Galitskii-2 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 3

Какие значения может принимать суммарный спин 5 двух тождественных бозонов со спином э в состоянии с относительным орбитальным моментом Ь (Ь— момент е с. ц. н.), т. е. какие состояния ззч'Ь системы возможны? Рассмотреть, в частности, случай э = О. Решение. Перестановка координат двух частиц эквивалентна их отражению относительно центра масс (так кэк г = г, — гт) Поэтому силгметрггя коорлинатной части волновой функции сосгояния с данным значением Ь молгента относитсльнога движения совпадает с орбитальной четностью состояния, равной [ — 1)~.

Соотоетствеггно условие симметричности а. ф. системы тождественных бозоноэ требует, чтобы в четных состояниях перестановка спииоеых переменных частиц не нзнсняла волновой функции, а в нечетных состояниях приводила к изм«пению знака в. ф. Отсюда, илгея э виду результат зава ги 3 30 о харакгсре симметрии в ф. при сложении двук олинаковых моментов, заключаеч, что э состояниях с орбитальным момеитолг Ь = О 2 4, возчожиы лишь значения суммарного спина 5 = 2э 2э — 2,...,О, алая состояний с Ь = 1,3,5,..., эозлгожггы лишь значения 5 = 2э — 1,2э -3,..., 1.

~!Ль» основного состояния исзолсптсрия !т с я 4-атома! орбнтаэьныч момент 1::о 12 Глава 10. Тожг)естбенность частиц В частности, лля бессппноеых базанов, з = О, возможны только четиыс значения Ь. Слелстеислг этого результата является, например, запрет на распады ислтральноп частишя со спинам 5. = ! (вгкяюряаго мезона) на два яь-мсзона, см. также !ООВ 10.9.

То же, что и в предыдущей задаче, но для тождественных фермнонов. Отдет. В системе из двух тождссгвснглых фсрмионое при четных значениях Б орбитазьггого молшнта сумлгарпый спин ьюжег г ринимать также только четнь~е значения Я = 2з — 1, 2з — 3,...,О. а при нечетных Ь возможны только нечетные Я = 2з,2я — 2,, 1, сравнить с прслылу~цей задачей, а также с 10.6 10.10. Система состоит из двух одинаковых бесспиновых базанов, накодящихся в состояниях, описываемых нормированными на единицу, взаимно ортогональными волновыми функциями Ф~ 1(г). Какова вероятность нахождения обеих частиц в одном и том же малом объеме г()г? Сравнить ее со случаем различимых частиц.

Решение. Нормиропанная в. ф. системы имеет вид Ф(г! гг) =- (Ф~(г~)рз(гз) + Фз(П)Ф~(гз)), Д (Ф! ИН гу)2 =. !. ,У2 (1) Вероятность нахожг!ения обеих частиц ошювременио а олпом н том же обьсме ЮУ равна Шиૠ— (Ф(г, г)) гйггПг = )Ф~(г)) цтг )Фз(г)! гзтг+ )Ф>(г)рз(г)) (др), (2) что больше аналогичной вероятности ,1 )Ф ( ))з,з ) ( )!г,1 (3) я случае раыгичимых частиц. Этот результат иллюстрирует суьцествоеание интерференции межлу различными (ио тождественным ил) частицвл<и, Качественно эту интерференцию можно охарактеризовать как тенденцию базанов к взаилгному сблихсению Несколько иной аспект такой интерференции рассмотрен я следующее запаче Подобная интерференция между различными тажаественными частицами, находящимися в одинаковых спиновых состояниях, имеет л~есто и в случае фермионоа.

При этом Ом<„»„—— 0 и характер интерференции можно описать как тенденцию фермионов к взаимному апалкиианию. Дягг частиц (как фермионое, так и баюнов) а различных (ортогонаяьнмх) спиновых состояниях отмеченная интерференция не проявлается 10.11. Два одинаковых бесспиновых бозона находятся с состояниях, описываемых нормированными на единицу вогновыми функциями ф,,(г).

