Fluegge-1 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике), страница 8

Здесь й — все еще свободный параметр, так что общее решение волнового уравнения записывается в виде любого сходящегося интеграла по й ог вы- ражения (17.1): 44 П. Задачи без учета енина. А. Одномерные задачи т. е (А)е ==. (17.6) а)ея Выражение (17.4) можно разложить по плоским волнам, используя соотношения (17.3) и (17.1): ч ер (х, О) = ~ С (й) ем" дй (17.6) — Ф Но этот интеграл есть интеграл Фурье, обращая который, полу- чаем С(н)= 2 ) ф(х,0)е "е(х= 2 ) екр ~ 2 е+1(но н)х)е(х Вычисляя последний интеграл с помощью хорошо известной фор- мулы ч )е е е(х — ) и (17.7) окончательно находим С(й)==ехр~ 2 (й — й,)'~ .

(17.8) е" 2я Этот результат легко понять, привлекая на помощь соотношение неопределенности Гейзенберга. В начальном состоянии неопределенность координаты частицы, согласно выражению (17.4), имеет порядок Лх ж а. С другой стороны, как показывает выражение (17.8), основной вклад в волновую функцию дает та часть спектра р,=йо. Этого можно добиться, положив зр(х, О)= Аехр ~ — 2 э+(й,х~ . Действительно, в этом случае плотность р (х, О) / чр (х, О) /е = / А !* ехр ( — — „) отвечает частице, локализованной в области !х/~а, а поток (!6.10) равен з(х, 0)-4~72(Ч А~'екр 1,— — е) =Р— до~ поэтому величина о, = Ье/т есть скорость частицы, а ре=елое =)ейе— импульс пакета.

Так как волновая функция описывает одну частицу, то имеет место условие нормировки ~ р е1х =- 1, /7. Волновой панаев в случае свободного движения 45 волновых чисел /е (или импульсов р=Ь), которая лежит в полосе шириной 7заж!/а (или Лрж74/а) вблизи /г=/е,, Следовательно, независимо от выбора величины а имеет место соотношение /!х Лр Й. (17,9) но это и есть соотношение неопределенности Гейзенберга. Определив амплитуду С (й) по начальному состоянию при / = О, мы можем теперь перейти к вычислению общего интеграла (1?.3) для любого момента времени: ф(х, /) == ~ ехр [ — — ав(/г — й,)'+//ех — / — й*~ е//е.

)г2 д 1 2 в 2ю Здесь в экспоненте стоит квадратичная форма а, так что этот интеграл снова можно привести к интегралу ошибок (17.7). Результат имеет вид я — 2/а две+/ — авив в в й/ вв 2ае А 4р(х, /)= „,ехр (! ~.! ') еав ) (17.10) вав (1+/ ~',) В этом довольно сложном выражении нетрудно разобраться, снова рассмотрев плотность р и поток в, но теперь уже для любого момента времени /. Плотность в этом случае равна ( ь ) р (х, /) =14р (х, /) )'=- ехр 1А )в Р'+(="Л" (17.11) а'=а ~1+( —,) ~ ж — / при /=/.

Этот эффект легко объяснить, исходя из вида спектральной функции (17.8). Так как спектр волновых чисел имеет ширину б/4 = 1/а, то скорости отдельных волн разбросаны в области шириной Ьо=(Й(т) /!а=А/ела, поэтому пакет расплывется на величину Лх=/ба=(Ь/та) /, что и было найдено выше. Как функция координаты х она все еще имеет форму колоколообразной кривой, однако максимум ее теперь сдвинут из точки Х==О В тОЧКу Х=(Ыо/ае)/. СЛЕдОВатЕЛЬНО, МаКСИМ)М„цуГа ВОЛН", описываемого выражением (17.10), перемещается со скоростью о,=-аа,/гл (групповая скорость равна скорости частицы).

В то же самое время знаменатель в экспоненте (17.11) показывает, что ширина волнового пакета увеличилась от значения а при !=О до значения !1. Задачи без учепса спина. А, Однахернсне задачи Выражение для потока получается из (17.10) с помощью со- отношения !+с —,— х дф .й аейе дх е йс 1+с— спае Непосредственное вычисление после сравнения с формулой (17.11) дает Задача 18. Стоячие волны Частица заключена между двумя непроницаемыми стенками, расположенными в точках х= — — а и х=+ а.

(Стенки служат идеализацией сильного отталкивания, испытываемого частицей при приближении к указанным границам.) Найти собственные состояния и обсудить их свойства. Решение. Для стационарных состояний мы имеем е — с — с зр (х, г) = и (х) е (18.1) Пространственная часть волновой функции и(х) удовлетворяет уравнению Шредингера и" +й'и= О, (18.2) где /г'= ~ йе (18.3) и в самом общем случае имеет вид и (х) = Аееех + Ве-ехх (18 А) ьех е (х, 1) = р (х, г) о, (!7.12) Оссюда видно, что для произвольных времен мы отнюдь ие имеем э=ром как это было при (=О, что опять-таки является следствием конечной ширины спектра скоростей.

