Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986), страница 12

С этой точки зрения наиболее желательна форма импульсов, близкая к колоколообразной. 2, СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ СПЕКТРА ВНЕ ОСНОВНОЙ ПОЛОСЫ Для выявления связи между поведением 5 (со) в области относительно высоких частот и структурой сигнала з (с) воспользуемся свойствами таких испытательных сигналов, как единичный импульс и единичный скачок. Единичный импульс 6 (1) является единственной функцией, имеющей неубывающую спектральную плотность на всей оси частот — оо ( м С оо.

Поэтому можно утверждать, что сигнал з (с), спектр которого вне основной полосы не убывает с ростом со, содержит в своем составе дельта- функцию (в реальных условиях достаточно мощный короткий импульс). Далее, единственной функцией времени, имеющей спектральную плотность вида !!со, является единичный скачок и (|) .=. 1, 1) О. Следовательно, убывание хвоста спектра сигнала з (с) по закону 1йо свидетельствует о наличии в функции з (Г) скачков, т. е. разрывов непрерывности. Но в точках разрыва производная функции обращается в дельта-функцию (с постоянным коэффициентом, равным величине скачка). Поэтому убывание спектра пропорционально 1/со указывает на наличие дельта-функции в составе производной з' (с). Это рассуждение можно продолжить и для производных сигнала э (!) более высоких порядков, Проиллюстрируем сказанное примерами трех сигналов, представленных на рис. 2.24: с разрывом, с изломом и «гладкого» сигнала (без разрывов и изломов).

В первом примере (рис. 2,24, а) произвсдная а' [!) определяется выражением а' (!') = 6 (!) — ае-а' Г ~~ О, а = 1|со, и спектральная плотность функции з' (!) в соответствии с табл. 2.1 5, (со) =1 — ив ! |а и+с'со а+! (со) Для определения спектральной плотности сигнала з (Г), являющегося интегралом от з' (1), можно исходить из выражения 5,(со) = — 5, (тв) =— ! ! |со ' а+|со В данном случае операция !Ды законна, поскольку 5, (0) = 0 (см.

(2.60)). При ос,> а спектральная плотность $» (ы) ж 1,'ссо. Как видно из 'рис. 2.24, а, это объясняется наличием функции Ь (Г) в первой производной сигнала э (!). 49 Ь \~ СЧ х 3 3 ! 4Э Ф + 3 б т 3 ! 11 Ь4 $ 3 'е й 3 х \ х х Ю Р~ ° х + !' х ~~,„ а 1" х х х а а. Е 3 3 ч л 3 3 х х, О х 3 о 3 Я 3 3" О О л~ ч х х х х 3 И о 6 ! о 1~ В о втором примере (рис. 2.24, б) производная функции з'(/) = — ае '"' при /~О, ссеог при /<- 0 не содержит дельта-функции, но терпит в точке / = 0 разрыв. После повторного дифференцирования получим функцию, отличающуюся от исходного сигнала з (/) только масштабом по оси ординат и наличием функции — 2ссб (/).

Следовательно, спектральная плотность второй производной 5,. (гв) = сиз 3, (го) — 2а, причем при оз = 0 эта функция равна — се. Разделим теперь полученное выражение на (По)' и учтем, что Ь,.(оз)/ (ио)' есть спектральная плотность двухкратного интеграла от функции з' (/), т. е. $,- (го)/(ю'го)з = Ь, (го). Таким образом, можно составить следующее соотношение: ) ( з ~ ( ) 2 )/(-оз)з откуда вытекает равенство ~.( )=2 /( '+ ') При осла 5,(со) =-2а/озз. Отсюда видно, что разрыв первой производной приводит к убыванию спектра по закону 1/соз.

Этот результат можно обобщить следующим обра- з 4// /7 та 2та оза з Зта 2ра-та // та 2та оса т -2а -а гг а 2а р со зх аз -со бу Рис. 2.24, Примеры сигивлои: о> с разрывом; б) с взломом; а> без разрыва н взлома зом: вне основной полосы частотный спектр убывает по закону ! ы"+', где л — порядок производной, при котором возникает первый р взрыв.

С этой точки зрения сигнал, показанный на рис. 2.24, в, производные которого непрерывны при всех значениях л, вплоть до и =- оо, должен обладать спектром, скорость убывания которого является максимально возможной. Этот вывод согласуется с тем, что произведение длительность к полоса минимальна для колоколообразного импульса (см. п. ! данного параграфа). Основываясь на приведенных рассуждениях нетрудно также объяс. нить происхождение пульсации спектра вне основной полосы частот. Периодическая пульсация с неубывающими максимумами может возникать только в результате интерференции спектров двух дельта-функций, разнесенных во времени. Спектр прямоугольного импульса, пульсирующий с максимумами, убывающими по закону Гы, является наглядным примером интерференции спектров двух единичных скачков.

