Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986), страница 11

Модуль этой функции по-прежнему равен единице, а ФЧХ 0 (со) — — — о>(о Найденная ранее спектральная плотность делыа-функции может быть получена и с помощью преобразования Фурье: 5(со)= ( 6(( — (о)е-: тд(. Используя свойство (2.91), находим 5(о>) = е "' ~ 6((--(о)с((=е .""". (2,92> При Г„, О 5 (со) = — 1. Следует иметь в виду, что правая часть равенства 5 (о>) = 1 является размерной единицей: это площадь импульса, численно равная единице.

Если под 6 (() подразумевается импульс напряжения, то размерность 5 (о>) есть вольт >с секунда (В с). ' Нв языке тсхиики более волхове>иии ио смыслу являлся бы териии стробиррю>Чее свойство. Можно, очевидно, и 6 (1 — (,) представить в виде обратного преобразования Фурье от 6 (ы) = е — '"': 6(г —,1~) = — ( ь(ы)е'"'ага= — — ( е'"'и илг(~, (2.93) 2п,) 2п ! Энергия единичного импульса бесконечно велика. Прн спектральном рассмотрении это вытекает из равенства Парсеваля [см. (2.66)), правая часть которого при 5 (ы) = 1 обращается в бесконечность, При временнбм рассмотрении это следует из того, что энергия импульса, пропорциональная квадрату его амплитуды (т. е, величине 1!т„') и первой степени длительности т„, с укорочением импульса растет как !!т„.

При т„- 0 энергия бесконечно велика. Понятие единичного импульса особенно широко используется при исследовании действия коротких импульсов на линейные цепи. При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального импульса была бесконечно велика, а длительность бесконечно мала. Достаточно, чтобы длительность импульса была мала по сравнению с постоянной времени исследуемой цепи (или по сравнению с периодом собственного колебания цепи).

Рассмотрим теперь свойства 6 (га), Все, что ранее было сказано относительно 6 (!), можно распространить на 6 (тв) при замене ! на со и ы на й По аналогии с выражением (2.93) можем написать 6(ы) епп,(! -- ~ е — ямг(Г (2.94) 2п,) 2п (Перемена знака в показателе степени в данном случае не влияет на значение интеграла, см. ~ 2.8, п. 7.) Соответственно 6(ы — ыо) = ~ еию — вема( ~ е — пи — очмф 2п (2.94') 2.12. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ СИГНАЛА И ШИРИНОЙ ЕГО СПЕКТРА. СКОРОСТЬ УБЪ|ВАНИЯ СПЕКТРА Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр.

Для установления количественных соотношений между указанными параметрами сигнала необходимо условиться об определении понятий длительность сигнала и ашрина его спектра. В практике применяются различные определения, выбор которых зависит от назначения сигнала, его формы, а также от структуры спектра. В некоторых случаях выбор является произвольным.

Так, ширину спектра прямоугольного импульса определяют либо как основание главного лепестка (например, в п. 1 з 2.10), либо на уровне 11ф' 2 от максимального значения спектральной плотности. Длительность колоколообразного импульса (см. Ч 2.10, п. 3) и ширину его спектра иногда определяют на уровне 0,606 от максимального значения соответственно а (г) или 5 (га). Часто пользуются энергетическим критерием, понимая под шириной спектра полосу частот, содержащую заданную долю полной энергии сигнала. Для практики важное значение имеет также оценка протяженности «хвостов» спектра вне полосы частот, содержащей основную часть энергии сигнала. !.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЛОСАХ хдлительность Для выявления предельных соотношений, связывающих длительность сигнала и ширину спектра, в современной теории сигналов большое распро- странение получил метод моментов. По аналогии с понятием момента инерции в механике эффективную дли- тельность сигнала Т,ф можно определить выражением Т' = ~' (/ — 1,) '(1)г(// ~ ~(Г) и, где середина импульса Га определяется из условия Ь= 1 ырра! 1 *'Изп Имеется в виду, что функция з (/) иитегрируема с квадратом (сигнал с конечной энергией). Аналогично эффективная ширина спектра йвф — — 2агвф определяется выражением' 00 Ю Й,*ф.=- — ) отв 5з (от) Ьо — ~ 5'(го) док 1 /' 1 2я,) 2я ь,'\ Так как модуль спектра 5 (ю) не зависит от смещения в (1) во времени, можно положить 1, = — О. Наконец, сигнал э (Г) можно нормировать таким образом, чтобы его энергия 3 равнялась единице и, следовательно, з'(1) г(1 =- — ( 5з(ю) дго = 1.

2и При этих условиях выражения для Т,ф и й,ф принимают вид «~ Тяф= ~ гзз'(1)г(1, Йзф=.— ~ ю'5'(от)з2от, 2л,/ и, следовательно, произведение длительность х полоса '"Г 1 ~уг Тфйф " ~ Г в~(/)с(/ ~ — ~ гоз5~(о~)йз Нужно иметь в виду, что Т,ф и йвф являются среднеквадратическими отклонениями соответственно от Г = 1, и от =- О. Поэтому полную длительность сигнала следует приравнять 2Т,ф, а полную ширину спектра (включая и область отрицательных частот) — величине 2Й, . Произведение Т,фй,ф зависит от формы сигнала, однако оно не может быть меньше 1/2. Оказывается, что наименьшее возможное значение Т, йеф — — — !/2 соответствует колоколообразному импульсу'.

