Fluegge-1 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике), страница 4

е. для тех фы которые являются решениями уравнения Шредингера. Ответ на вопрос о том, что представляет собой экстремум — максимум или минимум,— зависит от знака выражения (2.8). Чтобы несколько глубже разобраться в этом последнем вопросе, мы воспользуемся совокупностью решений Щ уравнения (2.1) и построим нз них ортогональную систему функций: ) ф„ф,Ух = 6„,. (2.9) Теперь разложим по этой системе функций вариацию бф бф =~чРс,ф,. (2.10) м Тогда равенство (2.8) примет вид 6Ех=~~,с„с, ) ~ — (Чф„) ° (Ч ~,)+Я вЂ” Ех)~,,ф,1 с(эх= и — с„с~~ [ — — Ч ~р,+(1/ — Ех)ф,~ ф д х или с учетом (2.9) и (2.1) 6Ех= Е(са!'(Š— Ех) (2.1 1) Если Ех относится к основному состоянию, то для всех состояний ф„имеем Е„~ Ех и вариационный принцип, таким образом, дает для Ех минимум, так как сумма (2.11) положительна.

Для возбужденных состояний нельзя установить такого общего правила, так как в сумме (2.11) в этом случае содержатся как положительные, так и отрицательные слагаемые. 8. Классическая механика для ираопранстеентнх средник 2! Показать, что основное уравнение классической ньютоновской динамики бр — =р где р — импульс, а р — сила, действующая на частицу, для про- странственных средних (математических ожиданий) имеет место и в квантовой механике. Решение. Пусть сила Р выражена через потенциал, Р= — 7)с, а импульс р заменен оператором (ФД) 7.

Интересующие нас сред- ние определяются равенствами р = —. ) ф*Чфс(ех, й г ° Р= — ~ф (ЧР)фб, Наша задача — показать, что интегралы (3.2) и (3.3) удовлетво- ряют уравнению (3.1), если функции ф и ф* удовлетворяют уравнениям Шредингера й дч) йе — — = — — 'Ч*ф+ Рф д1 2т Ге дч)' йе (3.4) + — 7 ефе + )сфе е д~ 2т (3.3) Доказательство мы начнем с того, что продифференцируем равенство (3,2) по времени: р = —,. ~ (Ф'Чф+ чр'Чф) с(х = —. ~ (ф*7ф — фЧф*) с(ех. Выше мы учли, что вклад от поверхностного интеграла, появляющегося при интегрировании по частям второго слагаемого, равен нулю и его можно опустить. Избавляясь здесь от чре и ф с помощью уравнений (3.4), получаем Р = — 2т ~ [(7 ф) (Ччр) + (7 ф) (Чф)) а х+ ~ (ф) Чф + Ф чррф) срх.

(3.5) Интегрирование по частям ~ (Чефе) (Чф) срх = — ( (Чф*) (Чеф) срх показывает, что оба слагаемых в первом интеграле из (3.5) взаимно сокращаются. Применяя далее интегрирование по частям к последнему из оставшихся в (3.5) слагаемому, получаем Р— 1 ф' [)сЧф — 7 ()'т)1 б' ° Задача 3.

Классическая механика для пространственных средних д Общие приняииы Воспользовавшись в заключение формулой 7 (Р~Р) Р7~Р+~Р7к приходим к уравнению ( 4» (7Р) 1З Дэх р в справедливости которого требовалось убедиться. Задача 4. Классические законы для момента количества движения Показать, что для пространственных средних классическая связь между моментом количества движения Е = г хр и моментом силы Т=гх» (здесь р означает импульс, а г — силу) Ж Й имеет место и в квантовой механике. Решение. Как и в предыдущей задаче, начнем с определения пространственных средних: ,ь= —, ') ~р'(»х 7) ~И'х, =$ (4.2) Т= — ~ ф'(г х 7У)~[х(эх. (4.3) Снова предполагается, что волновые функции ф и 'ф' удовлетворяют уравнениям Шредингера (3.4).