Найти (среднюю) плот. ность частиц в такой системе и сравнить ее со случаем различимых частиц. Решеиае. Нормированная на единицу еолиоваи функция системы имеет виа Ф(гн г0 = С(Ф~(г )Ф (г ) + Ф.(г )Ф,(гг)), (!) г -' гле 2С = (! + )(Фг1рз)(з) Срслния алотиасть частиц получается усралнениелг саонгетстггуюгцвго оператора «(г) ми(г) = ~ б(г- г,), ьтс суммирошнне проводится но всем частицам системы. Такай вил оператора связан с тем, что анъюгнчная ему классическая величина зависит только от координат частиц (но не От их л!лгпульсов, сравнить с оперзторамн патенцнаяьной энергии 0(г,) = У(г,) а координатном представлении), при этом г высту«ест как»анешнив» параметр.

Очевидно п(г) = (Ф)я(г))Ф) = 2С~()р(г)(~е (Фг(г)) +д(г)), (3) глс гл(г) = р~(г)рг(г)(Ф~)рз) + Фз(г!Ф((г)(Ф!)Ф ) Обсудим полученный результат лля В(г). Прежле всего атл~еггглг, что, как и следовало ожидать, 3 В(г)ар = 2 незаинсино от вида функшгй Ф, г(г) йачсе. сстг эти функции 5 2. ОсноВы формолозмо Вторичного кбантобанал ортогональны, так что (тч (Рг) -- О, то С' = 1/2, Ь(г) = О и й(г) = )Еч(г))'+ (Ет(г)(' в й„„,(г), (4 как и в случае различимых частиц. Однако если (уч ( ВД А О, то й(г) отличается от йм„,(г) В этом проявлнется отмеченная уже в предыдущей задаче интерференчиа межлу Различим«и (но тожлественнылги!) частицами Так как 2С' < 1, то в тех областях пространстиа, гд в ф.

Фьт(г) не «перекрываются (так что гр,'(г)ттт(г) О), нлгсем и < йм„, соответственно учитывая нормировку й(г). заключаем, что в существенной области перекрытия в. ф ум й > и „в согласии с характеролг интерференции — тснленлиеа базанов к взаимному сбли жекию Случаю фермионов, нахоляшихся в оаинаковых «пиковых состонниях, соогеетсюеуе изменение знака слагаемых, солержаших КР, )фг)(' и Д (теперь 2С« < 1) и противопачожньн характер интерференции — язаимнае отталкивание, сравнить с 1О 10.

02. Основы формализма вторичного квантования (представление чисел заполнения) 10.12. найти коммутационное соотношение для операторов, представляющих арми тову и антиэрмитову части боэонного оператора уничтожения а (нли рождения а+). Решение. Записав а= -(а 1-а+)+т —,(а — а') ж А ь«В, 2 21 (нри зтпм А = (а+ а )/2), нахолим (А, В) = т/2; сравнить с (р,в) = -гд, см следуюшук задачу. 10.13. Построить из операторов координаты 0 н импульса р частицы операторы е и а«, обладающие свойствами бозонных операторов уничтожения и рождения. Какова волновая функция Фе(а) «вакуумногоэ состояния? Решение. Записав а = ай+бр и 3' = а'в+Рр, имеем ( а, а ) = гй(ал — а Р) = 1. Как видно, выбор параметров а, В не однозначен.

Можно взять, например, 1 ткб а= —, В=в ъГ26 т/2Л (Ь вЂ” янис«та«нный параметр с размерностью длины, как и у координаты л). При эточ из условия а)О) = О, или ( ) ат — + Ь вЂ” )Фе(з) = О, 6 аз,/ находим волновую функций «вакуумного состояния: г фа(з) = (кЬ ) ехр ~ — — т). (1) Эта волновая функция имеет вил с ф основного состоянии линениого оспиллятора, сч. (112), для которогопькое состонние не изменяется со временем (являетсн стационарным) В случае решмяей свободной частицы гауссовский волновой пакет (1) реггыыеаеюел, с». (6.2) и (6 21), что в терминах ваеденнмх псевлочастик», которым сопоставляются операторы а и а', может интерпретироваться как их порожпение со временем 10.14. Можно ли для преобразования вида а' = й«,а' = а рассматривать а',агь как операторы уничтожения и рождения некоторых новых частиц? Провести анализ состояний )п') (т. е.

