Fluegge-1 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике), страница 6

Гамильтониан, зависящий от времени Пусть оператор Н из предыдущей задачи зависит явно от времени (например, вследствие действия на систему переменного электрического поля). Требуется найти унитарный оператор У(() ь этом более общем случае. Решение. В случае гамильтониана Н (р, да; 1) в нашем распоряжении все еще имеется уравнение Шредингера — Тф=няфЯ. $. (11.1) Переход н картине Гейзенберга осуществляется теперь с помощью унитарного оператора У (1) ф(1)=(У(1) р, (11.2) который подчиняется диффере'диальному уравнению †,. и (1) = н (() и (() $ . (11.3) с начальным условием Положим для простоты и(0) =1. (11.4) (11.5) Ра = (н Рз'1, рз = 1Н )а).

(10.13) Этим алгебраическим соотношениям можно придать иную форму, если воспользоваться полученными с помощью основных коммутационных правил формулами задачи 8: (10.14) что непосредственно приводит и каноническим уравнениям (10.2). зз !2. Повторна0 иэмерение тогда решением уравнения и=хНи с начальным условием (11.4) будет бесконечный ряд ! ! и(1) = 1+х ) Н (!')Ш'+ х" ) Н (1')Ш' ~ Н(!")Ш" + 0 0 0 ! !' + х' $ Н (!') 0(!' $ Н (!") Ж" $ Н (1"') сИ'"+.... (11.6) а 0 0 В этом легко удостовериться, почленно дифференцируя ряд (11.6): и (!) = хН (1) + х'Н (!) ~ Н (г") (!" + 0 !" +ХЗН(т) 1Н(! )(!" 1НР" )(!" +...= 0 0 ! ! и !!! [ ~ !- 1 о !! ! !!' !- ' 1 о !!'! !!' 1 0 ! Г"! !!' " !- ..

~ = 0 0 0 = хн (!) и Н). Следует заметить, что в этих интегралах ! > (' > !" »... О, так что сомножители Н, взятые в различные моменты времени, образуют упорядоченное во времени произведение, причем сомножители, относящиеся к более поздним моментам времени, всегда стоят перед сомножителями, относящимися к более ранним моментам времени. Задача 12. Повторное измерение Гамильтониан системы Н не зависит от времени, а его собственные векторы !т> принадлежат невырожденным собственным значениям Ьеь!: Н ( т> = !0!0, ( ч>.

(12,!) В том же самом гильбертовом пространстве состояний определен оператор А, также обладающий невырожденными собственными значениями: А (л>=-а„1п>. (12.2) Вначале система находится в состоянии ! т>, затем в этой системе производят измерение наблюдаемой А. Чему равно математическое ожидание наблюдаемой А и какова вероятность обнаружить в результате этого измерения значение наблюдаемой А, равное а„? Пусть в результате измерения наблюдаемой А получено значение а .

Чему равна вероятность обнаружить это же значение а, 2 № $050 д Общие лСсинясслис если спустя время 1 произвести повторное измерение наблюдаемой А? Решение. В начальном состоянии математическое ожидание наблюдаемой А равно <т(А(т>. Подставляя сюда разложения )ч)=2.",(п><п)ч> и <ч(=~",<т(п'><п'), л л' получаем <лс(А(ч>= ~ <ч (а'> <п'! А (п> <а(т>. Так как <и' ( А ) и> = а„б„„, то последнее выражение упрощается: <т ! А ! т> =- ~~ а„( <ч ! и> )'. Поэтому вероятность обнаружить в результате первого измерения значение ал равна Р =- ( <т ) т> !'. (12.4) Сразу же после измерения система вместо исходного сосгояния ! т> оказывается в состоянии ( т>.

Дальнейшая эволюция системы определяется уравнением Шредингера Й вЂ”,', ~1>=Н(1> и начальным условием ( 0) = ) пс), Здесь и далее !Е> означает вектор состояния в момент времени 1. Так как гамильтониан Н не зависит от времени, то ~ с> е- ссссо и ~ сп> (12,6) Если воспользоваться разложением вектора ~т> по собствен- ным векторам гамильтониана Н, ) сп) = ~~'., ) )с) <р ) и), и учесть, что -си с е-сссс"с ") р> = е и ( р>, то выражение (12.6) нетрудно привести к виду )1> =,е,'е и с Р> <р, (пс>.

(12.7) Аргументация, которая ранее привела нас к соотношенисд (12.4), позволяет теперь заключить, что вероятность вновь обнаружить значение а при повторном измерении в момент времени 1 равна Р' = ) <лс ~ 1> (', (12.8) )3. Криволинейные координаты причем <т!Е>=~~ее и !<т!Р>(*. и (12.9) Задача 13, Криволинейные координаты В уравнении Шредингера для системы точечных масс сделать переход к обобщенным криволинейным координатам. Решение.

