Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова.djvu)

П. В. ЕЛЮТИН, В. Д. 1~РИВЧЕНКОВ Под редона не од анодемано, Л. О. Боголэобоеа Издание второе, переработанное з УНИ довузовското образования МГУ 2000 ~и ! е МОСКВА Щ ЕИЗМАтЛит 2000 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА С ЗАДАЧАМИ УДК 530 145 ББК 530.1 Е59 ЕЛЛОТИН П. В., КРИВЧЕПКОВ В. Д. Квантовая механика 1с задачами),~ Под ред. Н. Н, Боголюбова; изд. 2-е, перераб. — Мз ФИЗМАТЛИТ; УНЦ довузовского образования МГУ, 2000. 304 с.

1БВьЛ 5-9221-0077-7. Изложены физические основы и математический аппарат нерелятявистской квантовой механики. Большое внимание уделено методам вычгплений, в особенности приближенным. Кроме большого числа приморов в тексте, в кнгггу включено свьппе 200 задач, предназначенных для самостоятельного Лючевая. Для студентов физических факультетов университетов. Ип.

47. Библиогр. 19 яазв. 1ЯВ51 5-9221-0077-7 © ФИЗМАТЛИТ, 2000 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Предлагаемая книга является учебным пособием для студентов физических факультетов высших учебных заведений. В ней излагаются основы физических представлений и математического аппарата нерелятивистской квантовой механики. Особенностью этой книги и ее безусловным достоинством является краткость, достигнутая авторами не за счет упрощений, а благодаря лаконичности изложения, которая позволила осветить весь круг вопросов университетской программы в сравнительно небольшом обьеме. Такой характер изложения, естественно, требует от читателя определенных усилий и сосредоточенности.

Книга является не самоучителем, не энциклопедией, а учебником, рассчитанным на то, что приступивший к его изучению уже знаком с рядом физических курсов, в частности, с курсом атомной физики, содержащим большой фактический материал. По той же причине авторы не затрагивают вопросов, относящихся собственно к специальным курсам. Достоинством книги является также логичный н последовательный характер изложения на основе сформулированных в явном виде положений и правил. Физически строгое изложение использует во всех случаях только математический аппарат, известный студентам.

Большое внимание в книге уделяется методам вычислений, в частности приближенным методам (теории возмущений, вариационному методу; методу ВКБ), не только схемам их использования, но и обсуждению условий применимости. Важным преимуществом данной книги является наличие в ней, кроме большого числа примеров в тексте, свыше двухсот задач, которые представляют значительный методический интерес при условии самостоятельного решения их читателями. Степень трудности задач соответствует возможностям студентов. Оригинальный и умелый методический подход авторов к широкому круту вопросов делает эту книгу, безусловно, весьма полезной для изучения основ квантовой механики.

4 июля 1975 г. Н.П Боголюбов Гл ива 1 ввкдкник О. Одной из первых задач квантовой теории было объяснение того экспериментального факта, что наблюдаемые разности энергий атомов принимают дискретное множество значений. Математический аппарат, пригодный для получения дискретных величин как функций параметров (таких, как заряд и масса элементарных частиц), можно строить различным образом. 1. Можно потребовать„чтобы наблюдаемы были только такие значения энергий, при которых некоторый функционал от параметров и наблюдаемых принимает значения из данного дискретного набора.

2. Можно потребовать, чтобы наблюдаемые определялись корнямн некоторого уравнения, коэффициенты которого зависят от параметров. 3. Можно потребовать, чтобы наблюдаемые были собственными значениями некоторого дифференциального оператора, коэффициенты которого зависят от параметров. Фактически в квантовой теории были использованы все три подхода. Первый лег в основу старой квантовой теории Бора (19! 3 г.). Второй был использован Гайзенбергом (1925 г.) при построении матричной механики. Третий был применен Шредингером (1926 г.) для создания волновой механики. Методы Гайзенберга и Шредингера лежат в основе современной квантовой механики, аппарат которой основан на использовании линейных операторов в гнльбертовом пространстве *' . 1.

Определение 1. Пусть,ст и Я линейные множества. Оператор Е, преобразующий элементы множества ы' в элементы множества Я, называется.тнейньт, если для любых элементов 1 и д из л' и комплексных чисел а и Ь справедливо равенство 1. (а! + Ьд) = аА + ЬБд. Множество м' называется областью определения оператора. В дальнейшем мы чаще всего будем рассматривать различные множества функций действительной переменной. Поэтому элементы множеств дзг и ео будем называть функциями. ' Здссь и давос звсздочка в тскстс отсылает читатсля к примечаниям в коннс книги.

Определение 2. Произведение операторов Х,ЛХ обозначает оператор, действие которого на функцию у заключается в последовательном действии оператора ЛХ на у, а затем оператора Х на ) =- ЛХу. В общем случае в произведении операторов существен их порядок: Х,ЛХу Ф ЛХХу, т. е.

умножение операторов некоммутагивно. Определение 3. Оператор [А,В] = А — ВА называется когг.иутатоХголг операторов А и В. Если произведение операторов не зависит от их порядка ([А., В) = 0), то операторы называются коммутирующими. Определение 4. Оператор 1 называется едггггггчггьг.гг, если для любой функции у 1у = у. Определение 5. Оператор ЛХ г называетсяобХгггтньтьг оператору ЛХ, если (ЛХЛХ ')у = (ЛХ ЛХ)у = у.

