на рис. 1. Решением стационарной задачи рассеяния является ВФ с асимптотиками вида ув (т) - ец' *+ Ае нь ' (т, -+ — ос)., (3.40) ун (х) Ве'~+ (х — + ос), (3,41) где Аналогично, коэффиниеннюм отрилеения Л (Е) называется отно- шение плотностей потоков вероятностей отраженной и падающей компонент, Л(Е) = (А! (3.43) Можно показать, что эти коэффициенты удовлетворяют соотношению Р(Е) + Л(Е) = 1, если только гамильтониан Н эрмитов — для чего потенциал 17(х) должен быть действительной функцией. Рассмотрим одномерное рассеяния на сьпотенциале.

Уравнение Шредингера имеет вид — — у — де1(х) у = Еу. д" и 2т Его решение совпадает с асимптотиками (3.40), (3.41) при всех т, ф 0: ув — — е' *+ Ае 'ь (т, < 0), ун — — Ве'~* (х > 0) . Из условия непрерывности ВФ в точке т, = 0 имеем уравнение 1+А=В. а из условия заданной величины скачка производной (3.1 7) получаем 11к(АФ В вЂ” 1) = ~В.

Отсюда А= В= кк гк — ю ~1с — ю ' 4 П.В. Елютии, В,Д. Кривченков тд я2 й~ = ьте ки Ь О компонентах этих асимптотик принято говорить, что егь ' соответствуст падающей частице, Ас ш-* — отраженной, а Всеь е— прошедшей через потенциал. Коэффш1нептои лрохождення Р (Е) называется отношение плотностей потоков вероятностей прошедшей и падающей компонент: Р(Е) = '- ~В~'. (3.42) 50 Гшвп 3 Коэффициент прохождения .Р(Е) не зависит от знака д. Последнюю формулу можно записать также в виде Р(Е) = (3.44) где Ео — энергия связи частицы в с)-яме емкости 9. Область применимости полученного результата будет исследована ниже. 10. Рассмотрим одномерное рассеяния на потенциале прямоугольного барьера Ю(х) = 0 при т, < 0 и х > а и (>'(х) = = О!о при 0 < х < а (рис. 9). При х < 0 и х > о ВФ совпадает с асимптотиками Уà — е!Ь*+ Ае Ь (, < 0) Рис.

9 ун — — Се' ' (х > о). В области„где потенциал отличен от нуля, УШ имеет решение уаг = В> е'ва + Взе 'в*! где величина ч=-Л! (в — в! 3 6 может быть и мнимой (при Е < Го). Из условий непрерывности у и у' точке х =- О следует система уравнений для А, В> и Вз. 1+ А = В> + Вз, 1(1 — А) = — д(В> — Вз). Из условий непрерывности в точке х = а аналогично получаем уравнения, связывающие В>, Вз и С: В е>ва + В е — !ва Се!Яа ~В е!ва В е — >Яа кСегаа Решая эти уравнения относительно С, находим коэффициент прохождения ла2 2 Р Р(Е) = (Ь2 92) выа ча а 4Ьаяа Это выражение мом<ет быть записано гакже в виде Р(в! = (1-! — (' ! ] ), (3!5) где  — борновский параметр. Зависимость Р(Е) для прямоугольного барьера показана на рис. 10.

Рвс. 10 11лпвп 3 конечность ц(х), имеем С'(х'+ О, х') — С'(т' — О,:г,') = 1, С(х'+ О,х') — С(х' — О,х') = О. Итак, функция Грина в окрестности точки х = х' непрерывна, а ее производная скачком меняется на единицу. Пусть С(х,.') = ~(х)8(х') (х <''), С(х х') = 8 ( У(х') (х > х'), где (' и д — решения (3.48), удовлетворяющие однородным условиям. Функция С(х, х') будет функцией Грина, если Жд+ 4я~ (3.49) дх лх Найдем ФГ для УШ, описывающего свободное движение части- цы. Положим гак у — гйк где А — константа.

