Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986), страница 13

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ЧАСТОТЫ Анализ прохождения сигналов через линейные цепи, описываемые комплексной передаточной функцией, значительно облегчается при использовании методов контурного интегрирования на плоскости к > м п л е к с н о й ч а с т о т ы р = о + !!а, Переход от действительной переменной <а к р = = о ( иа позволяет также полностью устранить ограничения, вытекающие из требования абсолютной интегрируемости функции з ((). Представим функцию з (!), в общем случае существующую при — аа ( ( (( а, в виде суммы двух функций: з(0 =э+ (О ' а- (О из которых з+ (() задана при 0« ' (~ аа, а х (() — ири — аа( ! О.

Обращаясь к паре преобразований Фурье (2.48), (2.49), совершаем переход от ы к р сначала для функции э+ (!). Для этого домножим э„(() на е- ', где и, ) 0 выберем 'таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции е-' ' з~ (() в пределах 0 ( ! а. а . Тогда выражение (2.49) принимает вид 1 е — а ' аэ !() *= — ! 8е (<а) е"а !(!а, (2 49') дл причем Яэ (!а) является спектральной плотностью функции е ' ' зе ((). Теперь подставим в (2.49') !'!а = р — а, и !а .—.

(р — о,) !': а,-'-! Еа а !З~(!) = — ( Ь ! !' ' )е<г а !!!(р а,— ! откуда а, з (()= — ( Ь ( ~ '1е!"!(р= — ~ (,, (р)еа!!(р. (2.10!) а,— ! а,— ! Новая функция (.,~ (р), являющаяся не чем иным, как спектральной плотностью сигнала е " ' з+ (() (см. комментарий к (2.49')1, определяется выражением й, (р)=8+~ "' "' ) =8„(!а) = ~ е.

"" зе (!) е -'"'г(0 ! Ъ откуда (.„.! (р)= ( з (!)е а!г(!. (2.102) а 1!олученное соогно!пение называется и р е о б р а з о в а н н е м (односторонним) Л а п л а с а ф у н к ц и и за (!). л,ь щаз Гтааз ! дех е Рис. 2.27. Замыкание контура интегрирова- ния для представления функпни та(11: а> при!>в, л1 при с(а Рис. 2.26. Путь интегрирования по прямой о1 — (оз, и,+гео на р-плоскости (а); образование замкнутого контура добавлением дуги А!УС при и- (б) зе(() = — ( й„(р) еп'г(р = — 1, 1, (р)ев'др = ~'.гегп (2.!03) 2гп 2п! лвсл где Х гез — сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции. р!ри проведении же дуги в правой полуплоскости, т. е.

при (( 0 (рис. 2.27, б), полюсы функции Е„(р) ел' оказываются вне контура интегрирования и в соответствии с теоремой Коши интеграл по замкнутому контуру равен нулю. Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура интегрирования получим: при 1 ) О (контур по рис.

2.27, а) з„ (() определяется выражением (2. 103); при (( 0 (контур по рис. 2.27, б) зе(1)= — ~ !.„, (р!ел'бр= — ф (.,+(р)ег'г(Р=О, (2,!041 2пз 2п! «Ьс з Соотношение (2.101) по аналогии с выражением (2.49) часто называют обратным преобразованием Лапласа. Сравнение выражений (2.101) и (2.49) показывает, что переход от ы к р означает изменение пути интегрирования. В выражении (2.49) интегрирование ведется по действителыюй оси <о, а в выражении (2.!01) — по прямой, проходящей параллельно мнимой оси (го на расстоянии а, вправо от этой оси (рис. 2.2б, а).

Значение постоянной о, определяется характером подынтегральной функции в (2.10!1: путь интегрирования должен проходить правее полюсов этой функции. Добавлением к прямой о, — (оо, о, + (оо дуги бесконечно большого радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования (рис. 2.26, б). Для того чтобы добавление этой дуги не изменяло значения интеграла, нужно руководствоваться следующим правилом; при положительных значениях 1 контур должен быть расположен в левой полуплоскости переменного р, а при отрицательных 1 — в правой. Тогда в первом случае при ( ) 0 (при проведении дуги в левой полуплоскости (рис.

2.27, а)) контур интегрирования охватывает все полюсы подынтегральной функции (лежащие левее прямой о, — (ео, о, - (оо) и в соответствии с теорией вычетов интеграл (2.101) определяется как Напомним важное свойство контурного интеграла: он не зависит от формы замкнутого контура, по которому проводится интегрирование, если только полюсы подынтегральиой функции остаются внутри контура, На основании этога свойства контур, образованный добавлением дуги АВС бесконечно большого радиуса (см. рис. 2.27, а) к прямой о, — !оо, о, -1- гоо, можно произвольно деформировать при соблюдении условия, что все полюсы, расположенные левее прямой о, — гоо, о, + !оо, остаются внутри контура.

Итак, вычисление интеграла (2.103) сводится к определению вычетов в полюсах подынтегральной функции. На рис. 2.27, а показано положение полюсов для следующих функций времени: з, (1) =- е — г„1) О, р! = — ссз, ( е — 'созо>эз(, () О, з(1)=( " ' ' рм ря= — а~(соы , е "Из(пюэт(, 1:.в0, (2. 105) ( со. юэз 1, ! ..в О, 51п соээ1, ! гы О, (2.

105') Рассуждения, аналогичные предыдущим, можно привести для функции з (О заданной при — оэ ( ! ( О. Домножив з (0 иа е о*, при сга ( О, выбранной таким образом, чтобы обеснечнвалась абсолютная интегрируемость функции е о'гз (О в пределах † ~ ! ( О, можно написать о о йз (р) = ) з (г) е и'ге "'!Ш= 1 з (йе шг)1, (г, 100> о,-1-! з (0=- — ~ й (р) е" лр. 2л! (2. 107) Контур интегрирования для данного случая показан на рис. 2.28.