Самое главное в этой задаче — преобразовать оператор кинетической энергии »и Т = — — Ф» Т" — —,, ~-'ти дк' где ти имеет одно и то же значение для каждой тройки слагаемых, соответствующих одной частице. Выражение (!3.1) представляет собой квантовомеханический аналог классического вы- ражения )ъ 'в Тво = — ~~ т„хи. 2 2ы и Введем вместо координат х„координаты ~. = антохи, (13.2) (!3.3) тогда ! Т„.= —,~~„. Произведя теперь в $-пространстве с элементом длины (13.4) (зв ~~ ~$» и замену координат а на обобщенные координаты д» и учитывая, что в новых координатах (з'=-ХХй!» ~|' й7", (13.6) » получаем Тио = —,~'~'д„дд». ! (1 3.7) Вернемся к квантовой механике. Выражение (13.1) эквивалентно выражению (13.8) Далее из дифференциальной геометрии известно, что при замене координат ки координатами д' оператор Лапласа преобразуется А Общие принципы к виду а 1 ~я,ч~ ~ д ~) г-~г» д , бг~ 34!' (!3.9) где д †определите метрического тензора яг», а йг㻠†е контравариантные компоненты.

Последние можно найти из соотно- шения йг» Ом Д в котором бг означает алгебраическое дополнение элемента дг» в определителе д. Равенством (13.9) полностью исчерпывается решение нашей задачи, так как теперь оператор кинетической энергии, соответствуюший классическому выражению (13.7), можно записать в виде т=- — — =~ ~; — (Р'да" — '). (13.11) «ч ! 2 Р; к" °,,Щ г ~ 34» ) ' Вычисление потенциально!3 энергии, разумеется, тривиально. Задача 14. Волновые функции в импульсном представлении Фурье-образ/(й) волновойфункции ф(г) характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии ф.

Требуется вывести ингегральное уравнение для (())) с фурье-образом потенциала в качестве ядра. Решение. Между функциями ф (г) и 1(й) имеются два взаимно обратных соотношения " тр (Г) =- (йп) -"г» ~ ег» г ) (й) г(ай 7 ()г) (йя)- гз ~ е-г»еф (г) ггзх Положим далее 1/ (г) = 1 ег» '"тй(И) з'и, (14,3) " Если соотношение (14.1) использовать в качестве определения г (Л) и - г»ье применить к нему операцию ~ е ' ггзх„ то с учетом определения 3-мерной Ь-функции, 1 б!» — Л')= — ( г г»»1' грл, (2п)т 3 в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (14.2).

Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (14.8). Замечание. Этот метод применим и к тем задачам, в которых ие фигурируют прямоугольные координаты точечных масс. В этом случае он просто связывает классическое выражение (13.7) с оператором (13.!1). Однако указанную связь ни в коем случае нельзя считать тривиальной (см. замечания к теории симметричного волчка в задаче 48). !е, Волновые функции в импульсном нредсозавлении зт тогда для фурье-образа потенциала будем иметь йг (Га) = (2п) ' ) е- с» У (г) с(зх (14,4) Г!редполагается, что волновая функция ф(г) удовлетворяет уравнению Шредингера — у'1+У (г) Ф = Еф. й" (14.5) Подставляя сюда вместо тР и У соответственно выражения (14.1) и (!4.3), получаем (2ц) — пз ! ~ есе к)сз~(ь)с(зал ~Дз)с ~ес<»з» ) с Цу (ь) ~(й') с(зь' (А л Е~ ос„) (й, <,зй, В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной Гв к интегрированию по переменной и" =за +Ф', а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством )с.

Интеграл по А обращается в нуль при любом значении г лишь в том случае, когда само подынтегральиое выражение равно нулю, но тогда ( — — Е) ~ (7а) = — ~ ((У (й — )а') ) ()2') с(зй'. (14.6) Это и есть искомое интегральное уравнение с фурье-образом потенциала Гзт (Га — )2') в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (14.6) можно получить только при условии, что фурье-образ потенциала (14.4) существует; для этого, например, потенциал У(г) должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как г-'-', где е > О. Необходимо отметить, что из условия нормировки 1 ~ зр (г) ~з с(зх = 1 ~ ~ с()»1(з (зв (14,7) следует равенство (14.8) Это можно показать, подставив в (14.7) выражение (14.1) для функции тр: ~ ( зр (г) )3 с(зх — (2п)-з ~ с(зх ~ с(зь ~ ет (»-»з.с Г (ь) ) е (та') дз)с' т' См. в втой связи замечание в конце следующей задачи. Если здесь сначала выполнить интегрирование по с(зх, то мы без труда получим соотношение (14.8) о.