Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986), страница 10

К определению спектральной плотности треугольного импульса 38 Спектральная плотность отрицательного импульса, показанного на рис. 2.17, б, соответственно А Мп (оотп/4) — аотп/4 оотп/4 Суммарная спектральная плотность двух импульсов о)п (олп/4) . 1ат /4 †по, ол . . Мп (олп/4) (е — е "' )=-12/1 оота/4 олто/4 (2.72) Спектральная плотность треугольного импульса, являющегося интегралом от функции в,' (/), получается делением предыдущего выражения (2.72) на /оо (см. (2.60)1: 2А Мп'(мтп/4) Атп ( Мп<отп/4 )' ол втп/4 2 ( олтп/4 (2.73) 3. КОЛОКОЛООБРАЗНЫЙ (ГАУССОВСКИЙ) ИМПУЛЬС (РИС. 2,18, а) Представленный на рис. 2.18, а импульс определяется выражением во(/)=Ае — "/"', — со(/( оо, (2.74) Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей, называется также гауссовским импульсом.

Постоянная а имеет смысл половины длительности импульса, определяемой на уровне е-'/' = 1/е'/' от амплитуды импульса. Таким образом, полная длительность импульса т„равна 2а. Применяя выражение (2.48), получаем 8о (оо) =- А ) е — '*/о" е — '"' о(/, (2.75) Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы где величина о( определяется из условия /оо/ =2(//~/ 2а) о(, Множитель Атп/2 = Яо (О) — площадь треугольного импульса. График Яо (ол) представлен на рис. 2,17, в.

Полезно отметить, что уровень боковйх лепестков спектра треугольного импульса убывает пропорционально 1/олт, а не !/ол, как в случае прямоугольного импульса. Большая скорость убывания спектра объясняется отсутствием разрывов в рассматри- Ъ ваемой функции. Аналогичная картина была отмечена в 2 2.4 при рассмотрении линейчатого спектра периодической последовательности треугольных импульсов. Обобщение этого важного вопроса, основанное на использовании аппарата дельта-функций, дается в 2 2.13.

откуда с( = (гоп/)/2. (2,76) Таким образом, выражение (2.75) можно привести к виду Э 8 (га)=Аек' ~ е — ('/Кз "+") с(( ) Переходя к новой переменной х = ((/~'2а) л с(, получаем Ьа(го) =-Ае"')/2а ~ е — "*г(х. это выражение интеграл равен )/ л, окончатель- и! Рнс. 2ЛВ. Колоколообразный совскнй) импульс (а) н его тральная плотность (б) (таус спект Учитывая, что входящий в но получаем 8,(оз) --. А )/2пае — '*"*/' =Ве — "*/'ь*, (2.77) где Ь =-1/а; В =. )/2паА. График этой функции изображен на рис.

2.18, б. Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить / на го или наоборот. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне е-'/' от максимального значения, равна 2Ь = 2/а = 2 2т„= 4гп, а коэффициент В = )/2паА. Гауссовскому спектру Б (го) =Ве — ы*/'ь* (2.78) соответствует гауссовский импульс а (/) Ае — аен/а,.

и(' е — ь*н/з )/2п (2.79) с длительностью 2/Ь и амплитудой А = ВЬ/)/2п. Очевидно, что чем меньше длительность импульса тп, тем шире спектральная полоса 2Ь. 4. ИМПУЛЬС ВИДА Я)МС (Х) На рис. 2.19, а изображен импульс, определяемый выражением 54 (() = 5! пс (озь () з1п О)щ Г ып 2п/,д Г ы„, г 2п/„, г (2.80) Вместо вычисления спектральной плотности по формуле (2.48) воспользуемся результатами п. 1 данного параграфа и свойством взаимной заменяемости ьз и Г в преобразованиях Фурье для четных функций времени (см.