Интеграл равен сумме вычетов в полюсах функции ь, (р) ея!, расположенных в нравой полунлоскости р. Эту сумму следует взять со знаком минус, носкольку при ! ( 0 контур обходится по часовой стрелке. Выражения (2.102), (2.106) и (2.101), (2.107) можно объединить следующим обра. зом: й (р) =С.Ъ (10+Сз- йэ) (2.108) Г о,-ь! а, -ь! з(!)= —. ) ьэь (у) ел~бр+ ) ьз (р) ея бр 2н! о,— ! а, — !«. (2. 109) Соотношение(2.108)называется двусторонним преобразованиемем Лапласа. Области сходимости функций ь,+ (у) и ь, (р) на плоскости р показаны на рис, 2.29.

Для ьз (р) эта область расноложена справа от прямой о = — ог, на которой расположены полюсы (комнлексно-сопряженные), а для (., (р) — слева от прямой о == !оз). Область сходимости для ь, (р) имеет вид полосы шириной ог + )оэ), П>ть интегрирования должен проходить по прямой, расположенной внутри этой полосы н параллельной оси !ы, а также по замыкающей дуге, расположенной в левой полуплоскости для ! 0 и соответственно в правой полунлоскости для 1( О.

Одностороннее преобразование Лапласа получило особенно широкое распространение нри анализе переходных процессов, связанных с действием на цепь внешней силы, когда начало отсчета времени совмещают с началом воздействия. Двустороннее преобразование Лапласа находит все большее применение при анализе процессов и фуннций времени, двусторонних но самой своей сути (например, корреляционных фуннций, рассматриваемых в й 2.18). зг (оа( Рис. 2.28.

Замыкание контура интегрировавия для представления функции з (1) при 1<0 Рис. 2.29. Области сходнмости при двусторонвем преобразовании Лапласа /., (Р)= ) зобе г с)1= ) з( — 1)е "1 ~Н( — 1)= ~ з(/)ен б/= =-0*+1 — Р). (2. 110) Поясним применение выражений (2.106) — (2.1!О) на двух примерах. 1. Четная функция з (1)= е о )г! при а ) 0 (рис. 2.30). По формулам (2.102) и (2.110) находим й.+ (Р) =- !/(а+Р), й — (И=)/(ц — /) Тогда йз(р) =. !/(а.(-р)+1/(а — р) =2а/(аз — Рз).

(2, 111) 2. Прямоугольный импульс при отсчете времени от фронта (см. рис. 2.16) или от середины импульса (см. рис. 2.14, а). В первом случае /.,(И=(1/И(! — е Р ). вн Во втором случае /., (и) =- /-.+ (И+ а.— (Р), где 1 /.,+(Р)= — (! — е-" "); сз (Р)=й,+( — И= Р (1 с+Рта/ ) — Р Таким образом, й„(И =(1/Р) (Еяти/З вЂ” Е Рти/ ). (2. 112) Большинство свойств преобразования Лапласа совпадает с аналогичными свойствами преобразования Фурье, изложенными в 3 2.8. Если сигналу з (() Рис. 2.30. Пример функции времени, требующей применения двустороннего преобразования Лапласа ' При рассмотрении четных функций з (1) = з ( — 1), когда можно считать зе (1) = = з ( — 1), имеет место следующее соотношение: соответствует изображение по Лапласу Е, (р), то имеются следующие соот- ветствия: з (/ — /о) †; е ' Е, (р), з (!) е- ' эс Е, (р -~- сс), в (/) е'"' —; Е, (Р— !сао), з (/) соз соо ! + '/,Е., (Р— (от,) ~- т/оЕ (Р ! !ю ) — —: рЕ.(р) ~ (!) й! —:(1/р) Е.(р), ~ з,(у) з,(! — у) йу+Е,(р) Е,(р), о В заключение остановимся на правилах перехода от изображения Ла- пласа к преобразованию Фурье 3 (ьт) (имеются в виду односторонние преоб- разования Лапласа).

Если на оси /со функция Е, (р) не имеет полюсов, то для такого перехода достаточно в (2.102) положить о, = О, т. е. перейти от переменной р к пере- менной /от. В противном случае, чтобы избежать ошибки, необходимо опре- делить вклад этих полюсов в спектральную плотность сигнала'. Дело в том, что интегрирование функции Е, (р) егл по полуокруж- ности бесконечно малого радиуса с центром в полюсе р, = !ю приводит к гармоническому колебанию с частотой от, и амплитудой 1/2.

Спектральная плотность такого колебания, равная пб (со — тат), должна быть прибавлена к сплошному спектру, обусловленному интегрированием по оси /со. Так, для функции Е, (р) с одним полюсом в точке р, = 0 (з (!) = 1, / > О! мы ранее получили В(со) =пб(от)-! 1/!оч для функции Е, (р) с двумя комплексно-сопряженными полюсами рг о —— = -Ь/ооо (а (!) = соз свой ! ~ О! спектральная плотность будет В(оо) = и !б(<о — соо)+ б (со+сон)! (2,113) и т. д. (см. приложение 1). Изображения по Лапласу и соответствующие им спектры Фурье неко- торых распространенных в теории сигналов функций приведены в табли- це 2.1. 2.15. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ С ОГРАНИЧЕННОЙ ПОЛОСОЙ ЧАСТОТ В ВИДЕ РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА, В теории и технике сигналов широко используется теорема Котельникова (теорема отсчетов): если наивыпиая частота в спектре функции з (!) меньше, чем /, то функция з (!) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на 1/2/ секунд.