Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986), страница 6

е. при ал = я', с„*])~р„!а --=!!(](а. (2.12) п=О При выполнении этого условия можно считать, что ряд (2.8) сходится в среднем, т. е. Въ((НП вЂ” Ь .„а„(О] а*=а. (2.!3) н-а л=О Из этого, однако, еще не следУет, что ~ с„|Рп (х) сходитсЯ к 1 (х), т. е. а=О что шах Г(х) — ~ с„~р„(х) =О л=- О при любых значениях х, В п. 1 Э 2.4 будет приведен пример, показывающий, что в отдельных точках на оси х ряд ~ с„Ор„(х) может отличаться от л=О г' (х), хотя равенство (2.13) имеет место. Для системы функций ~р„(х), принимающих комплексные значения, приведенные выше определения обобщаются следующим образом: условие ортогональности О ) ~Р„(х) ~Р* (х) О(х=О пРи нчьт; (2.4') а квадрат нормы функции Ь ь ]]~р„(!а= ] <рп(х)~р„'(х) дх= ] ]ср„(х)]пах; а а коэффициенты Фурье ь сл = —, ] ) (х) р' (х) е(х.

(2.9') !!Фп!12 Л а В этих выражениях ~р* (х) обозначает функцию, комплексно-сопряженную функции ср (х). Применительно к сигналам з (1), являющимся функциями времени, выражение (2.8) в дальнейшем будет записываться в форме ) (2.!4) п=О В новых обозначениях квадрат нормы функции з (Г) по аналогии с (2.6) будет (2.Е') ]]з]]а= ] з'(1) е(1=3. Это выражение совпадает с (2.1). (2.15) 19 Это основное неравенство, называемое н е р а в е н с т в о м Б е се е л я, справедливо для любой ортогональной системы.

Ортогональная система называется п о л н о й, если увеличением числа членов в ряде среднеквадратическую ошибку 41 можно сделать сколь угодно малой. Условие полноты можно записать в виде соотношения Таким образом, в соответствии с формулой (2.12) энергия сигнала Э= ~ )с„)'!~р„!~, (2.16) л=ь а при использовании ортонормированной системы функций лрл (1) Э ел (2. 16') л=ь При этом имеется в виду, что промежуток времени гл — („в котором определяется энергия Э, является интервалом ортоеональностидля системы функций рл (!). Очевидно, что средняя за время !Π— 1, мощность сигнала зл(!)= — = — 'Я ( с„)О!!~р„(О. (2.17) Ол — й л=ь Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции в ряд. Среди разнообразных задач, требующих разложения сложного сигнала, наиболее важными являются: 1) точное разложение на простейшие ортогональные функции; 2) аппроксимация сигналов, процессов или характеристик, когда требуется свести к минимуму число членов ряда (при заданной допустимой погрешности).

При первой постановке задачи наибольшее распространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций — синусов и косинусов. Это объясняется рядом причин. Во-первых, гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цепь (с постоянными параметрами). Изменяются лишь амплитуда и фаза колебания. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи. По этим, а также и некоторым другим причинам гармонический анализ получил широкое распространение во всех отраслях современной науки и техники.

При второй постановке задачи — приближенном разложении функций— применяются разнообразные ортогональные системы функций: полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра, функции Уолша и многие другие. Некоторые из этих систем функций будут рассмотрены в гл. 14. 2.3, ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ При разложении периодического сигнала в (!) в ряд Фурье по тригонометрическим функциям в качестве ортогональной системы берут 1, соз Оьй з!п о,(, соз 2ОО,1, з!и 2ОО,1, ..., соз пы,й з!и пОО,Р, ...

(2.18) или ...е-м"'', е-'"'', 1, е'и' е"и', ... (2.!9) Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом Т = = 2п7в, функции в (Г). Система функций (2.18) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (2.19) — к комплексной форме. Между этими двумя формами существует простая связь. (2.21) (2.24) 21 Воспользуемся сначала ортогональной системой (2.19). Тогда ряд Фурье должен быть записан в форме з (/) =... с, е — 'г"' '+ с, е — '" '+ с, -1- с, е'"' '+ сг е'г" ' -1- ... = 'Я с„е"" ' (2.20) л Совокупность коэффициентов с„ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называется ч а с т о т н ы м с п е к т р о м периодического сигнала.

Коэффициенты ряда (2.20) с„легко определяются с помощью формул, приведенных в предыдущем параграфе. Из формулы (2.6') следует, что т/2 ) ф (/) 1-' ~ еы<м! е — !ггь! 2(/ — Т вЂ” Т/2 Таким образом, независимо от п норма 11ф„1) = 'т/ Т. Используя формулу (2.9'), получаем т/г с„= — ~ з(/) е — ы!!~! 2(/. 1 (2.22) Т вЂ” Т/2 В выражениях (2.21) и (2.22) учтено, что функции е'"" ' соответствует комплексно-сопряженная функция е — '" Коэффициенты с„в общем случае являются комплексными величинами.

