Fluegge-1 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике), страница 3

Бесконечно малые вращения . 48. Момент количества движения в сферических координатах 49. Момент количества движения и оператор Лапласа . 50, Преобразования в гильбертовом пространстве . 51. Коммутаторы в координатном представлении 52. Частица со спином 1 53. Перестановочные соотношения компонент тензора . 54, Тензор квадрупольного момента. Сферические гармоники 55.

Преобразование сферических гармоник . 56. Построение собственных векторов оператора 5 в абстрактном гильбертовом пространстве 57. Ортогональность сферическвх гармоник . Сферически симметричные потенциалы 87 89 92 93 97 99 102 106 112 116 135 135 137 139 140 142 !43 144 146 148 Содержание !5 73 74 75 76 77 78 79 200 202 205 210 212 214 215 217 217 220 223 225 Упругое рассеяние 227 232 235 239 241 245 247 249 252 253 256 260 263 266 268 269 272 275 277 280 282 284 287 290 294 298 300 303 307 306 310 Д.

Приближение Вентцели — Кражерса — Бриллюэна (ВКБ) 1!5. Разложение эйконалз 116. Применение метода ВКБ к радиальному уравнению 313 313 315 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 1ОО 10! !02 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 !14 Изотопический сдвиг границы рентгеновского излучения .

Основное состояние мезоатома . Модель дейтрона с центральным взаимодействием Импульсное представление для волновых функций в поле цент- ральных сил Уравнение Шредингера в импульсном представлении в поле центральных сил . Водородные волновые функции в импульсном пространстве . Штерн-эффект у пространственного ротатора Интерференция падающей и рассеянной волн . Разложение плоской волны по парциальным волнам ..

Разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам. Рассеяние при низких энергиях Рассеяние на сферически симметричном прямоугольном потенциальном барьере Аномальное рассеяние . Рассеяние на резонансных уровнях . Вклад состояний с высшими значениями момента количества движения Приближение, не зависящее от формы потенциала. Низноэнергетическае рассеяние на сферически симметричной прямоугольной яме Ннзкоэнергетическое рассеяние и связанные состояния Дейтронный потенциал с жесткой сердцевиной и без нее Низкоэнергетическае рассеяние при наличии жесткой сердце. вины и без нес Низкоэнергетическое рассеяние на модифицированном потенциале Пешля — Теллера Радиальное интегральное уравнение Вариационный принцип Швингера Последовательные приближения для фазы рассеяния Уравнение Калоджеро .

Линеаризацня уравнения Калоджеро . Длина рассеяния потенциала, имеющего вид степенной функции Второе приближение к уравнению Калоджеро Длина рассеяния для сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы Длина рассеянии потенциала Юкавы Улучшение сходимости рядов сферических гармоник Интеграл по прицельному расстоянию Борновское рассеяние.

Последовательные приближения Рассеяние иа потенциале Юкавы Рассеяние на экспоненциальном потенциале Борковское приближение для рассеяния на сферически снимет. ричном распределении заряда Высокознергетическое рассеяние на жесткой сфере Формула Резерфорда Разложение кулоновской функции по парциальным волнам Аномальное рассеяние Преобразование Зоммерфельда †Ватсо Полюс Редже 16 Содержолие П7. Граничное ВКБ-условие Лзнгера П8.

Гермонический осциллятор в приближении ВКБ 119. Уровни ВКБ в однородном поле !20. Проблема Кеплера в приближении ВКБ !21. Фазы ВКБ для свободного движения !22. Вычисление фаз ВКБ. 123. Расчет кулоновских фаз методом ВКБ . 124. Квазипотенпизл Е. Магнитное поле . !25. Введение магнитного поля !26. Плотность тока в присутствии магнитного поля !27. Нормальный аффект Зеемана !28. Парамагнитная и диамагиитная восприимчивости спина 3!6 32! 322 324 326 327 328 331 332 332 334 336 без учета 338 1. Общие принципы Задача 1.

Закон сохранения вероятности Вероятностная интерпретация условия нормировки Ьфах= 1. (1,1) при которой выражение ф'фа'х отождествляется с вероятностью обнаружить рассматриваемую частицу в элементе объема азх, с необходимостью приводит к закону сохранения. Найдите этот закон н обсудите возможную интерпретацию полученного результата с точки зрения классических представлений. Рещение. Искомый закон сохранения должен иметь вид уравнения непрерывности +ашг О, (1.2) где р=ф'Ф (1.3) — плотность вероятности, а в †плотнос тока вероятности.

Поскольку р †билинейн форма относительно ф и ф', уравнение (1.2) можно получить лишь в результате комбинации двух уравнений Шредингера А де 3 д~)' нф= — —,. —, нф = —,—, ! д~' д~ (! .4) (1.6) с одним и тем же гамильтонианом 2 + Ь (1.6) в обоих случаях.