Наше доказательство мы начнем с дифференцирования по времени равенства (4.2): Х- — ~ [ф'(гх 7 р) + "р'(гх 7ф)И'х. Преобразуем второе слагаемое с помощью тождества Ф'7ф = 7 М'Ф) — 17чг и учтем, что к первому члену правой части зтого тождества в дальнейшем можно применить общую формулу векторного анализа ) гх7)Ух=О, (4.4) где ~-ф"ф Это дает А - Т 1 Х ("Р'7$ — Ф71') Рх Фп Избавляясь теперь от Чм и ф с помощью уравнений (3.4), получаем Е.

= — — 1 гх [(7 1 ) (7Ф+(7 ф) (71 И Дзх+ -~ ) Рl хИ~*7$+$7$')и'х. З. Загон сохранения гнергии Так как Задача 5. Закон сохранения энергии Пусть энергия шредингеровского волнового поля описывается интегралом (2.5) из задачи 2, в этом случае закон сохранения энергии должен иметь вид '— „-+б)чЗ=-О, (б.1) где %' — плотность энергии, а Я вЂ плотнос потока энергии. Требуется вывести указанный закон сохранения, сконструировав подходящий вектор Умова †Пойнтин Я.

Решение. Как было найдено, согласно (2.5) Е= ') ()тух, (5.2) где =$' Н' = Ы (7ф') (7ф) + ф*УФ (5.3) Здесь первый член — плотность кинетической, а второй — плотность потенциальной энергий. В соответствии с уравнением (5.1) нам нужна производная йУ й- (Щ*) (7гР) + (71Р') (7ф)) + У (гР'ф+ ф*гР). (5.4) Так как (7фЯ) (7ф) 7(фн7ф) фн7гф (7ф*) (7ф) = 7 (Ф7ф') — Ф7'ф', то мы можем преобразовать ту часть выражения (5.4), которая (7'гР") (7яР) + (7 "~) (7 "Р') = 7 1(7яР') (7~') ) то выражение. стоящее в скобках под знаком первого интеграла, является градиентом скалярной функции ) =(7Чг) (7ф), поэтому этот интеграл, согласно (4.4), исчезает. Выражение, стоящее в скобках под знаком второго интеграла, равно 7 (гР'яР). Используя далее тождество У7 (ф'ф) =-7 (Уф'ф) — ф"77У и снова прибегая к помощи формулы (4.4), где 1"=-Уф'ф, окон- чательно преобразуем второй интеграл к виду ~ гх(У7 (гр'~>)) Ух= — ~ гх(ф'~~7У)е(гх, что совпадает, как это н требовалось доказать, с выражением (4,3) для среднего значения момента силы.

I. Оба~ив принципа обусловлена кинетической знергией, и написать Ф = у ~ —,„(ф'уф+ Фуф') ~ — „Ф'у'ф —; фу'ф'+Ф"уф+Фрф'. (5.5) Уравнения Шредингера (3.4) позволяют нам в последних слагаемых заменить пространственные производные и потенциал производными по времени. Результирующие члены в точности сокращаются друг с другом: р ° ( — фф)+ф(~ р )=о, так что уравнение (5.5) действительно совпадает по форме с уравнением (5.1), а искомый вектор Умова — Пойнтинга Я равен 2т (ф ф+фуф )' (5.6) Задача 6.

Эрмитово сопряжение Оператор й!, зрмитово сопряженный с оператором Я, определяется равенством 1 (аф) ф (т = ( ф ат р (т, (6.!а) которое с помощью символики функционального анализа можно записать в виде <аф ! р> =<1 ! ипр>. (6. 1б) Здесь ф и ф — произвольные функции, подчиняющиеся условию нормировки: <ф ! ф>=1, <ф ! ф>=1. (6.2) Сформулируйте данное определение на языке матричного представления. Что вы можете сказать о собственных значениях зрмитова оператора, определенного равенством Й = Йт? Решение, Матричное представление оператора определяется выбором полного набора ортонормированных функций (и,): <п,~п,>=6„.

