Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986), страница 9

соответствует, спектр 8 (эээ) = Бэ (ш) -, 'Б., (оэ) 6. ПРОИЗВЕДЕеэИЕ ДВУХ СИГНАЛОВ ! )усть рассматриваемый сигнал з (!) является произведением двух функций времени Г (!) и ат (!). Используя оощук формулу (2.48), определяем спектр сигнала з (() 8 (оэ) = ) з (!) е — "" е(! = ) )э(!) д (!) е '"" е(!. Каждую функцию ! (!) и я (() можно представить в виде интеграла Фурье: — мэ ! ) (!) = — ! Г(оэ) ем'э йо, И(!) = — ~ б «» е'ии т(оэ 2л,! 2л ' Смд Маэематичеекие основы современной ра,ншэлектроннкн ! И А.

Большаков, нэ. С. Гуткин, В. Р. Левин, Р, Л. Стратоновин, Мд Сов. радио, !966, зз мк. эата Подставляя в (2.61) второй из этих интегралов, получаем Заключенный в квадратные скобки интеграл по переменной 1 представляет собой спектральную плотность функции )' (1) при частоте ы — х, т. е, Г (ы — х). Следовательно, 8(ы) = — ~ С(х) Г(ся — х) йх. 1 2л 12,621 Итак, спектр произведения двух функций времени ) (Г) и д (1) равен, (с коэффициентом 1(2л) свертке их спектров Г (ы) и С (ы).

Из выражений (2.61) и (2.62) в частном случае ы 0 вытекает следукъ гцее равенство: )(1) И Я (1 = — 1 ~ С(х) Г( ) ( 2л Заменяя в последнем выражении х иа ск получаем 1(Г) й(1) й = — ) С(ы1Г( — гл) бы= — [ С(ы)Г'(са)сйл, (2 631 1 2.,) 2л где Г' (ы) =- Г ( — ы) — спектральная функция, комплексно-сопряженная функция Г (ы). Аналогично можно показать, что произведению двух спектров Г (ы) к С (в) =- $ (ы) соответствует функция времени э (1), являюгцаяся сверткой функпий 1(г) и й (г): э(1) = ~ ~(у) л(1 — у) г(у= ~ )(1- — у)д(р) Йу= Г(я) С(ы) е!эл Д(в 2л (2,64) Последнее выражение особенно широко используется при анализе передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции времени ~ (Г) и д (1) имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной характеристики цепи (см. ч 6.3), а Г (ы) и С (ы) — спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.

7, ВЗАИМНАЯ ЗАМЕНЯЕМОСТЬ ш И < В ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ФУРЬЕ Обратимся к общему выражению (2.48) н выясним свойства функции 5 (ы) для различных функций а (г). 1, Если э (г) есть функция, четная относительно й то, переписывая выражение (2.48) в виде 5(<я) = ~ э(г) соэ«<(<(г — <' ~ э(() э!и <Я<(г, убеждаемся, что при четности э (!) второй интеграл равен нулю, так как произведение э (г) гйп ь<( является функцией, нечетной относительно й а пределы интегрирования симметричны.

Таким образом, при з (!), четной относительно й функция 5 (ь<), определяемая первым интегралом, есть функция вещественная и четная относительно а<. 2. Если э (<) нечетна относительно Е то в нуль обращается первый интеграл и 5йч) = — <' ) э(Г) э(п«(<(Е В этом случае 5 (м) — нечетная н чисто мнимая функция.

3. Если, наконец, э (() не является четной или нечетной функцией относительно г, то ее можно разложить на две функции: четную з< (() и нечетную ээ (<). При этом 5 (<э) представляет комплексную функцию, причем действительная ее часть четна, а мнимая нечетна относительно <ч. Из и. ! вытекает.

что при четной функции э (г) можно произвольно выбирать знак перед < в обратном преобразовании Фурье (см. (2.49)); выберем знак минус и запишем формулу (2 49) в виде э (П = ~ 5 (<гп е '"" <(и>. 2л В последнем интеграле заменим переменную интегрирования ы на г и параметр <' на ы. Тогда левая часть должна быть записана в виде функции от аргумента <ч э(<ч) = — ~ 5(П е — '"'<<(А ! 2л Но интеграл в последнем выражении можно рассматривать как спектральную плотность новой функции 5 (г), полученной заменой ы на < в выражении спектральной плотности сигнала э (г).

Обозначим эту спектральную плотность через 5'(ь<). Тогда (2.65) 5' (<а) = 2па (ы). Этот результат показывает, что переменные ь< и < в преобразованиях Фурье озаил<но заменима<; если колебанию (четному) э (г) соответствует спектр 5 (ь<), то колебанию 5 (г) соответствует спектр 2пэ (<а). 2.9. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В СПЕКТРЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА Для получения выражения, аналогичного (2.42), можно идти двумя путями: исходя из (2.42) совершить предельный переход Т вЂ” ь или воспользоваться результатами предыдущего параграфа. Рассмсприм второй путь. Для этого воспользуемся выражением (2.63). Если ) (() и д (1) представляют собой одно и то же колебание то интеграл )(Лд(г)~(1= ) зэ(г)г(г=Э представляет собой полную энергию сигнала з (().