Таким образом, получаем ф нф — фнф - — —.—. Ф др Е д1' Согласно (1.2), левая часть этого соотношения должна записы- ваться в виде дивергенции. Действительно, ф нф — рнф = — й(ф я'ж-лт- — йа (ф уф — фут), поэтому можно для вектора г написать а = — (ф'эф — фтч9- Й /. Общие принципы !8 К классической интерпретации полученного результата можно прийти, рассуждая следующим образом. Если умножить обе величины р и и на массу частицы т, то в результате у нас получатся плотность массы р„и плотность импульса й". р„= тр, й'= тл, (1.7) тогда уравнение непрерывности естественно интерпретировать как закон сохранения массы. Точно так же, умножив на заряд частицы е, придем к плотности заряда р, и к плотности электрического тока /: р, = ер, /'= ел, (1.8) а уравнение (!.2) станет законом сохранения заряда.

Примечательно, что закон сохранения массы и закон сохранения заряда по существу идентичны, так как оба они обусловлены конвекционным током одной и той же частицы. Выраисепне для полного импульса шреднигеровского поля, полученное нз соотношений (!.6) и (1.7), /Э*= ) йт/ех = —. ) (треутр — трутр') г/ех, л г ° с помощью интегрирования по частям второго слагаемого можно привести к виду р= ) тр' — р /тре(ах, (1.9) что находится в согласии с определением (см.

задачу 3) среднего значения оператора импульса (л//) у в квантовом состоянии тр. Задача 2. Вариационный принцип Шредингера Заменить уравнение Шредингера лт 2а р+ (2.1) поэтому выражение для энергии получается путем умножения уравнения (2.1) на туе и последующего интегрирования по всему пространству: Е - ! ф' !„— 2 р'ф+ р(г) ф~ (* . г ° г й.

(2.3) и Зто утверждение верно лишь для состояний дискретного спектра.— Прим. ред. варнационным принципом для энергии. Решение. Всякое решение ф дифференциального уравнения (2.1) удовлетворяет уравнению связи" 1Ф"Ф(ах=1, е. Вариацианныа нринцин Шреаинеера Интегрирование по частям первого члена с учетом формулы Грина дает ~ ф т Чн('х= ф~> уфе(У ~ (рф') Щ) е(ех. (2,4).

Далее нормировочный интеграл (2.2) существует лишь в случае, если решение ф на больших расстояниях г убывает не медленнее, чем г-ч,-е е > О. Но при этом условии поверхностный интеграл в (2.4), взятый пси поверхности бесконечно удаленной сферы, исчезает, поэтому выражение (2.3) можно записать в виде Е ~ ~й — (рф') (рф)+ф'$'(г)ф~ е(ех. (2.5). Это равенство совершенно симметрично по отношению к функциям ф и ф' точно так же, как и условие нормировки (2.2), и мы с таким же успехом могли бы получить его, исходя из уравнения йе — Ь-7'Ф'+1/(г) ф'= ЕФ'. (2.1ат комплексно сопр яженного уравнению (2.1).

Было бы нетрудно показать, что уравнения (2.1) и (2.1а) представляют собой уравнения Эйлера для вариационной задачи об экстремуме интеграла (2.5) при наличии связи (2.2). Мы, однако, не будем пользоваться аппаратом вариационного исчисления, предпочтя ему прямое доказательство. Пусть фх — решение дифференциального уравнения (2.1), принадлежащее собственному значению Ею Оно дает для интеграла (2.5) значение Ем Заменим теперь фх на близкую функцию фи+ бф, где бф — малая, но произвольная вариация, если не считать условия (2.2), которому функция фи+ бф должна удовлетворять в той же мере, что и фы 1 (ф,'+бф ) ($,+ 6$) Рх-1, и, следовательно, ~ (фхбф'+фхбф) еРх+ ~ (бф'бф) Рх = О.

(2.5) После подстановки фх-(-бф в интеграл (2.5) получаем для энергии выражение Ех+6Еы где 6Ех=~( — [(Рфх) (~76ф)-+(уфх) (рбф*)1.+$'(фхбф'-(-фхбф)) еРх-(- -1- ~ ~-~ — (Убф') (Рбф)+-1/бфебеР1 еРх. (2.7) В первой строке здесь собраны члены первого, а во второй — второго порядка малости. С помощью интегрирования по частям, д Общие аринчиоы 20 обратного выполненному ранее, мы можем в первой строке вернуться к выражениям бфЧ'фх и бф'Ч'фы а затем воспользоваться уравнениями (2.Ц и (2.!а) для того, чтобы избавиться от производных. В результате мы, например, получаем ) ~д (Чфх) (Чбф)+Ъфхбф1сРх=Еь~бффхсРх, поэтому первая строка в соотношении (2.7), если учесть равенство (2.8), будет также давать вклад второго порядка малости: 6Ех = ) ( —,„( Ч6~> ('+ (1/ — ЕД ( бф )'] ~рх. (2.8) Так как у нас не осталось членов, линейных по бф илн бф', то энергия Еы очевидно, будет иметь либо максимум, либо минимум прн бф=О, т.