Метод моментов применим не к любым сигналам. Из выражений для Т, и й, видно, что функция з(1) с увеличением /должна убывать быстрее, чем 1//, а функция 5 (оз) — быстрее, чем 1/ю, так как в противном случае соответствующие интегралы стремятся к бесконечности (расходятся). ' Имеются в виду сигналы без высокочастотного заполнения. з Доказательство нряведено в предыдущем кзданнн настоящего учебника. См, также 1311. В частности, это относится к спектру строго прямоугольного импульса, когда саа Эа (со) с(со = ) соа Миа(сети/2) Г / 1 1 с(со=4 ~ ( — — соя соти)с(со-и со, ( /2)' В этом случае выражение для Т, Йао не имеет смысла и оценку эффективной ширины спектра прямоугольйого импульса приходится основывать на иных критериях. Рассмотрим некоторые простые сигналы типа видеоимпульсов, т.

е. сигналов, спектр которых сосредоточен в области низких частот, и определим с помощью равенства Парсеваля энергию, содержащуюся в полосе Ь| от со = О до некоторой граничной частоты от„р — — 2п/„р. и Р Эд/ =- — ~ Э'(со) с(~. о Относя затем Эд/ к полной энергии импульса 3, определяем коэффициент (/~ р 'си) Эд/ /3 характеризующий концентрацию энергии в заданной полосе, В качестве исходного сигнала примем прямоугольный импульс, затем рассмотрим треугольный и колоколообразный (гауссовский). Последний особенно показателен, так как для него обеспечивается максимально возможная концентрация энергии спектра в заданной полосе Π— /„Р. Для прямоугольного импульса в соответствии с (2,68) гр Эд/ =-.

(Ати) — ) с(со ~= А т„— — Х 1 Г а(п' (сети/2) 1 2 ,) (е>ти/2)а л ти о гр и/ С(Х Эт) ~ гр и) сдс Э 4а.т к о Вычислив интеграл', получим согрти! 2 Г ° ) а(п'(сегрти/2) ~ )= ~'"и- ' согр ти/2 Г а!Их где а! (у) =~ — ' с(х — интегральный синус. к о Переходя к аргументу — "" " = и/„рт„записываем и/гр ти Для треугольного импульса, спектральная плотность которого определяется формулой (2.73), а полная энергия Э =- А'ти/3, т Интегрирование ио частям дает ь ь Мпа х! Г2а!нх соа х а(и Ь вЂ” — ) ' с(х еи — — + а( (2Ь) . Ь о о о 47 гумлулап апусьвсгсл-ий ,Цз О,Ь О,Ь дг йд (о Рнс. 2.23.

Доля энергии сигнала в полосе йят» (а) и деформация импульса при усе- ченин спектра (о) мгр , а1тя 5(п /Ага!а ! Г 4 Э = ~ — ) — ~ с(со = Эг) (оэ„р тн!4), 2 ) и готя!4 о где' т) (со,в т„!4) = т) ( ) .= — 3! с(х. ! пггртгг ! 3 (" Мпах ха в Для гауссовского импульса в соответствии с (2.77) получаем амгв 2 е ' с(х =-Эг)(асогр), (у гр Эд(=Аа2паа — ~ е ™с(го=)'аАва а где Э .—.— )г и А'а — полная энергия гауссовского импульса, а функция ИО1 т)(аагр) = — ~ е — "'дх =Ф(авгр) — интеграл вероятности. 2 в ' Последовательное интегрирование по частям приводит к следующей формуле: *о р" (Ь) 2и (2Ь) +4 М (4Ь)~, 2 Ь ! где гр (Ь) =-а(па Ь; гр'(Ь) = — (2 Мп 2Ь вЂ” ьгп 4Ь); гр' (Ь) =-2Ь (соа 2 — соа 4Ь), 2 48 Учитывая, что длительность гауссовского импульса определена в п, 3 9 2.10 и равна 2а, аргумент функции г) можно записать в форме аоэ„ = п("„т„.

Функции т) для трех импульсов представлены иа рис. 2.23, а. Йтак, значение произведения г„рт„, требующееся для заданного т), максимально для прямоугольного импульса (при э) ) 0,9) и минимально для гауссовского. В частности, уровню э) = 0,95 соответствуют значения (,рт„, равные 1,8; 0,94 и 0,48. Выбор границы спектра по энергетическому критерию в некоторых практических задачах не всегда приемлем. Так, если при обработке импульса требуется сохранить его форму достаточно близкой к прямоугольной, то у„вт„должно быть гораздо больше единицы.

Для иллюстрации этого важного положения на рис. 2.23, б показаны исходный импульс (штриховая линия) н его деформация при усечении спектра на уровнях )гати = 1,3 и 5. В любом случае при заданной форме сигнала сжатие его во времени с целью, например, повышения точности определения момента его появления неизбежно сопровождается расширением спектра, что заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства.

Аналогично сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения частоты неизбежно сопровождается растяжением сигнала во времени, что требует удлинения времени наблюдения (из мерен и я). Н евозмож ность одновременно с концентрировать сигнал в узкой полосе частот и в коротком интервале времени представляет собой одно из проявлений известного в физике принципа неопределенности. Вопрос о величине произведения длительность Х полоса актуален в связи с проблемой электромагнитной совместимости, возникающей при взаимных помехах радиостанций.