Кроме того, произведение спектоальных плотностей 6 (со) н Г* (ы) приводится к виду С (О)) Г' ((ь) — Б(сь) $*(гь) = $ $(ы) 1э= 5э(Оэ), где 6 (ы) — спектр сигнала з (г), а 5 (ы! — модуль этого спектра. Таким образом, в соответствии с (2.63) приходим к окончательному ре- зультату Э = ~ ээ (() г(Г = — ~ | $ (ы) )э гйь = — ' ~ 5х (сь) Ась ! зл л, О (2. 66) 2,10. Г1РИМЕРЪ| ОПРЕДЕЛЕНИЯ СПЕКТРОВ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Основной задачей настоящего параграфа является пояснение свойств преобразований Фурье, приведенных в предыдущих параграфах, на примерах, важных для практики.

Это важное соотношение, устанавливающее связь между энергией сигнала и модулем его спектральной плотности, известно под названием равенства Парсеваля. Между выражениями (2.42) и (2.66) имеется существенное различие. В З 2.5 речь шла о средней мощности периодического колебания. Операция усреднения осуществлялась делением энергии отрезка колебания за один период на величину Т. Для непериодического колебания конечной длительности усреднение энергии за бесконечно большой период дает нуль и, следовательно, средняя мощность такого колебания равна нулю, Важно отметить, что энергия непериодического сигнала не зависит оз фазировки спектральных составляющих. Это является, как и для периодического сигнала, результатом ортогональности спектральных составляющих.

Различие заключается лишь в интервалах ортогональности: период Т для периодического сигнала и бесконечно большой интервал для непериодического сигнала. Из выражения (2.66) видно, что величину |5 (ы))'-', имеющую смысл энергии, приходящейся на | Гц, можно рассматривать как спектральную плотность энергии сигнала. 1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС Простейшее колебание, определяемое выражением 1 А при — т„/2 «/ ~Хи/2, 5 (1) =~ (2.67) 0 прн 1( — тн/2 и / ~т„/2 и представленное на рис.

2.14, а, получило широкое распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Применяя формулу (2.48), находим спектральную плотность (рис. 2.14, б) т ти ""ти и/2 8,(со)=А ~ е-си!с!/= — ~е — е )= /2 = — сип —" =АХ„~ 2А остсс Г Мп (мти/2) 1 (2,68) со 2 ~ соти/2 Заметим, что произведение Ати, равное площади импульса, определяет значение спектральной плотности импульса при со = О, т. е, 8! (О) = Ат„ (см.

(2.55)!. Таким образом, выражение (2.68) можно записать в форме 82(со) =.82(0) " ы и ) —.81(0) 5!пс( — "). ытсс/2 2 (2.69) и ти Рис. 2.14. Прямоугольный импульс (а) и его спектральная плотность (Н) 37 Здесь через гйпс (сот„/2) обозначена функция 5!ПС (Х) = (5!П Х)/Х. (2.70) При удлинении (растягивании) импульса расстояние между нулями функции 5, (со) сокращается, что равносильно сужению спектра. Значение 81 (0) при этом возрастает.

При укорочении (сжатии) импульса, наоборот, расстояние между 'нулями функции $! (со) увеличивается (расшнрение спектра), а значение 3! (0) уменьшается. В пределе при ти - 0 (А = сопи() точки со, = ~2п/тп, соответствующие двум первым нулям функции 5, (со), удаляются в бесконечность и спектральная плотность, бесконечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот от † до оо. На рис. 2.15 показаны отдельно графики модуля 3! (оо), отнесенного к величине 3! (0), и аргумента В (со) спектральной плотности.

Первый из этих графиков можно рассматривать как АЧХ, а второй — как сРЧХ спектра прямоугольного импульса. Каждая перемена знака 5, (со) учитывается на рис. 2.15, б приращением фазы на и. о т"„ -би-ги -и б гг 2и бп тат„/2 1 Рис. 2.16. Совмешение начала отсчета нремени с фронтом прямоугольного импульса +- Рнс. 2.15. Модуль (а) и аргумент (б) спектральной плотности прямоугольного им- пульса й/ю/-юти(24-- При отсчете времени не от середины импульса (как на рис. 2.

13), а от фронта (рис. 2.16) ФЧХ спектра импульса должна быть дополнена слагаемым отти/2, учитывающим сдвиг илшульса на время т„/2 (в сторону запаздывания). Результирующая ФЧХ принимает при этом вид, показанный на рис. 2.!8, б штриховой линией. б 2. ТРЕУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС Представленный иа рис. 2.17, а импульс определяется выражением '1 ти/2 / 2 (2.71) з,(Е) = Прямое вычисление спектральной плотности треугольного импульса по формуле (2.48) хотя и несложно, все же несколько громоздко. Для иллюстрации применения теорем о спектрах, приведенных в предыдущем параграфе, найдем сначала спектральную плотность функции, являющейся производной от заданного сигнала за (Е).

График производной показан на рис, 2.17, б. Спектральная плотность положительного прямоугольного А импульса длительностью т„/2 и амплитудой — по аналогии с формулой ти/2 (2.88) и с учетом сдвига середины импульса на время ти/4 относительно точки Е/ 0 А ти Мп (юти/4) с+гати/4 — А а(п (юти/4) егмти/4 *ги/2 2 юти/4 акти/4 бтг од та ти П ги Ои ал т» и ти Рис. 2.17.