Fluegge-1 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике), страница 7

д Общие пр»нциим Задача !5. Пространство импульсов. Периодические и непериодические волновые функции Решение. Обозначим через Е длину периодичности в каждом из направлений х, у, г конфигурационного пространства. Тогда ряд Фурье ф(г, () =Л 'ь ~с»(1) е~(» ™), в =- — й', (15 1) й ° 2т будет содержать лишь такие члены, для которых компоненты каждого из векторов й определяются соотношением й,= — и,, и! — — О, ~1, ~2, ..., (15,2) Это означает, что в й-пространстве при больших значениях Е в элементе объема д»й содержится (»й ( — ')' (15.

3) различных векторов й. Вопрос о нормировке ряда (15.1) можно решить с помощью подходящего выбора коэффициентов с». Запишем интеграл от квадрата модуля волновой функции по объему куба периодич. ности: )ф)'г(»х=Е»~Ч''~."с с ерш- )г ~е'в'-*> г(»х шз) »' Интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль, если й'чьй, и равен Ь», если А' =й, поэтому 1 ! ф ~» Дах = Е 1 с»!'. (15,4) пч » Пусть теперь Рс есть вероятность обнаружить частицу внутри куба периодичности 1.», тогда )с»)'Рс будет вероятностью обнаружить частицу в кубе периодичности с импульсом Ь, а ~с»!'— вероятностью обнаружить у частицы импульс йй при условии, что она находится внутри куба периодичности Л». Переходя к пределу бесконечно больших Т., можно заменить ряд Фурье (15.!) интегралом Фурье по й-пространству. Согласно (15.2) и (15.3), это можно сделать с помощью правила: (15,5) Рассмотрите вопрос о вероятностной интерпретации волновой функции в импульсном пространстве.

Начните с периодической волновой функции ф(г) в конфигурационном пространстве и исследуйте предельный переход к кубу периодичности с бесконечно большим ребром. 15. П рост рансямо иллрлзсоа 39 ~ ег (а'-а! г г(зх (2п)зй (й' й) (15.!0) Поэтому для интеграла (15.9) получаем ~ ~ ф )з г(зх.= ~ ~ г (и, !) !з (зь, (15.11) что, кстати говоря, есть просто преобразование суммы (15.4) в интеграл с помощью правила (15.5) и с учетом соотношения (15.7), Полученный результат означает, что вероятность обнаружить у частицы импульс в пределах элемента г(зй безотносительно к ее местоположению в конфигурационном пространстве равна с(Р с(зй)) (ь 1) )з (15.

12) Замечание. При изменении порядка интегрирования необходимо соблюдать известную осторожность, если 1(й) не является непрерывной функцией л, Пусть, например, 1(й) =(2н)зуз 5(й — й) (15. ! 3) тогда в соответствии с равенством (15.8) имеем ф(г, г)=ег!а' л), (15.14) Интеграл (!5.!1) и интегралы (!5.9) с измененным порядком интегрирования содержали бы в этом случае квадрат б-функцин и были бы совершенно бессмысленными. Если же выполнить интегрирование по конфигурационному пространству в конце, то равенство (!5.9) дает ~ ~ гр!знзх ~ г)зх что находится в согласии с выражением для волновой функции (15.!4). Тогда равенство (15.1) даст ф (Г !) ~ Е (й !) ЕГ(жг-из!С(зв ).*1* Г =(2н)з ~ (15.6) Данный интеграл Фурье представляет ограниченную волновую функцию с не зависящими от 1. значениями в том и только в том случае, если величина ( —,'„)' (й)=ий) (15.7) имеет конечный предел при 1.— сю.

Тогда волновую функцию ф (г, !) = —, 1 ) (й, !) е' !а ™)РА (15.В) (2п) гз,) можно нормировать следующим образом: 1 (' ~зр!'г(зх= "Йй ) ! (й))(ж)е'!"-"'!'ЮА'~ег!'-а!'г(зн,(!59) (2п)з,) где последний интеграл берется по всему пространству, И. Одночастичные задачи без учета спина А.

Одномерные задачи Одномерные задачи, будучи в известном смысле чрезмерной идеализацией, тем не менее могут быть использованы для выяснения основных особенностей квантовой механики. Зти задачи возникают при рассмотрении трехмерного волнового уравнения Дз з о дч — — р'ф+Р(х, 1)$=- — —.— ', 2тн !' дт в котором потенциал зависит от одной-единственной декартовой координаты х. С помощью факторизации „1, н~(а,ач-ь,юю (» (А.2) получаем Решить одномерное волновое уравнение в случае у'= О. Обсудить физический смысл полученных решений.

Решение, Волновое уравнение йз д,р йд,р 2щ дк' Т дт (16.1) " " здесь н далее будем обозначать через Ч одномерную волновую фувнцню, удовлетворяющую уравнению (А,4), а через и — ее лространственную часть. — — — + — (й +й ) ~р+)г(х, 1) ~р — — . —. йз д~,> Ьз з з й АР 2т дк' 2т чг дт Последнее уравнение можно еще более упростить, положив вз ю(х, 1)=е-ььли(», 1), Ьюз=- — (л,з+)сз). (А.З) В результате мы приходим к одномерному волновому уравнению Ьз д'и Ь дв — — — +)т(х, 1) и= — —.—.