состояний с определенным значением а новых частиц) в базисе состояний исходных частиц. Указать вид унитарного оператора (/. осуществляющего рассматриваемое преобразование, Глава 10. Тождесглбенносгль частиц Решение Длн бозоннмх операторон — нсльзн, так как при ыом (й',й'') = — ! (в отличие ол (а,Я') = !) Вслуяжфермионныхоператоров — мо.кно,таккакпо-прежнему а' = Он (а,а ), = ! Прн эхом некуулшос состояние новых ~ватин (О ) является олночастнчныи состоянием !1) нсхолных частил, т.е. )О') = )1), и наоборот )!') = (О).

Такие *новые» частиц называют дмркиме (иа фоне исхолных частиц). Дяя феринонов рассматриваемое нрсобразонание ннянетсн унитарным и осущсстнляется операторои (т = а ьа, так что при этом а = В а (Г ' = а ' 10.чл5. Найти собственные функции и собственные значения операторов рождения и уничтожения. В рассматриваемых состояниях найти распределение по числу частиц. Обсудить случаи боэонных и фермионных операторов. Показать, что применительно к линейному осциллятору собственные функции оператора унич~ожения а = (тих+ лр)/л/2»пйш описывают когеренгпные состояния, см.

6,21. Решение. 1) Напомним. что операторы а н а' лейстяуюг а простраистье функиий— нектаров состояний )Ф) = с сл)п) '= са)0) + с~)!) + гле символ (л) сооплстсплует л-частичному состоянию. При этом а)л) = игл)л — !), а )л) = л/л+ ! )л+ 1), лля фсрмионоя а 1!) = О. Собстллеллглые функиии )а) = д; с„(л) н сибстненные значения а бозошюго оператора а онрелеляютсн из уравнения а(а):= а)а). Тзк какя а)а) =Я~ с„)л) = 2 с„/л)л — 1) = ч» слм /лт- ! )п), го»рвннснн«принимает яил (слы /л»Т — аг„))п) = О. Отсюла с учетом независимости состояний (л), следует а а а а"+ (2) Ул+! лги ! ! Гп Л/(л-'1)! Кяк алано, собствеллгыч значением билонного оператора а является любие комплексное чнсли а (оператор а — неэрмитов!), а соотвстстнуюшвя с, ф, )а) может быль нормирована нз слннипу.

Услонис (а!а) = ! ласт (а)ы (а!а)=~ 1с„! =!се! ~ — =1, те. )сл( =е 11, так что раелрсаеленис по числу частиц в сгытоннип !а) онрелеляется выражением ш„.=- (с.( = схр (-(а! )— 3 )а)ы (4) н нрслспллмнст собой распрелелсние Пуассона с Я = !а! Урзннеиис не с.ф и с з. Ооюнного оператора а' не плюет нн олного релиенин. У фермионньы же опсраторон Я, а ииеется ло овнов с ф )О) — с ф а, я (1) - с ф а', соотнсзстьуюшне им с з в обоях случанх равны 0 2) Рассмогрнм теперь линейный асннлянтор и найлем зля него вил с ф. фл(х) оператора ! Я = — (шыЯ Л лр) (5) /2таы ' !эе л, и няне суччии ялнис яо и хе хссх Фьрн»ллххе них ет и = а яо и = ж б 2 Оснобы формализлго Вгпоричного лбангпобаноя 15 в координатном представлении. Из уравнения аФ = аФ, следует Ф,(к) = Сехр — — ~л — )/ — ау! 2Л гпи ) (6) а(!) = ае (?) Это обстоятельство очевидно е гейзепбергоаском представлении, в котором а = е "'е (сравнить с 6.25), а в.ф.