Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова.djvu), страница 11

Таким образом, четность состояния частицы Р = (-1)' (4.29) совпадает с четностью значения ее орбитально~ о момента. 9. Некоторые частицы, кроме орбитального момента, обладают собственным моментом — спшювыи .ипиеапои или ствол в, не связанным с движением в пространстве. Коммутационные соотношения, выведенные из рассмотрения бесконечно малых поворотов системы координат; справедливы и для векторного оператора спина: (а*,,] = уьзь (4.30) Сохраняются для спина и все формулы, полученные в пп. 4.4, 4.5: для их вывода использовались только коммутационные соотношения.

Спектр проекций спина есть последовательность целых или полуцелых чисел, отличаклцихся на единицу. Собственные значения квадрата спина суть »»1ОИННН7 При заданном я компонента я, может принимать 2в + 1 значений от — в до -~-а. ВФ частипы со спином зависит не только от непрерывных переменных г (или р), но и от дискретной спиновой переменной в, указывающей значение проекции спина на выбранную ось .. ВФ частицы со спином ч»(г, в) можно разложить по СФ с заданной величиной проекции спина: »р(г, в) =- ~~» у.(г)с(в).

Спиновые ВФ с(в;) ортогональны при в; у'= вы Функции у,(г)с(в) называют компонентами ВФ частицы со спином, функцию у,(г) на- зывают орбитальной ВФ или просто орбиталью. ВФ частицы нор- мирована условисм )ия 0 1 о! 0 а У 2 1 1 0 з 0 — 1 (4.31) О з(1 О! (4. 32) Матрицы в; = 2а; называют»натригйьз»и Лоузи. Их свойства рассма- тривались в задачах к гл.

1. В частности, в» =.», в;вя =. — вяво (4.33) Пусть сферически-симметричные ВФ частицы у» — — у(г, +1»»2) и уя — — у(г, — 1»»2) различаются лишь значениями проекций спина. Значения вероятностей проекций спина определяются квадратами норм этих функций ()у»з~~з. Очевидно, ИУ1!» + ИУ2~~ Так как собственными функциями а, являются двухкомпонентные величины 1 с1 —— 0 0 ся —— 1 10. Коммутационные соотношения (4.30) позволяют определить явный вид операторов спина — -матриц, действующих в пространстве СФ оператора проекции спина.

Многие элементарные частицы (в том числе электроны и нуклоны) обладают спином 1~2. Проекция в может принимать лишь значения -».1!2 и — 1»»2 (в единицах 6). Матрицы операторов в„ая, а, в пространстве собственных функций а, в, имеют вид 70 7ловп4 (4.35) Из (4.34), (4.35) имеем Г~е "-' ве"")г = в, Г~ = е"". Используя последнее равенство и формулу (4.36), получаем / Уг а,з Уг =е ~уз Уз Оператор поворота г ~() ) можно найти и в явном виде, используя то ВФ частицы со олином И2 можно представить в виде Уз 'р = У1с1 + Узса = ~ ~У2 В дальнейшем мы не будем рассматривать зависимость Ф от коорди- нат и заменим у1 и уз числами.

Рассмотрим преобразование компонент ВФ частицы при переходе к повернутой системе координат. Пусть Ф есть ВФ системы в некото- рой декартовой системе Е. Найдем вероятности значений проекции спина на некоторое направление в пространстве, которое примем за ось з' в системе Е'. Мы имеем два различных подхода к решению этой задачи. Во- первых, можно предположить, что компоненты спиновой функции р не меняются при переходе от Е к Е', а оператор в меняется как вектор. В этом случае для того, чтобы определить вероятности значений проекции спина на ось з' в системе Г, надо найти нормированные СФ оператора ~„и разложить Ф по этим СФ. Квадраты модулей коэффициентов в разложении и дадут искомые вероятности. Найдем унитарный оператор (7+(5 ) для поворота на угол 5 относительно оси в.

В принятом представлении имеем ля=в,сов)+вявш) =е ' -'в с'', в„= — в, в)п 5 + вя сов 5 = е ' ' ввез ', (4.34) — — зг" $Х1 в,=в,=е 'в,е Рассматривая бесконечно малый поворот и учитывая коммутацион- ные соотношения (430), найдем, что )' = в,. Можно перейти к другому представлению. Потребуем, чтобы при переходе от Е к Е' вид операторов в, оставался неизменным, а ком- поненты спиновой функции изменялись. Переход к этому представ- лению есть унитарное преобразование г" "'в Г = в, / =Ъ~~ (4.

36) Уз ~уз Момент 71 явный вид оператора а, и свойство матриц Паули (4.33); е" 72 О 1"-. ()) = '„ ч 3 1 а1п — е 2 соз ч е 'к' (7', с1, У) =- (4.37) соз — . е 2 У заш —.е 2 Таким образом, при произвольном повороте системы координат т ° У г з ., ч з УЗ вЂ”вЂ” УЗ соь — е з +1Уззш — е 2 2 .ч уз —— зуза1п — е з +узсов — е 2 2 Повороту системы координат в трехмерном пространстве соответствует линейное преобразование в пространстве Е2 двухкомпонентных волновых функций.