(6.3) Для произвольных нормированных функций ф и у имеют место разложения: Ф - Х а„и„~р =- 'Я.Ь„п„. (6.4) ч и Подставляя рааложения (6.4) в определение (6.1), получаем ХХа,Ь,„<йи„~и„,> =~р~~ а;Ь„<и, ~ йт~ ив>. аь вт 25 7. Построение ермитееа аперапюра Предполагается, что это равенство справедливо для любой пары функций ф и ф, поэтому оно должно выполняться для каждого слагаемого в отдельности: <ьеи,) ии> = <ит( йт) ии>.

Используем теперь полный набор (и,) для определения матрицы оператора ьет, переписав правую часть равенства (6.6) в виде <и„! ье' ( им> = (ьет),м. Что касается левой части, то ее можно преобразовать следующим образом: (Йм,! рм>= ~ (Ыит)еапс(т=( )ма(йрт)е(т ) = <па~ Я (и,> = Иит. Следовательно, матричные элементы матриц ье и ьет, согласно (6.6), должны быть связаны соотношением Ф )ми= г)ти. (6.6) Иначе говоря, элементы эрмитово сопряженной матрицы ьет получаются из элементов матрицы ье с помощью операций транспонирования (р т) и комплексного сопряжения. Стоит отметить, что из соотношения (6.6) мы сразу же получаем ()те= й.

Для эрмитовой (самосопряженной) матрицы ье, когда по определению хе =ьет„мы согласно (6.6) имеем ()ит — — (),и. (6.7) Диагональные матричные элементы р=т действительны. Последнее утверждение справедливо для любого ортонормированного набора функций (т. е. при любом выборе координатной системы в гильбертовом пространстве). В частности, это справедливо и для такого набора (и,), с помощью которого матрица ьеи, приводится н диагональному виду: ()ит = юибит.

(6.8) Так как выше со суть собственные значения матрицы ье, то отсюда следует, что собственные значения эрмитовой матрицы действительны. Замечание. Именно в силу етого последнего результата операторы всех физических величин (наблюдаемые) врмитовы. Задача 7. Построение эрмитова оператора Найти квантовомеханический оператор, сопоставляемый классическому произведению хр„. д Общие лринципы 2б Решение а. Так как операторы х и р„некоммутативны и удовлетворяют перестановочному соотношению Р.

х — «Р» которое легко проверяется в координатном представлении, где Р и д 1 дх' (7.2) то следует ожидать, что классическому произведению хр„будет соответствовать каждый оператор вида Й (1 — а) хр„+ ар„х. (7.3) Предположим сначала, что постоянная а действительна, Эту постоянную мы должны подобрать таким образом, чтобы для всякого квантового состояния ~р среднее значение Й было действительным: <(е> ) ~р'я~р е(е« =.

действительная величина. (7.4) Пользуясь выражением (7.2) для оператора р„, перепишем равенство (7.4) в развернутом виде Ф) = ~$ ~(~ а) х д + д (х~р)~ о~х —,~$ ( д +сор) е(х. Отделяя теперь действительную часть ф от мнимой: р-»+Ж получаем <11>=1~ ~ (»ж+йЯ)+а(»'+й')~ ('х+ 1 ф~ «(» е а )е(вх то это условие можно записать в виде равенства 1 ~Х д (»е+йе)(е« которое после интегрирования по частям дает 1 а=-к . (7.5) Второй интеграл в правой части этого равенства действителен, Что же касается первого интеграла, то он чисто мнимый и в силу (7.4) должен исчезнуть. Так как, кроме того, ) (»'+ йе) е(ех = 1, 7, Поееароение врмиошва оаерааора Таким образом, правильной является симметричная комбинация Й = — (хр„+ р„х), (7.