Для максимума пакета х,=-о,г, и равенство (!7.12) приводит к элементарному соотношению е=ро,. С другой стороны, для х«»х„мы имеем э «» ро„ и это вполне разумно, так как к моменту времени г' до точки х < х, (х ) х„) доходят лишь те части волнового пакета, скорость которых меньше (больше) ое. В заключение следует упомянуть, что условие нормировки ре(х= 1 выполняется для всех времен, это является выражением закона сохранения вещества. ее. Са!о«чае ее«ни Наличие непроницаемых стенок налагает граничные условия и(а)=0, и( — а)=0, (18.5) что в сочетании с условием нормировки, а ~ ) и (х) )' с(х = 1, (18.6) -а если отвлечься от фазового множителя, выбор которого никогда не регламентируется в квантовой механике, позволяет полностью определить собственные функции.

Подставляя выражение (18.4) в соотношения (18.5), получаем для определения А и В систему двух линейных однородных равнений: у Ае'"а+Ве !«а=О, Ае !«а) Ве<«а 0 Эта система допускает нетривиальное решение только в том слу- чае, если ее определитель равен нулю: ! е" е "1 ,„;„~=0, или з(п2на=О. е !"'е!«а~ Условию (18.7) удовлетворяют лишь собственные значения Ф„, определяемые формулой — ~=~1, ~2, ~~3, ... (18.8) 2и й|«а $аиа Е = — "= — и'. 2!и Вти« На основании (18.8) имеем ! — а ЕЕ«аа — Е «!а (18.9) поэтому В = ( — 1)'+'А. Если а — нечетное целое число, то В= А, а нормированные волновые функции равны ! ! и„+(х)=-а ' соей„х=а ' соз—" , а=~1, *3, ...

(18.10а) Если же п — четное целое число, то В= — А, и мы имеем ! и„(х)=-а «з(пй„х=а «з1п —, н=-~2, ~4, .... (18.106) 2и ' Значение й=О, также удовлетворяющее условию (18,7), должно быть исключено как противоречащее условию нормировки (18.6). Из соотношений (18.3) и (18,8) для собственных значений энер- гии получаем П . Задичи без учета таина. А. Одномерные яидачи 48 Так как функции и„, если отвлечься от несущественного изменения знака в формуле (18.10б), не зависят от знака л, то отрицательные значения п можно не принимать во внимание, поэтому, например, волновые функции четырех иаинизших состояний будут равны ! лх и+=а в соз— ! 2а ' лала Е = —, 8тае ' лх и, =а я з!п,т, Е,=4Е„ (18.1!) ! — Злх и.'=а т соз— 3 2а ' Еа — — 9Е„ а=3, ! — 2лх и-=а я з!ив 4 а Е, =!6Е„ Следует отметить, что собственные функции попеременно то четные (л нечетное), то нечетные (и четное) по отношению к инвер- Ф и г.

!. Первые четыре собственные функции в одномерном вотенциа,тином ягаике с бесконечными стенками. сии с центром в начале координат. Об этом свойстве волновых функций говорят как о четности состояния; в случае симметричной функции мы говорим, что четность положительна, в противном же случае — отрицательна.

В принятых обозначениях (и„+, и;) четность состояния отмечается верхними индексами „+" н „-". Первые четыре собственные функции изображены на фнг. 1. Так как пространственные части собственных функций действительны, то результирующий ток вероятности не может существовать ни в одном состоянии. Это является следствием того, что в формуле (!8.4) (вспомните рассуждения, приведенные в задаче 16) ! А (=(В!. Волны с амплитудами А и В а выражении (18.4) дают противоположные вклады в токи и импульсы. 49 !р.

Иолрпроницаемая перегородка Следовательно, собственные функции гамильтониана, принадлежащие дискретным собственным значениям энергии, ие являются собственными функциями оператора импульса Й д р= — —. 1 дк' Действительно, дифференцирование функций (18.10а) и (18,!Об) ведет не к воспроизведению, а к замене синусоидальных решений косинусоидальными. Среднее же значение импульса можно вычислить по формуле <п(р(п>= — —, ~ м„(л) ~ 14„(х)г(х.

-а Для всех состояний этот интеграл исчезает, так как подынтегральное выражение является нечетной функцией х. Таким образом, <а~)т(п>=0 в согласии с обращением в нуль плотности тока вероятности. Замечание. В математическом отношении это по существу та же самая задача, что н классическая задача о колебаниях струны. Единственное разанчне заключается в том, что здесь квадратнчному закону (18.9) следуют собственные значения энергии, там же ему подчиняются собственные частоты. Классическая энергия колебаний не имеет, однако, никакого аналога в квантовом случае, поскольку она завнснт от амплитуды колебаний †последн же может быть нронзвольной, в то время как амплитуда волновой функцнн фнкснрована условием нормировки (1З.б), т. е, тем обстоятельством, что число частиц равно единице.