Тогда С = Аезь(' ) (х < х'), С =- Ае '~('* ) (х ) х') . Требуя выполнения (3.49), находим А — — 1/(2к). Итак, ФГ для одномерного УШ, описывающего свободное движение с волновым числом Й, есть С(х,х') = — — 'с'"" 2я (8.50) 12. Рассмотрим неоднородное уравнение Ьу — 1у = 1„> (х) . С помощью ФГ его решение может быть записано в виде , (.) = „(.),. ( О. (., ) Ю (.,З Г., где уо (х) и Со (х, х') — общее решение и ФГ однородного уравнения (3.46). Выше мы элементарными средствами нашли ФГ для свободной частицы. Представляя УШ для частицы в потенциальном поле (3.48) в виде неоднородного уравнения с правой частью Я (х) = = и (х) у (х), мы можем записать его общее решение в виде ~(*)=~.(Е+(~ ЬлЗ ЬЗ~ЬЗ ~*' Пуа Интегральное уравнение (3.51) позволяет получить прибли>кенные решения задачи рассеяния. Используя (3.50), для одномерного УШ Одно нерное движение имеем у(х) =ус(х) ~ е 11(х)у(х)глх 2Ь вЂ” — е' 'и(х) у (х) г1х.

2Ь 1 а при х — > — ос Асимптотики найденного решения удовлетворяют граничным усло- виям задачи рассеяния (3.40), (3.41). Коэффициент отражения, ж 2 Л(Е) = ™ е ' 'У(х)г!х 2Ейл (3. 54) не зависит от знака потенциала: для ямы и барьера одинаковой формы коэффициенты отражения равны. Это возможно только для надбарьерного отражения частиц высокой энергии, когда Л « 1. Применение (3.54) к случаю с~-потенциала дает 2Е62 Е где Ев — энергия связи в й-яме.

Это совпадает с первым членом разложения точного выражения Л = Ео (Е + Ес) по степеням Ед(Е. -1 Для потенциалов Г (х), непрерывных на оси х со всеми производными, формула(3.54) дает при Š— ~ ос экспоненциальный закон убывания коэффициента отражения: обычно Л (Е) сс ехр ( — Иа), где 1 — число порядка единицы. Коэффициент прохождения, Будем искать решение методом итераций. В нулевом прибли>кенни возьмем у (х) = ув (т) = ехр(Их).

Подставляя это выражение в правую часть (3.51), найдем вид функции первого приближения уП) (х). При т. — > ж 54 7лгггегг 3 вычисленный из (3.52), оо 2 ХЭ(Г) = 1+ Бг(х)г(х оказывается болыпе единицы: область, в которой потенциал отличен от нуля, становится источником частиц. Это — следствие приближенности найденного решения; оно применимо при 77 — 1 « 1. 13. Особый случай представляют потенциалы, ограниченные по величине, но не стремящиеся к определенным пределам при х э атос. Такие потенциалы применякэтся для описания поведения электронов в конденсированном веществе. Простейшим примером являются модели, в которых потенциал (г'(х) является периодическим.

Рассмотрим цодегь К)гггггиеа Пенгг1г — движение частицы в поле с потенциалом 1г' (х) = г7 ~ с1(х+и.а), и= — оо (3.55) Будем считать г7 ) О. В интервале О < х, < а, УШ описывает свободное движение, и ВФ имеет вид у = Ае'Ка + де (3. 56 ) где К = ъ' 2гпЕгг 5 есть волновое число. На основании теоремы Блоха (п. 2.11) в интервале а < х < 2а имеем у =е = Егяа ~багги(а — а) Е ВЕ-гК(а-а)) (3 57) где гс — квазиимпульс, деленный на 6. Сшивая выраягения (3.56) и (3.57) в точке х = а, из непрерывности у имеем ( ~+В) гьа 1 гКа+ В гиа а из условия на скачок производной (3.17)— ьК ((1 — д)егеа — 1егК'+де'-гКа~ = ~Е (Аегиа+Ве-'Ка). гга Эта система двух однородных линейных уравнений для коэффициентов А и В имеет нетривиальные решения, если се детерминант обращается в нуль.

Отскэда получается уравнение совка = 1,) + совКа, (3.58) Ка где Я = гаг7ай, а — безразмерный параметр. Правую часть уравнения (3.58) обозначим как Г(Ка); график этой функции изображен Оанаиерное дааьсенве на рис. 11. При любом значении й это уравнение имеет бесконечно много корней К„(к), которым соответствуют энергии Е„(й) = = азиз/(2ьв).