п. 7 5 2.8). Из рис. 2.14 очевидно, что после замены оз на г и / на го заданной функции эа (/) будет соответствовать спектр прямоугольной формы. Остается лишь найти площадь этого спектра и его уровень. 40 — 2аПл 0 2тгба ВС Рис 2 !у. Иии)льс ви,са ыпс пл.„)) (а) и всо спсьтральиав плотность СЛ) Зля этого сопоставим абсциссу ( -- и, сов, на рис, 2. )9, а с аналогичной абсциссой ос = 2п ти на рис. 2.(4, б. Очевидно, что при замене (на ос (или наоборот) в данном примере необходимо исходить из соответствия гпссо„,— 2псти, т.

е. ти — ь 2о>пп откУда следУет, что 2сои, и есть искомаЯ шиРина спектра Яа (вс), Уровень спектра, равномерный в полосе — ыл, ( ы < ыл„ проще всего определить по его значению в точке со †. О, для которой 5, (О) равно площади импульса (см. (2.55) (: Мпиплс ! А !' Мок сол~ С всга, х --к !2.8!) ь)в~ ))так, окончательно ( с( 2)',и при ( ис ( ~ ылп $с (со) = ! 0 при (со(>исв,, (2,82) 3. ГРУППА ОДИНАКОВЫХ И РАВНООТСТОЯЦ(ИХ ИМПУЛЬСОВ Спектральную плотность первого импульса в пачке (рис. 2.20) обозначим через 5, (пс). Тогда для второго импульса, сдвинутого относительно первого иа время Т (в сторону запаздывания), спектральную плотность можно на основании (2.57) представить выражением 5а (ы) —.

5, (ы) е-с"', для тре.сьего импульса 5а (св) =- 5, (ос) е — гс'ат и т. д. сдля группы из Ас импульсов в соответствии с принципом линейного суммирования спектров при сложении сигналов спектральная плотность 5(ы) =5,(со) ! ! )-е ."" ° е -гс"г;- ... - е (2.83) ха (() (С = А ~' А 2)ы При частотах, отвечающих условию со - л2п)Т, где )г — целое число, каждое из слагаемых в квадратных скобках равно единице и, следовательно, 5(lг2п Т)=ст'5с (lг2п Т! (2.84) Таким образом, при частотах си =- )г2п Т модуль спектральной Рис. 2.20, Павка одинаковых, равноотстон- ьпих импульсов г гц гтг о т г Рис. 2.2!, й)пауль спектральной плотности пакли из трех (а) и ~етмрех (о) иипульеон плотности' пачки в )и' раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что спектральные составляющие различных импульсов с указанными выше частотами складываются с фазовыми сдвигами, кратными 2п.

При частотах же но . (1'У) (2п Т), а также при некоторых других частотах, для которых сумма векторов е — 'ег обращается в нуль, суммарная спектральная плотность равна нулю. При промежуточных значениях частот модуль 5 (~о) определяетгя как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных импульсов. В качестве иллюстрации иа рис. 2.21, а изображен спектр (модуль) пачки нз трех прямоугольных импульсов, а на рис. 2.21, б — из четырех при интервале между соседними импульсами Т .= Зги. Штриховыми линиями показана спектральная плотность одиночного импульса. С увеличением числа импульсов в пачке спектральная плотность все более расщепляется и в пределе при А' оо принимает лииейчатую структуру спектра периодической функции (см.

рис. 2.12). 2.!!. БЕСКОНЕЧНО КОРОТКИЙ ИМПУЛЬС С ЕДИНИЧНОЙ ПЛОЩАДЬЮ (ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ) Некоторые из возможных импульсов, площадь которых равна единице, изображены на рис. 2.22. Амплитуды всех этих импульсов обратно пропорциональны соответствующим образом определенной длительности. При стремлении длительности к нулю амплитуда обращается в бесконечность.

