Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986), страница 14

В соответствии с этой теоремой сигнал з (!), ограниченный по спектру наивысшей частотой со = 2п/, можно представить рядом з (/) =- ~' з ( — 1 = ~ а (пб!) ср„(!). (2.! 14) В этом выражении 1/2/ = А/ обозначает интервал между двумя отсчет- ными точками на оси времени, а в (п/2/ ) = з (пМ) — выборки функции з (/) в моменты времени ! = пбб 'Снл Трояна Ю, В. Утеряна дельта. функция! — Радиотехника н электроника, 1988, № 2, с. 408. г-(и+ил г Рис. 2.3), Представление сигнала рядом Котельниноаа 1!редставление заданной функции з (!) рядом (2.1!4) иллюстрируется рис. 2.31. Функция вида 5)п ага, (т — пЛ!) р.(!) = а>г» (г пбб (2.115) уже встречавшаяся ранее (см. 9 2.10, рис. 2.19, а), обладает следующими свойствами: а) в точке ! =- пЛ! гр„(пЛ!) = 1, а в точках ! = ЛЛ(, где й — любое целое положительное или отрицательное число, отличное от и, гри (йЛ!) = 0; б) спектральная плотность функции тр, (!) равномерна в полосе частот )гп(( ы,„и равна !г'2)".„= Ысо !см, (2.82) и рис.

2.19, б). Так как функция гр„(!) отличается от гра (!) только сдвигом иа оси времени на пЛ), то спектральная плотность функции чт„(!)  ма па Л!е гпь! ! Ф„(го) =- 2~„, 0 при — <о (го( го (2,116) при со( — со и со)отм. )1 гр„))а аа ~ " г(! = — 1~ — г(х = — =Л!. т)памм(! — пЛ!) ! Г Мп'х п меа, (! — пЛг)' гом,1 ха ам Не предрешая заранее значения коэффициентов ряда (2.114), применяем для их определения общую формулу (2.9), справедливую для обобщенно- оо Модуль этой функции изображен на рис.

2.32, б, То, что ряд (2,!!4) точно определяет заданный сигнал з (!) в точках отсчета, не требует дополнительных доказательств, поскольку коэффициентами ряда являются сами выборки из функции, т. е. величины з (пЛ!). Можно доказать, что ряд (2.114) определяет функцию э (!) в любой момент 1, а не только в точках отсчета ! =- пЛ!. Воспользуемся для этого общими правилами разложения функции по ортогональной системе, изложенными в Э 2.2. В данном случае разложение производится по функциям вида (2.! 15), для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а норма )!тра)! в соответствии с (2.5) го ряда Фурье — (1) ср.

(!) !' 1 М (2. 117) При этом исходим из условия, что з (!) — квадратично-интегрируемая функция (энергия сигнала конечна). Для вычисления интеграла в выражении (2.117) воспользуемся формулой (2.63), согласно которой г (!) ~рн (!) Й = — ( 5 (оз) Ф„' (о>) <М = 1 2н — и н~ н~ 5 (ы) езны °,(сн 2)н~ (2.1 17') Пределы интегрирования здесь приведены в соответствии с заданной граничной частотой от„=- 2п!',н в спектре сигнала, а также в спектре функции срн (!).

Интеграл в правой части (2.117) с коэффициентом 1(2п есть не что иное, как значение г (!) в момент ( = пЛЛ Таким образом, Рис. 2.32. Связь межлу спектром сиг нала г(11 и спектром базисной функ нии ср,(1) 61 г(!) ср„(1) с(! =Л!г(пЛ!), Подставляя этот результат в (2.117'), получаем окончательное выражение с„= з (пЛ!), из которого следует, что коэффициентами ряда (2.114) являются выборки функции г (1) в точках ! = пЛ!.

Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспечивает непрерывность функции с (!), ряд (2.114) сходится к функции г (!) при любом значении !. Соотношение между спектром 5 (2п!) сигнала г (!) и спектром Фн (2п() базисной функции срн (г) при Л! = !!27„, ш иллюстрируется рис. 2.32, а и б.

Если взять интервал между выборками Л!' меньшим Л! =- !У2) о то ширина 2(' спектра Ф„' (ы) функции тр,', (г) <ол (гп~) будет больше, чем у спектра 5 (со) бГ 6 (рис, 2.32, в). Это повышает точность представления сигнала э (!), так как исключается возможность неучета <хвостов» спектра 5 (оз) вне граничных частот ) „,; кроме того, ослабляются требова- -гм и тт ния к АЧХ фильтра, восстанавливаюлт >ж а,"(г г1 щего непрерывный сигнал. При увеличении же Л!" по сравне- н нию с Лг (рис. 2.32, г) спектр Ф;; (ы) функции ~р„(!) становится уже, чем спектр сигнала г (!), и при вычислении интеграла в выражении (2.1!7) пределы интегрирования должны быть — 2л) „, 2л)„", вместо — 2л1,„, 2л1 .

Коэффициенты сл при этом являются уже выборками не заданного сигнала з (1), а некоторой другой функции з, (1), спектр которой ограничен наивысшей частотой )" (1 Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала з (1) конечна и равна Т„а полоса частот по-прежнему равна 1„. Эти условия, строго говоря, несовместимы, так как функция конечной длительности обладает теоретически бесконечно широким спектром.