Можно показать, что если ЛХ = 1Лг, то ЛХ = Лг Х 2. Рассмотрим класс С всех непрерывных бесконечно дифференцируемых функций действительного переменного х Е ( — ж,+ос). Линейные операторы можно задавать, непосредственно указывая правило соответствия, например: у (х) =ху, сгу(х) = ~г"гхг, Ру(х) =у( — х). (1.1) Линейность этих операторов очевидна. Многие операторы можно представить в интегральной форме: Х у = 1, (х, х) у (х) г(х. Функция 1 (х, х) называется лдролг интегрального оператора. Ядро оператора Лг произведения интегральных операторов ЛХХ, если оно существует; есть ~:ю Лг (х, х) = ЛХ (т,, у) Х.

(у, х) ду. Введение В дальнейшем мы будем опускать обозначения пределов интегрирования, если интегрирование ведется по всей оси. 3. Пусть у (х) непрерывная функция. Ядро единичного оператора, записанного в интегральной форме, называется гьфункцией Дирака *: 1у(х) = с1(х — х) у (х) г1х = у(т). С помощью съфункции можно представить в интегральной форме многие линейные операторы. Например, ядро фх, х) оператора д, определенного первой из формул (1.1), мохгно представить как хо(х — х). 4. Если независима» переменная принимает счетное множество значений, то в качестве аргумента функции можно рассматривать номера этих значений. Обозначим у( ) =у(п) =у„ Аналогом интегральной формы операторов для таких функций будет матричная форма: ~'ишуп 3 т Е где матрица Л „играет роль ядра.

Набор чисел у„рассматривается как матрица с одним столбцом. Числа у„можно рассматривать как компоненты вектора в и-мерном комплексном евклидовом пространстве Е„. Набор у„мы будем называть вектором. Компоненты матрицы единичного оператора 1 определяются символом Кронекера 4ы Матрица оператора Л1 произведения операторов — матриц Х и Аг — есть 5.

Определение 6. Скиэярнььи произвег)еники функций г'(х) и я(х) называется число (г,д) = — у' (х)фх) г(х (1.2) (звездочка означает комплексное сопряжение). Очевидно, скалярное произведение конечно не для любых функций из С . В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением класса Ья( — оэ. +ос) функций, интегрируемых с квадратом на действительной прямой '. Величина ~~~~~ = ЛХ~ (1.3) называется портной функции. Если (г", я) = О, то говорят, что функции г и д ортогональны. Определенное таким образом скалярное Гл 7 (указ) = ((з Ф" !у))'. то оператор Ьа называется соаряжеилы и оператору Т.

Отметим следуюшие свойства сопряженных операторов: ЫТ~з) = ((зФ'~у))' = (Ы(Т')'11))'" = (у~Т "~з), (Т~)! Х (у(аЬ(з) = (а(з(Ь !у)) = а (з)Ь !у), (аЬ) =а Ь (1.5) произведение обладает свойствами (У+ У':я) = У Ы + (У':д): (~:й+ ) =(~,й)+УЖ ( (, ад) = а (~, д), (а (, ~) = а ((, ~), где а — любое комплексное число. Множество функций Е~, на котором определены скалярное про- изведение (1.2) и норма (1.3), является гильбертовым пространством. 6.

Скалярное произведение для векторов у„пространства Е„ определим соотношением (у з) =-,~ у„з„=- (у!') Можно рассматривать это выражение как матричное произведение вектор-строки (у ~ с компонентами у„* на вектор-столбец ~ з ) с компо- нентами з „. При этом входяшие в скалярное произведение векторы принадлежат разным пространствам; Еь (строки) и Е'„(столбцы). Очевидно, что соответствие между векторами этих пространств вза- имно однозначно. Такие же обозначения можно ввести и в пространстве 1 з.

Функ- цию у(х) можно рассматривать как вектор !у), которому соответ- ствует вектор из сопряженного пространства (у, = у*(х). Произведение фф есть, по определению, число. Произведение ! Г) (д~ понимается как оператор, который вектору !у) ставит в соот- ветствие вектор ЮМЮ = (Му)) й Из соотношений (1.4) следует линейность такого оператора.

Чис- ло (Г!Х ф называется матричным элеиентон оператора Ь между функциями г и д. 7. О п р е д е л е и и е 7. Если для любых функций у и 5 выполня- ется соотношение Вттедение Для операторов-матриц в пространстве Еп имеем ЫЬ) =,~,у Х т зп, Й Ф ' Ы) * = ,'> , 'з Х ' *чу* тп,п Меняя местами индексы суммирования, находим соотношение между матрицами сопряженных операторов: ~ у,*„л „,. =~~ у' (Е„- )*,„, ппп ппп Хтп Хтптп' Аналогичное соотношение выполняется и для ядер сопряженных интегральных операторов в Е ( — со, +ос): Х~ (хтх) = В* (х,х) .

Рассмотрим оператор, сопряженный произведению операторов ЛХ =- = Гт1: (ХМВ = (МйХ'~й*т (ЛХА Ы = ((Яа~~ ~Х))' = ЬФ е'~Х))*, и+ = лг'Х+. 8. Определение 8. Если оператор Х совпадает со своим сопряженным оператором Х, ', то он называется эриитовььи.