При преобразовании (4.37) остается инвариантной величина 1), у) =. уз)2 — уя) О (4.38) Линейные преобразоваюи, оставляющие инвариантной такую билинейную форму, называются бинарными. Двухкомпонентная величина, для которой поворот системы координат есть бинарное преобразование называется спинором первого ранга или просто спинором. ' Обозначение у лля угла не смешивать с обозначением валновоя функции. 11. Произвольная система координат Е' может быть получена из Е последовательными поворотами на угол 3 вокруг оси я, на угол ст вокруг нового положения оси т и на угол у вокруг нового положения осн а (рис. 12). Параметры 1, сь у называются уаьвии Эйлери.

Поскольку вид операторов а, в вы- ч бранном представлении одинаков во всех системах координат, матрицу преобразования можно найти простым последовательным перемножением матриц: а л в ~'"'О Ьу) = ~':-' 1уФ, (я)1г+-(7'). Х Явный вид матрицы Ъ",' (с1) легко найти: аз —,+,, соа(стг'2) з аш(су'2) Рнс.

12 1 вш(с~/2) соз(су'2) Результирующая матрица имеет вид 72 71лпеп 4 12. Рассмотрим спиновую ВФ системы двух частиц со спином 1!2. Обшие СФ операторов, а2 и, з.- (индекс 1 = 1, 2 нумерует частицы) имеют вид 1~+) = О 1 Введенные обозначения для СФ оператора проекции а, частицы со спином 1!2 мы будем использовать в дальнейшем.

Для описания системы двух частиц удобно использовать СФ оператора полного спина Б, определенного соотношением В = 1ь+2в Найдем нормированные обшие СФ операторов Я2 и Я.. Мы будем обозначать их как ~ Я, а). Очевидно, такие функции будут линейными комбинациями произведений СФ операторов,, аз и 1а,: 1 1 1 0 !++) = ° ~+-) = О О 2 О (4.39) О 1 0 0 1-+) = 1 2 Функции 14.39) ортонормированы. В состоянии ~++) Я, =- 1. Это состояние описывается СФ оператора Я = 1а + 21взв + за . Докажем это; ~ ~++) ~++)+2(1ак 'язк+1ая 2ая+1а, за,,) ~++).

2 Во втором слагаемом в правой части отличный от нуля вклад дает лишь оператор 1а.. 2я,, что легко проверить непосредственным вычислением. И гак, Я ~++) = 2~++) = 1(1+ 1)(++). Состояние ~++) есть состояние с Я = 1 и в =- 1. 1Выше оно обозначалось как ~1, 1) .) Введем оператор 9 — = 1а — +2а — ° г- тя Поскольку ~Я, Я2~ = О, состояния ~Я ) ~1, 1) также будут описываться СФ оператора Я2: «. Р,1) = ~. ~++) = Л~+-) + Л~-+); в этом состоянии Я-. = 0; из условия нормировки !1 0): — — ~ 172 МОггснггг 73 Дюгее, Я ~1гО) = ( — — ) + ~ — — ) = а~1,— 1). Нормнруя, получаем ~1,-1) =!- — ).

Сугцествует еше одна линейно независимая от ~1, 1), )1, 0) н )1, — 1) комбинация функций (4.39). Ее можно найти из условий ортонормированностн: 1=1+в. Поскольку операторы 1 и в действуют в разных пространствах, они коммутируют. Поэтому выполняются соотношения ~~,,7у1 = геэзг7ы ~~„1 ~ = О, ~7г,а 1 = О. (441) Из (4.41) следует, что существуют обшие СФ операторов 7зз, 7'„(2. Найдем спектр проекций полного момента для частицы со олином а = 17г2. Рассмотрим состояние с максимальной проекцией полного момента ул ~11+) г.У = (1+ 1г2)У, 7' = 1+ 1гг2. (4.42) Введем оператор 0 0 +а ' + 1 0 (4.43) Учитывая (4.14), получаем = зг 21 ~1,1 — 1, +) + ~1, 1, — ).

уг = (4.40) гг2 Легко убедиться в выполнении равенств Я у4 = О, Ь у4 = О. Следовательно, функция уг~О, .0) описывает состояние системы с полным спипом, равным нулю. Состояние системы двух частиц со олином 1!2 и с полным спином Я = 0 называется сггнатетны.гг, а трехкратно вырожденное по значению проекции Яг состояние с Я = 1 называется ггг7гггшетггыгнг.

Из (4.38) следует, что ВФ состояния с Я = 0 остается инвариантной при поворотах осей, т. е. является скаляром. 13. Полный момент частицы 3с складывается нз ее орбитального и спинового моментов: Глава 4 Значение проекции полного момента в этом состоянии 1-. = () — Ц + 1112 = 1 — 1/2. Итак, оператор) уменьшает на единицу значения проекции полного момента.