Однако практически всегда можно определить наивысшую частоту спектра ( так, чтобы «хвосты» функции времени, обусловленные отсеканием частот, превышающих 1„„содержали пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией исходного сигнала э (1). При таком допущении для сигнала длительностью Т, с полосой частот ( общее число независимых параметров !т. е, значений з (пЛ1)), которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно, будет О| = т,1Л1 = 2~„ Т„. При юом выражение (2.114) принимает следующий вид (при отсчете времени от первой выборки): »|сл'с х (1) = У 3 ( Л1) """" |' ""1 .

(2. 118) Опл (1 — »Л11 л=с Число А1 иногда называют ч ислом степеней сво боды сигнала з (1), так как даже при произвольном выборе значений з (пЛ1) сумма вида (2. !18) определяет функцию, удовлетворяющую условиям заданного спектра и заданной длительности сигнала.

Число 1«' иногда называкл также б а з о й сигнала. Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через заданную последовательность временных выборок, Используя формулы (2.16) и (2.123), а также равенство (1ср,,|!О =- Л1, получаем »1ттс »1»тс Э= ~ (з(пЛ1))»1! (,„!)»=Л1 Ч '(э(пЛ1))с, .—.О л. О »1 „/с сс(1) = — = — ~' )З(пЛ1))с = Т' !Э(ПЛ1)!с.

тс тс 2|л Гс л» л= О л=-О Из последнего выражения видно, что средняя за время Тс мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборок, число которых равно 2~„Т«. 2.18. ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ Иногда сигнал необходимо представить с помощью ч а с т о т н ы х в ы б о р о к спектральной функции Я (со), а ие временных выборок функции з (1), Для функции 8 (О») можно составить ряд, аналогичный выражению (2.114).

Для этого базисная функция ср„(1) = з!пс (сол, (1 — пЛ1)) (см, |2.115)! (тс должна быть заменена функцией ср„(со) = з|пс ~ (О» — пЛс») 1 = =з!пс~ — (со--п — )~, которая получена из (2.115) заменой 1на о, полу- 2( Тс) ширины спектра »1„, На пОЛуДЛитЕЛЬНОСтЬ СИгнаЛа Т,12 и А!=1|21'„, иа Лсо,= 2л1'Т,. Таким образом, тс М п — (ат — лам! 2 1т гс Б (пЛм) н= — Г т т с (м — лает) 2 Тс! 2л Гс а! и (ат — л — ) 2 г~ т) / с (2.119) Расстановка частотных выборок иллюстрируется рис. 2.33.

Если ранее временнбй интервал между двумя соседними выборками Л1 не должен был превышать 2п)2ы, тотеперь частотный интервал Лсо не должен превышать 2п(Т,. При ширине спектра 2~око охватывающей область частот — то„,( то ( от, число выборок равно 2от„1Лто =- 2),„Т„как и при представлении сигнала рядом (2.!18). В общем случае выборки 8 (п2п1Т,) являются комплексными числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два параметра — действительная и мнимая части $ (п2и)Т,) (или модуль и аргумент). Таким образом, общее число параметров получается вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда выборки з (п)2)' ) — действительные числа. Избыточность представления сигнала в частотной области легко устраняется, если учесть, что 8 (п2п!Т,) и Б ( — п2п!Т,) являются комплексно-сопряженными функциями, так что задание одной из них однозначно определяет другую, Таким образом, спектр сигнала полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок„взятых только в области положительных частот, и числом независимых параметров или степеней свободы сигнала М = 2~ Т„как и при представлении сигнала во временнбй области.

К приведенному выше определению максимального допустимого интервала Лсо = 2и~Т„ основанному на замене 1 со в (2.!14), можно прийти и с помощью строгих рассуждений. Полагая, как п в 5 2.15, заданными длительность Т, и спектр Я (<о) сигнала з (1), предсгавляем этот сигнал в виде ряда Фурье (вместо интеграла Фурье) ал ~л — 1 т Т» Т, а(1)= У сае "де Т» ~ Тс — произвольный отрезок оси й включающий в себя отрезок Т,.

В соответствии с (2,22) и 12.56) коэффициенты йя ан — сл Й =. тета ! сн = — ! к(1) е — г,а с 1 2л — $ со=п— Т. Т. , ( ,) а>т ' ' лса У т1ат Зиса ' ' нЬа ат Как видим, коэффициенты сн, -слтн гам будучи умноженными на Тсо есть НЕ ЧТО ИНОЕ как ЗНачеНИЯ 'СПЕК' Рис, 2.33 Дискретиаания спектра сигнала ральной плотности 8 (со) на дне по котельникону !!!!!!!!!!!! 2п кретных частотах и — = пЛоу, т. е.

отсчеты 3 (пЛго), фигурирующие в та выражении (2.119). Очевидно, что максимально допустимый интервал между отсчетами на осн частот соответствует условию Тт = Т„, т. е. Лвт ( 2пг'Т„. 2.! 7. ДИСКРЕТИЗОВАННЫЕ СИГНАЛЫ В предыдущих параграфах под дискретизацией сигнала з (г) подразумевалось аналитическое его представление с помощью совокупности отсчетов в дискретные моменты времени пЛЛ В современной радиоэлектронике широко распространены системы, в ко. торых осуществляется дискретизация сигнала, например, при использовании импульсных методов передачи сообщения в радиосвязи.