2.13. СПЕКТРЫ НЕКОТОРЪ|Х НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ Одним из условий применимости преобразования Фурье к функции з (() является ее абсолютная интегрируемостгп ) )з(()) (г( ° (2.95! еь А е гв 2,! 2 . На основании, формулы (2.94') получаем 5(сп! = —" (2пе'ааб (ы — ~~а)-ь2пе '" 6(ы ьм)) = 2 = Ачя(еса 6(гч — ыа) 1-е-'" 6(ы+ы„)1. (2.96) Эта функция равна нулю для всех частот, кроме ы =- ы, и ы = — ы„, при которых 8 (ы) обращается в бесконечность. Как и следовало ожидать, гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность при дискретных частотах яы и — ьм. Это условие существенно ограничивает класс сигналов, для которых существует спектр Фурье, выражаемый обычными функциями. Например, такие важные для теории сигналов и цепей функции, как гармоническое колебание, заданное при — ск ( ( со или включаемое в некоторый момент времени, единичный скачок, и некоторые другие функции не отвечают условию (2.95).

Рассмотренные в предыдущем параграфе свойства дельта-функции позволяют устранить это препятствие. Обратимся, например, к гармоническому сигналу з (() = А„сох (ы„(+ ()„), Не обращая внимания на то, что такой сигнал не является абсолютно интегрируемым, выражение для спектральной плотности запишем в форме (2.48): 5(ы)= ~ з(()е "«й =А, ~ соз(ы„г+0„)е -и'пй= а)а а д) б) Рнс. 2,25. Импульсный н монохроматиаеский сигналы (о) и их снектральные плотности (б) В частности, приравнивая о)о нулю, получаем спектральную плотность сигнала, представляющего собой постоянное напряжение (ток) А„: 8 ('о) = — 4о 2лб (о)).

(2. 97) Распространив соотношение (2.96) на все гармоники любого периодического сигнала 5(В Аеи У, Аа соз(пго)1.;.и„), а=! можно ввести понятие спектральной плотности периодического сигнала в виде суммы дельта-функций 8(ы)=А„2лб()о! - А, л!ега 6(о) — о))) ) е — 'е 6(ы —,)о))! —;- Ае л ! е'а* б (го — 2о),), - е - '"* 6 ()о „- 2ы,) ! ло ... ... -)- А„л[е)"' 6(о) —.лы)-;.е '"" 6(ы . ло)))! (2.98) Такой подход оказывается полезным при рассмотрении смеси импульсного и гармонического сигналов.

Пусть, например, отыскивается спектр суммы двух си~палов: импульсного 5, (Г) и гармонического за (1) = А, соз о),г' (рис. 2.25, а). Применяя выражение (2.48) к 5, (г), находим обычную спектральную плотность 8 (ы), определяющую сплошной спектр (на рис. 2.25, б заштрихован), Применение же (2.48) к 5, (Г) дает спектр, определяемый выражением (2.96). На рис.

2.25, б этот спектр изображается двумя спектральными линиями, уходящими в бесконечность, Отыщем теперь спектральную плотность единичного скачка. Эту простейшую разрывную функцию представим в виде суммы 5 (т) = ))а + Кт 51ЯП (Г), (2.99) где 518п (1) — сигнум-функция, равная единице, знак которой изменяется при переходе переменной 1 через нуль. Постоянной составляющей 1,2 соответствует спектральная плотность !см. (2.97)! лб (о)), а спектральную плотность нечетной функции ьа 51яп (г) нетрудно найти с помощью правила, сформулированного в предыдущем параграфе. Продифференцировав функцию )/т 51яп (1), получим производную, которая равна нулю на всей оси времени, кроме момента Г =- О, где она равна 6 (г).

Спектральная плотность 6 (1) равна единице, следовательно, искомая спектральная плотность сигнум-функции будет 1))о). В результате получаем спектральную плотность единичного скачка 8 (о)) = лб (о)) -1 1,'~о), (2.100) з4 1'1ри рассмотрении воздействия единичного скачка иа цепи, передаточная функция которых при ы = 0 равна нулю (т. е. на цепи, не пропускающие постоянный ток), спектральную плотность можно определять по формуле $ (!а) 1 !!а. (2. 100') 2:14.