а площадь импульса остается неизменной и равной единице. Амплитуду прямоугольного импульса следует приравнять величине 1'х, (рис. 2.22. а). где х, —. длительность импульса 42 При гауссовском импульсе (рис. 2.22, б) амплитуда должна быть приравнена 1/)'2ла, поскольку е — "/'" с(х=) ' 2л а, Наконец, для импульса вида з(п (2л~„х)Улх (рис. 2.22, в), площадь которого равна единице, амплитуда равна 2~„(при х = 0). Длительность импульса (главного лепестка) обратно пропорциональна параметру При устремлении параметров х, и а к нулю, а )„к бесконечности все три изображенные на рис, 2,22 функции можно определить следующим образом: ) со при х=О, 6(х) = 0 при х~О (2.85) при одновременном условии 1 6(х)с(х=площадь импульса =1.

(2.86) Функция б (х), обладающая указанными свойствами, называется е д иничным импульсом, импульсной функцией или дельта-функцией (а также функцией Дирака). Применительно к исходным функциям, изображенным на рис. 2.22, б и в, дельта-функция должна быть определена выражениями б (х) =1(гп — е- "у'"', 6 (х] =1пп !в(п (2л(„х) лх).

н о ')/2л о Возможны и 'другие многочисленные определения 6 (х). При сдвиге импульса по оси х иа величину х„определения (2.85), (2.86) должны быть записаны в более общей форме при х=.ь;и при с~хи, 6(х — хи)= ( ! О (2,87) ) 6(х .и) х=!, (2.881 е-ь 1 )/Ът о 6 (х-- х„) =1Ип Мо 2н(„, (к — ль) 6 (х --х„) =1(пт (2.90) л (а — тл л ау л л ву Рис, 2.22.

Иннульсы ооран~анициесн н лельтасфункцию нрн стремлении к аул~о Лл и тел ьн ости 43 Функция 6 (х) обладает важными свойствами, благодаря которым она получила широкое распространение в математике, физике и технике. Из определений (2.87), (2.88) вытекает основное соотношение 6 (х — хо) ~ (х) с(х тв 1 (хо) ( 6 (х -хо) дх =) (хо). (2. 91) Так как по определению функция 6 (х — хо) равна нулю иа всей оси л, кроме точки х =- х, (где она бесконечно велика), то промежуток интегрирования можно сделать сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя точку хо, В этом промежутке функции г (х) принимает постоянное значение )' (х,), которое можно вынести за знак интеграла. Таким образом, умножение любой подынтегральной функции (' (х) на 6 (х — х„) позволяет приравнять интеграл произведения значению ) (х) в точке х .. х,.

В математике соотношение (2.91) называется фил>ттрцюп(ил> свойством дел ьта-фун к ци и '. В теории сигналов приходится иметь дело с дельта-функциями от аргументов ( или о>, в зависимости от того, в какой области рассматривается функция — во времеинбй или частотной. Рассмотрим сначала свойства функции 6 ((). В этом случае основное значение имеет спектральная характеристика дельта-функции. В 9 2.10 было установлено, что при сокращении длительности ти прямоугольного импульса (неизменной амплитуды) ширина основного лепестка спектральной плотности увеличивается, а величина 5 (0) быстро умевыпается. В данном же случае, когда уменьшение длительности импульса сопровождается одновременным увеличением его амплитуды, значение спектральной плотности остается неизменным и равным величине 5 (0) 1 для всех частот — оо ( о> ( оо. То же самое имеет место при укорочении любого из импульсов, показанных на рис. 2.22.

Следовательно, спектральная плотность дельта-функции вещественна и равна единице для всех частот. Из этого также вытекает, что ФЧХ спектра дельта-функции 6 (() равна нулю для всех частот. Это означает, что все гармонические составляющие единичного импульса при нулевых начальных фазах, суммируясь, образуют пик бесконечно большой величины в момент времени ( =- О. Аналогично функция 6 (( — (о), определяющая единичный импульс в момент Г„имеет спектральную плотность 5 (о>)== е — ' ".