2 дхз = дз (А.4) Экспоненциальные множители в формулах (А.2) и (А.З) описывают распространяющиеся перпендикулярно оси х плоские волны, которые не влияют на поведение волновой функции в направлении оси х. Задача 16. Фундаментальные решения в случае свободного движения /Е. Фундименгаальнмв решения в случае свосюдново двимвния 41 допускает разделение переменных: чр (х, г) = и (х) д (г'), (16.2) так как прн подстановке выражения (И.2) в уравнение (!6.!) получаем ьа и" й й — — — = —.— =Ью, (16.3) 2гаи 1 и где через йло обозначена постоянная разделения. Разбивая (!6.3) на два отдельных уравнения, находим д = — иод, т. е., д (() = е '"', (1 6.4) и (16.

5) и + — и=О ч 2аюз й Если го — действительная величина, то волновая функция будет периодической и (ф!' не будет зависеть от времени (стационар- ное состояние). Если от — положительная величина, то (! 6.6) также положительная величина, поэтому решение (16.5) будет, кроче того, периодической функцией пространственной переменной х. Комплексная форма (16.4) завнснмостн волновой функции от времени составлвет прнмечательную особенность квантовой меканнкн: действнтельнме функции Мп м1 н соз ш1 не являются решепнямн днфференцнального уравпения (16.4).

Это столь разительное отлнчне от классической фнзнкн обусловлено тем, что уравненне Шредингера является уравненнем первого порядка по времени. (16.7) (16.8а) имеет вид и (х) = Ае'"'+ Ве-"", поэтому одномерная волновая функция ф(х 1) Ае~ 1ь*-мо -1- Ве ' иллнг1 (16. 86) Физический смысл параметра ш можно выяснить, рассматривая оператор в левой части уравнения (16.1) в качестве оператора Гамильтона, который в данном случае состоит из одного оператора кинетической энергии. Отсюда следует, что величина Е = йю представляет собой кинетическую энергию частицы н, таким образом, должна быть положительна, а наше решение есть собственная функция гамильтониана.

Так как й' — положительная постоянная, общее решение уравнения (16.5) или уравнения и" + й'и =- О 42 П. Задачи Еаэ ичеача снина. А. Однаисрнне эадачи состоит из двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. У обеих волн фазовая скорость равна о =аз!/г. Физический смысл пространственной части волновой функции (16.8а) станет ясен, если записать в явном виде выражения для плотности (16.9) и для потока (16.!0) Согласно (16.8б), мы имеем р = ~ А !'+.

! В !э.+ (АВчемы+ А*Ве-мэс) э= — (! А!' — ! В!'), Ьэь* Е=— 2т (16.12) поэтому импульс частицы и ее классическая скорость соответственно равны р = ссй (16. 13) и о — — —. вь (16.14) т Последняя совпадает отнюдь не с фазовой о> Е ! ое= — = — = о, !с р 2 Две волны с амплитудами А и В соответствуют, как видно, двум противоположно направленным потокам, интенсивность которых определяется относительными нормировочными постоян- ными волн и пропорциональна й. Выражение для плотности ука- зывает на наличие интерференции двух (когерентных) волн, обу- словливающей пространственную периодичность.

Когда нет особых причин (например, граничных условий) добиваться когерентности, разумно рассматривать каждую волну отдельно, полагая либо В =О, что дает з) О, либо А =О, что дает э<0. В результате получается прямолинейное движение частицы либо в том, либо в другом направлении. Считая, что величина й может быть обоих знаков, можно резюмировать наши результаты следующим образом: чР(х, !)=Се'и — о, Е=йса, й'= —, (! 6.11) р=!С!', з= — )С!'. Исключая аэ, находим !7. Волновоа пакет в случае свободного движения 43 а с групповой скоростью волны ды дЕ о =- — = — =о. дй др Замечание.

Основное дифференциальное уравнение (!б.!) можно рассмат. ривать как уравнение диффуэгги с мнимым ноэффициентом диффузии 0: й 0 — = —, 0=г —. дкэ д! ' 2т' так как разделение переменных играет важную роль в квантовой теории, а не в теории диффузии, то решения, типичные для задач диффузии (с действительным ноэффициентом О), ф(х, !)== 1 !фехр ~ †. ] дт, ! Г ип (х — $)з) Ф не находят применения в квантовом случае. Обраи)гяие времени в уравнении (!6.!) ведет к замене ф на фч. Задача 17.

Волновой пакет в случае свободного движения Построить волновой пакет и исследовать его временную эволюциюю. Решение. Мы начнем с частного решения волнового уравнения, записав его в ранее найденном виде (16.11): чр(lг: х, !) =С(и)ег!а' "гг, ш = — (гз, 2т (1?,!) (17.2) ф(х, !) =- 1 тр(я! х, !) И.

(!7.3) Равенство (17.3) описывает одномерный волновой пакет наиболее общего вида. Чтобы интеграл сходился, амплитуда С(й) должна стремиться к нулю при (и( — оо, по крайней мере как !))г. Всякая выбранная подходящим образом амплитуда С(я) приводит к решению определенного вида. Теперь построим волновой пакет таким образом, чтобы в начальный момент времени (=0 вероятность обнаружить описываемую им частицу заметно отличалась от нуля лишь внутри малой окрестности точки х=О и чтобы частица двигалась с импульсом а С(й) — произвольная постоянная амплитуда.