Подставив в (2.22) е — '""' ' = соз и!в!1 — ! яп пег!0 получим т/2 Т/2 г 1 с„= — ) з(/) созна!! /Й вЂ” ! — з(/) яппи! //1/=с„,— 2с„,. (223) -т.) т — Т/2 /2 Косинусная (действительная) и синусная (мнимая) части коэффициента с„определяются формулами !/г г/2 с„, = — ~ з (/) соз пег! /гй, г„„ — ~ з (/) э(и про! /а!!. ! Р 1 -т/2 -т/2 Коэффициенты г„часто бывает удобно записывать в форме с„=)с„)е! ", (2.25) где )с„~ = )/с„', + с'„,, 0„= — агс1н — '"', (2,20), (2.2Т) !2С Модуль 1с„! является функцией, четной относительно и, а аргумент 0„= нечетной (последнее вытекает непосредственно нз выражений (2.24), показывающих, что с„, является четной, а с„, нечетной функциями и).

Общее выражение (2.20) можно привести к виду Э(/) ~я~~ )С '1Е! "22 + ' (2.28) Теперь нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда (2.28) пару слагаемых, соответствующую какому-либо заданному значению )и~, например )п~ = 2, и, учтя соотношения 0, = — 0„ )с г! = )сг), получим для суммы этих слагаемых )с ) е' ~"'+~-21+1сг)е!12',!+еп ~с,)(е — ига!+е,> 1 е!!22ь2+в,/) =2) с ) соз(2/в, /+О,). (2,29) Отсюда видно, что при переходе к тригонометрической форме ряд (2.28) необходимо записать следующим образом: з(!) =се+ ~', 2(с„~соз(лю,!+0„).

»=1 (2.30) з(!) = — ' + 2; (а»спалю,!+Ь„з(пню,г) = — ' — 2,' А„соз(лсо, !-'- в=-! л=! г0) (2.3! ) причем 0„= — агс(й(Ьь:а„). Из сопоставления выражений (2.31) и (2.30) видно, что амплитуда л-й гармоники А„связана с коэффициентом !с„! ряда (2.28) соотношением Аь=2(с„!, а а„=2с„„Ь„=2с„„. Таким образом, для всех положительных значений л (включая и л ==- О) г~« Ыг, Ьь = — ~ з(!) з!и пы, гй. х (2.32) Т вЂ” т1« Если сигнал представляет собой функцию, четную относительно й т. е, з (!) =- =- з ( — !), в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициенты Ь„в соответствии с формулой (2.32) обращаются в нуль.

Для нечетной относительно ! функции х (1), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты а„и ряд состоит только из сииусоидальных членов. Две характеристики — амплитудная и фазовая, т. е.модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания. Наглядное представление о «ширине» спектра дает графическое изображение спектра амплитуд. В качестве примера на рис.

2.2, а построен спектр коэффициентов !с»(, а на рис. 2.2, б — спектр амплитуд А„ = 2 )с„! для одного и того же периодического колебания. Для исчерпываю- тг» 2 ав = — ~ з(Г) сов«но, — т!х ье!и им е~»~ — ~д 'ет ) м -!и!м Ряс. 2.!. Представление гармонического колебания в виде двух комплексных составляющих: с положительной в отрицательной частотами Смысл удвоения коэффициентов Фурье с» в тригонометрическом ряду при п ~ ! становится ясным из рассмотрения векторной диаграммы (рис. 2.!), соответствующей (2,29) при )л! = 2. Вещественная функция 2 )св! соз (псе,!+ О») получается как сумма проекций на горизонтальную ось ОВ двух векторов длиной )с„!, вращающихся с угловой частотой )л! ю, во взаимно противоположных направлениях.

Вектор, вращающийся про~ив часовой стрелки, соответствует положительной частоте, а вектор, вращающийся по часовой стрелке, — отрицательной. Лосле перехода к тригонометрической форме понятие «отрицательная частота» теряет смысл. Коэффициент с, ие удваивается, так как в спектре периодического сигнала составляющая с нулевой частотой не имеет «дублера».

Вместо выражения (2.30) в математической и радиотехнической литературе часто встречается следующая форма записи: р гыглм, м бу -)л)е»г ц» Рис 2,2. Коаффнцненты комплексного (и) н тригонометрического (б) рядов Фурье пе- риодической функции времени щей характеристики спектра подобные построения должны быть дополнены заданием начальных фаз отдельных гармоник. Спектр периодической функции называется л и н е й ч а т ы м или д и с к р е т н ы м, так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам О, Ф„о»е = 2о»», в»а = Зо», и т. д.

Использование для гармонического анализа сложных периодических колебаний рядов Фурье в сочетании с принципом наложения представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных цепей на прохождение сигналов. Следует, правда, отметить, что определение сигнала на выходе цепи по сумме гармоник с заданными амплитудами и фазами является непростой задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда Фурье, представляющего входной сигнал. Наиболее распространенные в радиотехнике сигналы не соответствуют этому условию, и для удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо суммировать большое число гармоник. 2.4. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Рассмотрим несколько примеров периодических колебаний, часто используемых в различных радиотехнических устройствах.